Лекция: 15 сағат Практикалық сабақ: 15 сағат обсөЖ: 30 сағат Барлық сағат саны: 90 сағат

Лекция 9.

1. 
   Предикаттарға қолданылатын амалдар
   
2. 
   Пікірлер логикасының заңдары
   
3. 
   Қажетті және жеткілікті шарттар
   
4. 
   Теореманың құрылымы
   
5. 
   Теореманы дәлелдеудің тәсілдері
   
6. 
   Дұрыс және дұрыс емес талқылаулар
   

Предикаттық формуланың алдына кванторларды қосып жазуды кванторларды іңліп қою (ілу) немесе кванторларымен байланыстыру амалы деп аталады.

Кез – келген p,q,z пікірлері үшін логикалық заңдары;

1. 
   Коньюнцияның коммутативтілігі
   
2. 
   Дизьюнцияның коммутативтілігі
   
3. 
   Коньюнцияның ассоциавтілігі
   
4. 
   Дизьюнцияның ассоцивтілігі
   
5. 
   Коньюнцияның дизьюнцияға қатысты дистрибутивтілігі
   
6. 
   Дизьюнцияның коньюнцияғға қатысты дистрибутивтілігі
   
7. 
   Екі рет теріске шығару заңы
   
8. 
   Үшіншінің болмау заңы
   
9. 
   Қайшылық \үйлестірушілік/ заңы
   
10. 
    де Морган заңдары
    

Егер р сөйлемнен q сөйлем келіп шықса, жәке q сөйлемнен р сөйлем келіп шықса, онда р және q сөйлемдері мәндес деп аталады.

Теорема – ақиқаттылығын дәлелдеу (талқылау) арқылы анықталатын математикаолық сөйлем.

Нәтижені қорыту барысында талқылаулдың үш формасы: дедуктивтікк, индуктивтік жэәне традуктивтік жиі пайдаланылады. а\ сілтемелері (жалпы және дербес) мен қортындысының арасында келіп шығу қатынасы болатын талқылаулар дедуктивтілік деп аталады.

Қортыныдың ақиқаттығына кепілдік бермейтін сонымен қатар теорема мен формула қолдану шарттарын сақталмайтын схемаларды және қате сызбаларды пайдалану жалған қорытындыларға келтіреді.


Лекция 10.
Тақырыбы: Алгоритмдер

Жоспары

1. 
   Алгоритм ұғымы
   
2. 
   Алгоритмдердің негізгі қасиеттреі
   
3. 
   Бастауыш мектепте пайдаланылатын алгоритмдердің мысалдары
   

Алгоритм дегеніміз не? Бір типті (типтес) мәселелер, айталық көп таңбалы екі санды қосу, көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу және т.б. жиі кездеседі. Берілген типтес (бір типті) мәселелерді (есептердің) кез – келген түрін шешуде пайдалануға болаытын «жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?» деген сурақтың тууы заңды. Егер мұндай жалпы тәсіл бар болса. Онда оның берілген мәселеніңң алгоритмі деп атаймыз.

Алгоритм математиканың және әртүрлі автоматты құұрылғылардың, соның ішінде қазіргі электоран есептеу машиналардың көмегімен информацияны (мәліметтерді ) сақтау, түрлендіру және ұсыну тәсілдерін зерттейтін , математикадан бөлініп шыққан жас ғылым саласы информатиканың ілгері ұғымдарының бірі.

Алгоритмдердің негізгі қасиеттері:

1. 
   Алгоритм жалпылығымен – көпшілікке бірдейлігімен сипатталады, яғни алгоритм бір ғана есепті шешуге ғана емес типтес есептердің қандайда бір түрінің кез – келгенін шешуге арналады, демек әлденеше есептің шешімін табу үшін қолдануға кепілдік береді
   
2. 
   Алгоритм анықтылығы мен ерекшеленеді, яғни алгоритм қатаң анықталған қадамның немесе әрекеттіңң ретін көрсетеді ол есеп шығарушыға өз қалауынша келесі қадамды таңдауға ешқандай мүмкіндік бермейді
   
3. 
   Алгоритм нәтижелігімен сипатталады, яғни есептің берілген түрінің кез – келгенін есебін сәйкес алгоритым бойынша шешу шектеулі санды қадамнан кейін нәтижеге жеткізеді.
   
4. 
   Алгоритм формалдығымен ерекшеленеді яғни алгоритмды орындаушы өз әрекетінің мән мағанасын егжей – тегжейіне түсінбеседе қажетті нәтижені алады
   
5. 
   Алгоритмніңғ көпшілікке, жалпыға түсінікті болуы тиісғ яғни орынлаушының қандай тобы (категорисы) болса да олардың бәріне түсінік тұжырымдалған жарлық беріледі
   
6. 
   Алгоритм дәлдігімен ерекшеленеді
   
7. 
   Алгоритм үздік (дискретті) процесс болып табылады.
   

1. 
   Екі таңбалы санды бір таңбалы саға бөлу алгоритімі
   

Қосындынгы саға бөл, яғни әрбір қосылғышты жеке – жеке бір таңбалы санға бөл

Ондықтардың санын санға бөл

Бірліктердің санын санға бөл

Алынған нәтижелерді қос

Жауапты жаз

Бөлу аяқталды.


Лекция 11.

Тақырыбы: Натурал сандар

«Біз.- деп жазды Н. Н. Лузин /1883-1950/-Бірлік ұғымын Жасағаны /ашқан емес, нақ сол жасағаны/ үшін адамның данышпандылығы алдында бас июге тиіпіз. Сан пайда болады, ал сонымен бірге Матемематика да пайда болоды. Сан идеясынан- ең ұлы ғалымдардың бірінің тарихы, мне , содан басталады»

Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының, санын оларды санамай-ақ, яғни өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. өте ұзақд дамудың адам натурал саңдар жасаудың келксі кезеңіне жетті – жиынды саалыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастайды. Бұл кезеңде сан санаалатын жиындардан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана обьектіғлер мен аралық – жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық жиындарды, оның –элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болады

XIX ғасырда ғалымдардың наазары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал сандармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құұрууға және логикалық тұрғыдан негіздеуде аударылады. Санның натурал қатарындағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырылып, сандар теориясын да қамтуда.

Натурал сандар ұғымының соншалық қарапайым және табиғи көрінетіні сондай. Ғылымда ұзақ уақыт бойы оны қандай да болсын қарапайым ұғымдардың терминдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.

Натурал қатарды былайша түсіну өте қарапайывм және көрнекті . Шын мәәнісінде ол натурал қатарға ЭЕМ тұрғысынан қарау болып табылады. Оның кемшілігі сол ; финиттік жолмен бүкіл математиканы бір ізділікпен дамыту қиын және тіпті мүмкін емес деуге де болады. Алайда қарапайым математиканың елеулі бөліктеріін финиттік жолмен құруға болады.

Теріс емес бүтін сандаржиынын құрудың теориялық жиындық тәсіілі тұрғысынан, натурал сан деп бос емес шектеулі бір – біріімен эквивалентті жиындар класының ортақ қасиетін айтады. Ондай тәсііл мейлінше көрнекі және істің шынмәнісінде мектепте өтілетііндерге дәл келеді. Алайда оның бір елеулі кемшілігі бар; негізгі ұғым – шектеулі жиын, бұл жағдайда белгісіз болывп қалады \ анықталмайды\ Шектеулі жиындардың айрмашылықтарын түсіндірген кезде, әдетте, шектеулі жиындар барлық элементтерін «толық атап шығуға», бірінен соң бірін оларды «көрсетіп беруге » болатын жиындар дейді,немесе бұлар элементтерін «санап шығуға» болатын жиындар деп аталынады.

Лекция 12.
Тақырыбы: Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық жиындық тәсілі

Жоспар

1.Натурал сан мен нөл ұғымы

2. Теріс емес бүтін сандар жиындары «тең», «кем», «артық» қатынастары

3. Қосындының анықтамасы

4. Қосу заңдары
Сондықтан сандық теориялда натурал сан әуел бастан – ақ шектеулі жиын элементтерінің сан ретінде, яғни жалпы ұғым болып табылатын кез – келген жиынның қуаты ұғымының жеке жағдайы ретінде қабылданғанымен, натурал сандар арифметикасын бастапқы оқыту натурал сандар туралы алғашқы түсініктерді қалыптастырудың нақты жолдырын ескерменй кете алмайды.Сондықтан натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді. Санау прцесінде реттік натурал сандары пайдаланылады, ал жиыннның барлық элементтерін санп шыққан соң осы жиының сандық ситпаттамасын алады. Басқа сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін пайдаланады.

Анықтама. Егер а және в сандары тең қуаттас жиындармен анықталатын болса, онда олар тең болады: а=вА~В. Мұндағы n(А)=а, n(В)=b

Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын сандар әртүрлі.

Анықтама. Егер А және В жиының меншікті ішкі жиынымен қуатта және n(А)=A, n(В)=b болса онда а санын b санынан кем деп айтады

Анықтама. Натурал қатардың N_а кесіндісі осы қатардың N_b кенсіндісінің меншікті ішкі жиыны болғанда, тек сонда ғана а саны bсанынан кем \ «b артық a »\ болады.

Теориялық – жиындық тұрғыдан «кем» қатынасына басқаша да анықтама беруге болады.

Анықтама. а+ с=b болатын с 0 теріс емес бүтін сан болғанда тек сонда тғана а саны b санынан кем \ «b артық а»\ болады.

Анықтама. Теріс емес бүтін а мен b сандарының қосындысы деп n(А)=а, n(В)=b болғандағы қиылыспайтын А және В жиындары бірігуіндегі элемегнттердің санын айтады.

Теорема. Теріс емес бүтін а және b сандарының қосындысы қиылыспайтын А және В жиындарды таңдап алу ретінде тәуелді емес және ол әрқашан бар , әрі жалғыз болады.

Қосындының бар және жалғыз болуы шекті екі жиынның бірігу операциясының (амалының бар және жалғыз болуынан келіп шығады).

Жиындардың бірігу операциясыныңң (амалының) комутативті және асоциативті екендігіне теріс емес бүтін сандарды қосудың оларға ұқсас заңдары келіп шығады;

1. 
   Қосудың коммутитивтілігі
   
2. 
   Қосындының анықтамасы бойынша
   
3. 
   Жиындардың бірігу операциясының коммутативтілігі
   
4. 
   Қосудың ассоциативтілігі
   

Лекця 13.

Тақырыбы: Натурал сан ұғымының шаманың өлшеу нәтижесі ретіндегі түсіндірмесі

Жоспары

1. 
   Кесінділерді қосу және өлшеу
   
2. 
   Санау есептеу жүйелері
   
3. 
   Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын амалдар
   

Жалпы алғанда, кесінділер ұзындықтарын табарда мынадай екі қатынас –“эквиваленттік” ~ және обьектісі және  обьектісінен тұрады = + .

Анықтама. Егер а кесінді , , ... кесінділердің біреуі болып табылса, және олардың ешқандай екеуінің ортақ ұштары болғанымен, ішкі ортақ нүктесі болмас, оеда а кесіндісін осы кесінділердің қосындысы деп. айтады және былай жазылады: = + + ... + е – бір лік кесінді.

Анықтама. Егер а кесіндісін әрқайсысы бір лік е – кесіндісіне тең кесінділерге бөлу мүмкін болса, онда т Санин ұзындық бірлігі етіп е болғандағы а – ның өлшеушісі немесе мәні деп. атап және былай жазылады:

а = n е

Кесінді өлшемдері.

1. 
   Егер екі кесінді тең болса а= в (а) = m (в)
   
2. 
   Егер m (а) = m (в) + m (с) m (в) = р m (с) =q
   

m (а) = р + q

3. Егер а кесіндісі m (а)=m(а) m(е) а= р е = р (q е1) = рq (е1)

Матемтикада сандарды атаумен жазуға және сандарға қолданылатын операцияларды орындауға арналған тіл де санау жүйесі деп. аталады.

Римдік жүйеде I, V, X, L – Елу, С –жүз, D - бес жүз, М – мың.

Анықтама. Х – натурал санның онық жазылуы деп. оның ,

+ ... + 10 +

, , ... - коэфиценттері. К өрінісіндегі жазуға айтылады.

Теорема. Кез – келген натура Х санын х = + ... + түрінде көрсетіп беруге болады.

Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың алгоритмдері. Әуелі Х пен У – тің сандардың жазуылуындағы цифрлардың саны бірдей болатын жағдайды қарастырады. Қосу, азайту, көбейту “баған” түрінде жазу қабылданған. Бөлуде осындай орындалады.

Ондық жазудан басқа санаудың позициялық жүйелері арифметикалық амалдар және сандардың жазылуы бойынша бір жүйеден екінші жүйеге өтуге болады.

Лекция 14.

Тақырыбы: Алгебралық операциялар және алгебралар

Жоспары

1. 
   Алгебралық операция анықтамасы
   
2. 
   Алгебралық операция қасиеттері
   
3. 
   Кері операция
   
4. 
   Алгебраның типтері
   

Анықтама. Бос емес Х – жиынындағы n - арлық алгебралық операція деп. f: х бейнелеуін айтады.

• 
  n =0 болғанда операцияны нөларлық
  
• 
  n = 1 болғанда унарлық
  
• 
  n = 2 болғанда бинарлық
  
• 
  n = 3 болған фернарлық деп. атайды.
  

n - саны операцияның рангсы –д ейді.

Анықтама. Бос емес Х жиынындағы бинарлықоперация деп. f : х бейнелеуін айтады.

Егер Х жиынының элементтерінің әрбір парын, осы жиынның бір ғана элементі сәйкестендірілсе, онда Х жиынында бинарлық алгебралық операція анықталған дейілінеді.

Анықтама. Х жиынындағы дербес алгебралық операция деп. Х * У декарттық көбейтіндісінің қандайда ішкі жиыны У – тің Х – қа бейнелеуін айтады.

Әрбір нақты операцияның өз белгісі бар, ол белгілер “+”, “-”, “х”, “:” таңбасымен белгіленеді.

Анықтама. Алгебралық операция берілген жиын алгебра деп. аталады.. Берілген алгебрада жиын және онда қарастырылатын алгебралық операциялар көрсетуге тиісті.

Анықтама. Егер Х жинын У жиынының өзара бір мәнді бейнелеу бар болса, және (Х х У)= (х) (у) орындалса, онда (Х; х) және (У; 0) алгебра изоморфтік деп. аталады.

Алгебралық операція қасиеттерінің маңыздылары ассоциативтік, коммутативтік, дистрибутивтік, қысқартымдылық болып табылады.

* Операциясы тек қана қысқартымдылы ғана емес комутативті де сондықтан

в * х = а Дан х * в = а келіп шығады. Сондықтан * операциясына кері нөл операциясын мынадай қасиеттерін айтуға болады.

1. 
   а о (в с) =аосов
   
2. 
   ао (в с ) = аовос
   
3. 
   а (вос) = (а в) с
   
4. 
   а (вос) = (аос) вос
   
5. 
   ао (вос)= (а с) ов
   
6. 
   ао (вос)= (аов) с
   
7. 
   а (аов) = в
   

Алгебраның кейбір типтері немесе әртүрлі алгебралық жүйелер бір немесе бірнеше алгебралық операція берілген жиын болып табылады.

Анықтама. Егер * операциясы ассосивті болса онда (А,*) комутативні жартылай группа деп. аталады.

Анықтама. Егер (А, +) комутативты жартылай группа әрі көбейту қосуға қатысты дистребутивті болса онда (А, + ) алгебрасы жартылай сақина деп. аталады.

Лекция 15.

Тақырыбы: Жай және құрама сандар. Эротосфен елегі (торы)

Жоспары

1. 
   Жай сандардың анықтамасы
   
2. 
   Жай сандардың қасиеттері
   
3. 
   Сандардың ең кіші ортақ еселігі
   
4. 
   Сандардың ең үлкен ортақ бөлшігі
   
5. 
   Құрама сандар және оларды бөлгіштік белгілері
   

Анықтама. Бір ден артық натурал сан, егер тек өзіне және бірге бөлінсе , ол жай сан деп аталады.

Натурал а – саны егер а: d, мұндағы 1

Бастапқы жай сан 2 болып табылады.

1.Теорема. Егер натурал сан бір ден артық болса, онда оның ең болмағанда бір жай бөлшігі болады.

2.Теорема. Құрама сан а –ның ең кіші жай бөгіші - нен асып кетпейді.

3.Теорема. Жай санндар жиыны шексіз.

Жай сандардың қасиеттері:

1. Егер жай сан р, бір ден өзге қандай да бір натурал n санына бөлінсе, онда ол n - мен беттеседі

2. Егер р мен q әртүрлі жай сандар болса, онда р саны q- ға бөлінбейді және керісінше болады.

3. 
   Егер натурал сан а-ны жай р санына бөлінбесе, онда а және р өзара жай сандар болады.
   
4. 
   Егер екі натурал сан а және в сандарының көбейтіндісі жэай р санына бөлінсе, онда олардың ең болмағанда біреуі р – ға бөлінеді.
   

Анықтама. Егер m саны а – санына және в – санына да еселік болса онда ол осы сандардың ортақ еселігі деп. аталады.

Анықтама. Берілген а және в сандарының ортақ еселіктерінің ең кішісін осы сандардың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп. атайды.

Анықтама. Егер а мен в сандары с санына бөлінсе, онда с – ны бұл сандардың ортақ бөлгіші деп. аталады.
Анықтама. Егер берілген а мен в сандары ортақ бөлгіштерінің ең үлкенін осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп. атайды.

Теорема. Берілген Х саны құрама а= в с санына бөліну үшін, мұндағы

ЕУОБ (в,с) = 1 ол санның в – ға да және с – ға да бөлінуі қжетті және жткілікті болып табылады.

Анықтама. Егер а- ны в – ға қалдықпен бөлген кездеқалдық нөлге тең болса онда в саны а санының бөлшігі деп. аталады.

Бөлінгіштік қатынастың қасиеттері:

1. 
   0 саны кез – келген натурал саға бөлінеді
   
2. 
   Нөлден өзге ешбір сан нөлге бөлінбейді
   
3. 
   Бөлгіштік қатынас – рефлексифті
   
4. 
   Егер в саны натурал сан а – ның бһөлгіші болып табылса, онда в саны а – Дан артық бола алмайды
   
5. 
   Бөлгіштік қатына антисимметриялы
   
6. 
   Бөлгіштік қатынас транзитивні
   

Теорема. Егер а мен в сандары бөлінсе және а>в болса, онда а-в айырымы да осы санға бөлінеді.

жүктеу/скачать 0.77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: