Лектор: доц. Д-р Стефан Иванов



Дата18.07.2016
өлшемі40.82 Kb.

Диференциална геометрия

лектор: доц. Д-р Стефан Иванов




кредити

общ хорариум

часове седмично

уч. година, семестър

форма на обучение

специал-

ност

статут на дисципли-ната

7

90

(60+30)


4+2

втори курс,

IV семестър



редовно

математика

задължителна



Анотация

Курсът разглежда основни въпроси на диференциалната геометрия. Състои се от две части: диференциална геометрия на кривите и повърхнините в тримерното евклидово пространство и диференциална геометрия на диференцируеми многообразия. Въвеждат се основни диференциални инварианти като кривина и торзия за криви и се доказва основната теорем за локално съществуване на крива по зададена кривина и торзия. За повърхнини-първа и втора основна форма, гаусова и средна кривина, асимптотични линии, линии на кривина, геодезични линии. Въвежда се понятието за линейна свързаност като паралелно пренасяне върху повърхнина и абстрактно върху многообразие. Разглеждат се подробно плоски и проективно плоски свързаност и техните тензорни характеризации – тензора на кривина и проективния тензор на Вайл. За Риманово многообразие се доказват теоремите на Шур и Херглотц, дефинира се конформния тензор на Вайл.


.

Конспект по "Диференциална Геометрия"



  1. Линия, естествен параметър, праволинейност, правилна крива; триедър и формули на Френе.

  2. Инварианти на линия, праволинейност и равнинност.

  3. Естествени уравнения, основна теорема.

  4. Рой прави, централна линия на развиваем рой, еволюта.

  5. Допирателна равнина и нормала на повърхнина; придружаващ триедър; първа основна форма инвариантност.

  6. Изображение на Вайнгартен; втора основна форма инвариантност.

  7. Гаусова и средна кривина, инвариантност, омбилични повърхнини.

  8. Инварианти по линия върху повърхнина, нормална кривина; теорема на Мьоние.

  9. Асимптотични линии, параболична повърхнина.

  10. Геодезична торзия, главни линии върху повърхнина, главни сечения.

  11. Условия за интегруемост на производните, символи на Кристофел, уравнения на Гаус-Петерсон-Кодаци.

  12. Теорема Егрегиум, омбилични повърхнини, основна теорема за повърхнините (без доказателство).

  13. Ковариантно диференциране в теорията на повърхнините, инвариантност. Дивергенция на векторно поле.

  14. Паралелно пренасяне, геодезични линии; геодезични паралелни координати, минимално свойство на геодезичните.

  15. Изометрия и конформност на повърхнини. Повърхнини с постоянна гаусова кривина.

  16. Гладко многообразие, примери. Гладки функции, гладки изображения.

  17. Допирателни вектори и допирателно пространство в точка на гладко многообразие.

  18. Диференциал на гладко изображение, локални координати, ранг.

  19. Гладки векторни полета, комутатор. Диференциални 1-форми; външно диференциране на 1-форма.

  20. Подмногообразие. Допирателно разслоение; индуцирано изображение между допирателни разслоения.

  21. Тензорни полета и диференциални форми. Локализация.

  22. Външно диференциране на диференциални форми. Индуцирано изображение между диференциални форми.

  23. Линейна свързаност; кривина, торзия, примери.

  24. Основна теорема за плоска симетрична свързаност.

  25. Паралелно пренасяне и геодезични линии. Проективно еквивалентни симетрични линейни свързаности.

  26. Проективен тензор на Вайл. Проективно плоски свързаности.

  27. Риманови многообразия, свързаност на Леви-Чивита, свойства на тензора на кривина, секционна кривина.

  28. Риманови многообразия с постоянна секционна кривина, второ тъждество на Бианки, теореми на Шур и Херглотц.

  29. Конформно еквивалентни Риманови многообразия. Конформен тензор на Вайл.

  30. Конформно плоски Риманови многообразия.

  31. Уравнения на Ойлер-Лагранж. Минимално свойство на геодезичните.

Литература:



  1. Г. Станилов, Диференциална геометрия.

  2. П.К.Рашевскии, Римановая Геометрия и тензорний анализ.

  3. С. Кобаяси, К.Номидзу, Основи диференциальной геометрии, том 1, том 2.


Основни теми

Първа част - диференциална геометрия на кривите и повърхнините в тримерното евклидово пространство:

  • естествен параметър и формули на Френе за линия;

  • еднопараметрични системи от прави, развиваеми роеве;

  • първа и втора основна форма на повърхнина;

  • гаусова и средна кривина;

  • асимптотични, геодезични и линии на кривина;

  • вътрешна геометрия на повърхнина, изометрия и конформно изображение.

Втора част - диференциална геометрия на диференцируеми многообразия:

  • диференцируеми изображения, гладки векторни полета, тензорни полета и диференциални форми;

  • линейна свързаност; плоски свързаности, проективно плоски свързаности, тензорни инварианти;

  • паралелно пренасяне и геодезични линии;

  • риманови многообразия, конформно плоски многообразия, тензорни инварианти;

  • риманови многообразия с постоянна секционна кривина;

  • теорема на Гаус-Боне.

Каталог: geometry


Достарыңызбен бөлісу:


©dereksiz.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет