Математическая логика, основанная на теории типов
жүктеу/скачать 0.72 Mb.
|
E!(ɿx)(x) . = : (b) : x . x . x=b Df. Здесь ‘E!(ɿx)(x)’ может прочитываться ‘Существует такой элемент как х, который выполняет х’ или ‘тот х, который выполняет х, существует’. Мы имеем ├ : . E!R‘y . : (b) : xRy . x . x=b. Кавычка в R‘y может прочитываться. Так, если R – отношение отца к сыну, то ‘R‘y’ есть ‘отец у’. Если R – отношение сына к отцу, все пропозиции о R‘y будут ложными, если у не имеет ни одного или больше, чем одного, сына. Из сказанного выше обнаруживается, что дескриптивные функции получаются из отношений. Определяемые теперь отношения главным образом важны для рассмотрения дескриптивных функций, которым они дают начало. Cnv =   {xQy . x, y . yPx} Df.
Здесь Cnv есть сокращение для ‘конверсия’. Это определяет отношение некого отношения к своей конверсии; например, отношение отношения больше к отношению меньше, отношения отцовства к отношению сыновства, отношение предшественника к отношению наследника и т.д. Мы имеем ├ . Cnv‘P = (ɿQ){xQy . x, y . yPx}. Для сокращения записи, что часто более удобно, мы устанавливаем:  = Cnv‘P Df.
Нам требуется ещё одна запись для класса терминов, имеющих отношение R к у. С этой целью мы устанавливаем:  =   { =  (xRy)} Df.,
отсюда,
├ . ‘y = (xRy).
Сходным образом мы устанавливаем:  =  { = (xRy)} Df.,
отсюда,
├ . ‘x = (xRy).
Далее нам требуется область R (т.е. класс элементов, имеющих отношение R к чему-либо), конверсная область R (т.е. класс элементов, к которым что-либо имеет отношение R), и поле R, представляющее собой сумму области R и конверсной области R. С этой целью мы определяем отношения области, конверсной области и поля к R. Определения таковы: D =  { = ((y) . xRy)} Df.,
[D] = { = ((x) . xRy)} Df.,
C =  { = ((y) : xRy . . yRx)} Df.
Заметим, что третье из этих определений значимо только тогда, когда R есть то, что можно было бы назвать однородным отношение; т.е. отношением, в котором, если xRy имеет место, х и у относятся к одному и тому же типу. В противном случае, как бы мы не выбирали х и у, либо xRy, либо yRx были бы бессмысленными. Это наблюдение важно в связи с парадоксом Бурали-Форти. На основании приведённых определений мы получаем: ├ . D‘R = {(y) . xRy},
├ . [D]‘R = ├ . C‘R = Далее нам требуется запись для отношения класса членов, к которым некоторый элемент из имеет отношение R, к классу , содержащемуся в области R, а также запись для отношения класса членов, которые имеют отношение R к некоторому элементу из , к классу , содержащемуся в конверсной области R. Для второй из них мы устанавливаем: R = { = ((y) . y . xRy)} Df.
Поэтому,
├ . R‘ = {(y) . y . xRy}.
Так, если R есть отношение отца к сыну, а – это класс выпускников Итона, то R‘ будет классом ‘отцы выпускников Итона’; если R есть отношение ‘меньше’, а – это класс правильных дробей формы 1–2–n для целых значений n, то R‘ будет классом дробей, меньших чем некоторая дробь формы 1–2–n; т.е. R‘ будет классом правильных дробей. Другое вышеупомянутое отношение есть (  ).
В качестве альтернативной записи, часто более удобной, мы устанавливаем: R‘‘ = R‘ Df. Относительное произведение двух отношений R и S есть отношение, которое имеет место между х и z всегда, когда имеется элемент у, такой что и xRy, и yRz имеют место. Относительное произведение обозначается как RS. Так, RS =  {(y) . xRy . yRz} Df.
Мы также устанавливаем: R2 = RR Df. Часто требуются произведение и сумма класса классов. Они определяются следующим образом: s‘ = {() . . x} Df.
p‘ = { . . x} Df.
Сходным образом для отношений мы устанавливаем:  ‘ = {(R) . R . xRy} Df.
 ‘ = {R . R . xRy} Df.
Нам нужна запись для классов, чьим единственным элементом является х. Пеано использует x, поэтому, мы будем использовать ‘x. Пеано показал (это подчёркивал и Фреге), что этот класс нельзя отождествить с х. При обычном взгляде на классы необходимость такого различия остаётся загадочной; но с точки зрения, выдвинутой выше, она становится очевидной. Мы устанавливаем: = отсюда,
├ . ‘x = (y = x) Df.,
и ├ : E! т.е. если – это класс, который имеет только один элемент, то этим элементом является  ‘1.
Для класса классов, содержащихся в данном классе, мы устанавливаем: Cl‘ = ( ) Df.
Теперь мы можем перейти к рассмотрению кардинальных и ординальных чисел и того, как их затрагивает учение о типах. IX. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Кардинальное число класса определяется как класс всех классов, сходных с ; два класса являются сходными, когда между ними имеется одно-однозначное отношение. Класс одно-однозначных отношений обозначается как и определяется следующим образом: 11 =  {xRy . x/Ry . xRy/ . x, y, x/, y/ . x = x/ . y = y/} Df.
Сходство обозначается как Sim и определяется так: Sim = {(R) . R11 . D‘R = . D‘R = } Df.
Тогда,  ‘ есть, по определению, кардинальное число ; его мы будем обозначать как Nc‘; следовательно, мы устанавливаем:
Nc = Df.,
отсюда,
├ . Nc‘ = ‘.
Класс кардинальных чисел мы будем обозначать как NC; таким образом, NC = Nc‘‘cls Df. 0 определяется как класс, чьим единственным элементом является нуль-класс (т.е. ), поэтому 0 = ‘ Df. Определение 1 следующее: 1 = {(c) : x . x . x = c} Df.
Легко доказать, что, согласно определению, 0 и 1 являются кардинальными числами. Однако необходимо отметить, что, согласно приведённым выше определениям, 0, 1 и все другие кардинальные числа являются неопределёнными символами, типа cls, и имеют столь много значений, сколько существует типов. Начнём с 0; значение 0 зависит от значения , а значение различается согласно типу, нуль-классом которого он является. Таким образом, существует столько же 0, сколько существует типов; то же самое применяется ко всем другим кардинальным числам. Тем не менее, если два класса и относятся к различным типам, мы можем говорить о них, как об имеющих одно и то же кардинальное число, или что один из них имеет кардинальное число большее, чем другой, поскольку одно-однозначное отношение может иметь место между элементами и даже тогда, когда и относятся к различным типам. Например, пусть будет ‘‘, т.е. классом, чьими элементами являются классы, состоящие из единственного члена . Тогда ‘‘ относится к более высокому типу, чем , но подобно , поскольку соотнесено с посредством одно-однозначного отношения . Иерархия типов имеет важные следствия в отношении сложения. Предположим, у нас есть класс из членов и класс из членов, где и являются кардинальными числами; может случиться так, что их совершенно невозможно объеденить, чтобы получать класс, состоящий из членов и из членов , поскольку, если классы не относятся к одному и тому же типу, их логическая сумма бессмысленна. Только там, где рассматриваемое число классов конечно, мы можем устранить практические следствия этого благодаря тому факту, что мы всегда можем применить к классу, который увеличивает свой тип до любой требуемой степени без изменения своего кардинального числа. Например, при любом классе класс ‘‘ имеет то же самое кардинальное число, но относится к типу идущему за . Следовательно, для любого конечного числа классов различных типов мы можем увеличить все их до типа, который мы можем назвать наименьшим общим множителем всех рассматриваемых типов; и можно показать, что это может быть сделано таким способом, что результирующие классы не будут иметь общих элементов. Затем мы можем образовать логическую сумму всех полученных таким образом классов, и её кардинальное число будет арифметической суммой кардинальных чисел изначальных классов. Но там, где у нас есть бесконечные последовательности классов восходящих типов, этот метод применить нельзя. По этой причине мы не можем доказать, что должны быть бесконечные классы. Ибо, предположим, что было бы вообще только n индивидов, где n – конечно. Тогда было бы На основании предложенного выше способа рассуждения ясно, что доктрина типов избегает всех затруднений относительно наибольшего кардинального числа. Наибольшее кардинальное число есть в каждом типе; но его всегда превосходит кардинальное число следующего типа, поскольку, если – кардинальное число одного типа, то кардинальное число следующего типа есть Если принимается, что ни один конечный класс индивидов не содержит всех индивидов, отсюда следует, что существуют классы индивидов, имеющие любое конечное число. Следовательно, все конечные кардинальные числа имеют место как кардинальные числа индивидов; т.е. как кардинальные числа классов индивидов. Отсюда следует, что существует класс א0 кардинальных чисел, а именно, класс конечных кардинальных чисел. Следовательно, א0 имеет место как кардинальное число класса классов классов индивидов. Образуя все классы конечных кардинальных чисел мы находим, что Если в добавок к предположению, что ни один из конечных классов не содержит всех индивидов, мы предполагаем мультипликативную аксиому (т.е. аксиому, что для заданного множества взаимно исключающих классов, ни один из которых не является нулевым, есть по крайней мере один класс, включающий один элемент из каждого класса этого множества), то мы можем доказать, что существует класс, содержащий א0 элементов, так что א0 будет иметь место как кардинальное число индивидов. Это несколько уменьшает тип, до которого мы должны дойти, чтобы доказать теорему о существовании для любого заданного кардинального числа, но не даёт нам какой-либо теоремы о существовании, которая раньше или позже не может быть получена иначе. Многие элементарные теоремы, включающие кардинальные числа требуют мультипликативную аксиому1. Необходимо отметить, что эта аксиома эквивалентна аксиоме Цермело2 и, следовательно, допущению, что каждый класс может быть вполне упорядочен3. Эти эквивалентные предпосылки, по-видимому, доказать невозможно, несмотря на то, что мультипликативная аксиома выглядит достаточно правдоподобной. В отсутствии доказательства, видимо, лучше не принимать мультипликативную аксиому как допущение, но устанавливать её как условие в каждом случае, в котором она используется.
X. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Ординальное число есть класс ординально сходных вполне упорядоченных рядов, т.е. отношений, образующих такие ряды. Ординальное сходство, или подобие, определяется следующим образом: Smor = {(S) . S11 . [D]‘S = C‘Q . P = SQ } Df.,
где ‘Smor’ есть сокращение для ‘сходны ординально’. Класс отношений ряда, которые мы будем называть ‘Ser’, определяется так: Ser = {xPy . x, y . (x = y) : xPy . yPz . x, y, z . xPz : x C‘P . x .  ‘x ‘x  ‘x = C‘P}Df.
Т.е. если читать Р как ‘предшествует’, то отношение является отношением ряда, если: (1) нет ни одного элемента, предшествующего самому себе; (2) предшественник предшественника есть предшественник; (3) если х есть какой-то член поля отношения, то предшественники х вместе с х в совокупности с его предшественниками образуют всё поле отношения. Вполне упорядоченные отношения ряда, которые мы будем называть , определяются следующим образом: = {P Ser : C‘P . ! . . !( – ‘‘)} Df.;
т.е. P порождает вполне упорядоченные ряды, если Р есть отношение ряда, и любой класс , содержащийся в поле Р и не являющийся нулевым, имеет первый член. (Отметим, что ‘‘ суть члены, входящие после некоторого члена ).
Если как No‘P обозначить ординальное число вполне упорядоченного отношения Р, а как NO класс ординальных чисел, то мы получим: No = {P . =  ‘P} Df.,
NO = No‘‘. Из определения No мы получаем: ├ : P . . No‘P = ‘P ,
├ : (P ) . . E!No‘P. Если теперь мы проверим наши определения с точки зрения их связи с теорией типов, мы увидим, прежде всего, что определения ‘Ser’ и включают поля отношений ряда. Поле же значимо только тогда, когда отношение является однородным; следовательно, отношения, которые не являются однородными, не порождают ряд. Например, можно подумать, что отношение порождает ряд ординального числа , типа x, жүктеу/скачать 0.72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
классов индивидов, 
классов классов индивидов и т.д. Таким образом, кардинальное число членов каждого типа было бы конечно; и хотя эти числа превосходили бы любое заданное конечное число, не 
, которое, как показал Кантор, всегда больше, чем . Поскольку не существует метода сложения различных типов, мы не можем говорить о ‘кардинальном числе всех объектов каких бы то ни было типов’ и, поэтому, абсолютно наибольшего кардинального числа не существует.
имеет место как кардинальное число класса классов классов классов индивидов; и так мы можем продолжать неопределённо долго. Можно также доказать существование אn для каждого конечного n; но это требует рассмотрения ординалов.