Математиканы

АВ  CD (3)

2. 
   және (3) теңдіктерден
   

СD  CD₁ , яғни СD нүктесі өзінің
CD₁
бөлігіне тең,

бірақ бұлай болуы мүмкін емес. Сонымен, біз қайшылыққа келдік. Демек,

АВ  CD
деп ұйғаруымыз дұрыс емес. Ендеше,
АВ  CD .

Енді кері теореманы дәлелдеудің үшінші тәсілін қарастырайық. Бұл тәсілде кері теоремамен мәндес қарама-қарсы теореманы, яғни
(Q  P)  (P  Q ) пайдаланамыз. Екі теореманың да дұрыстығына көз
жеткізу үшін олардың біреуін дәлелдеу жеткілікті. Біз қарама-қарсы теореманы дәлелдейік.
Теорема (қарама-қарсы). Егер шеңбердің екі хордасы тең болмаса, онда олар керетін доғалар да тең болмайды.

Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша
АВ  СD . Сондықтан
АВ  СD₁

болатындай D₁ нүктесін салайық. Онда алдыңғы теорема бойынша
 АтВ  СnD₁, сонда мынадай екі жағдай болуы мүмкін:

1. 
   АВ  СD
   
2. 
   АВ  СD
   

болса, онда болса, онда
 АтВ  СnD,
 АтВ  СnD.

Олай болса,  АтВ  СnD . Дәлелдейтініміз осы еді.

дәлелдеуді талап еткен қорытынды дұрыс (яғни, мысалда
АВ  СD
деуіміз

жалған, олай болса АВ  СD ).
Теоремаларды дәлелдегенде оқушыларды дәлелдеу әдістеріне төсілдіріп, оны есеп шығарғанда, басқа пәндерді оқығанда, ойлану үрдісіне пайдалануға үйрету мақсатын көздейміз. Олай болса, мұғалім оқушыларға теоремаларды дәлелдеуді үйретуге көңіл бөлуі керек. «Дәлелдеу дегеніміз ақиқат пайымдауларға негізделген ой қорыту және болжамдарға сүйеніп дәлелдемелік пайымдаулар» деген болатын Платон.
Теореманың ішінде шарты және қорытындысы болады. Шартынан не берілгенін, ал қорытындысынан не дәлелдеу керек екенін білуге болады. Теорема «егер» деген сөзбен басталса, «онда» деген сөзге дейінгі – оның шарты, ал онда деген сөзден аяғына дейінгі – қорытындысы. Бірақ кейбір теоремалардың шарты мен қорытындысын оқушылар айыра алмайды. Мұндай жағдайда оқушыларға мұғалім көмектесіп үйретуі керек. Мысалы:
«Сыбайлас бұрыштардың қосындысын табыңдар». Оқушылар

транспортирмен бұрыштарды өлшеп, қосындысы
180⁰
болатынын табады да,

«Сыбайлас бұрыштардың қосындысы
180⁰
болады» деген теореманы өздері

айтады. Бұл көрнекі - белсенділік әдістің бір жақсысы оқушылар өздігінен белсенді жұмыс істейді, есептер шығаруды үйренеді. Сөйтіп, оқушыларды теоремамен таныстырғанда неғұрлым олар саналы және белсенді қатынасатын болса, соғұрлым теорема және оның ілгерідегі дәлелдеуі оларға түсінікті болады. Теореманы оқушылардың бұрыннан білетін материалдарына сүйеніп, оларды негізге ала отырып логикалық жолмен дәлелдейтініміз белгілі. Дәлелдеу процесінде қарастырылып отырған теорема мен өтілген теоремалар арасындағы логикалық байланысты көрсету үшін бір–екі теорема алып, олар «бұрынғы» қандай теоремалар арқылы дәлелдейтінін схема сызып түсіндірген жөн. Мұғалім әрбір келесі теореманы дәлелдеу үшін қандай өткен материалдарды қайталап келуді дер кезінде оқушыларға тапсырып отырғаны жөн. Егер тапсырма алдын ала берілмеген болса, онда мұғалім теореманы дәлелдеу процесінің қай жерінде өтілген қандай материалдың, қалай қолданылып жатқанын толық түсіндіруі қажет және кейін сол теореманы қайталағанда оқушылардың өткен материалдарды қалай пайдалана білетінін тексеру керек.