«научное наследие заки ахметова и национальные ценности», в честь 95-летнего юбилея Заки Ахметова

138 
alay_tapsyrmalaryn_daiynday_joldary-203612.html 
6. http://www.myshared.ru/slide/1405043/ 
ӘОЖ 511.172 
 
САЛЫСТЫРУЛАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ҚОЛДАНЫСЫ 
Жанузакова А.Ж., Ержанова А.Е., Серикбол А., Серік Л., Жиеншеева Т. 
С. Аманжолов атындағы ШҚУ, Өскемен қ., Қазақстан 
e-mail: ayau.maksutova@gmail.com 
Сандар теориясының элементтері мектеп курсы математикасында маңызды 
рөл атқарады. Арифметиканың көптеген есептерін шешу кезінде бүтін сандармен 
және оларға қатысты тапсырмаларды орындауға тура келеді. Осы тақырыптардың 
ішінде салыстырулар теориясының да өзіндік орны бар. Салыстырулар теориясынң 
көмегімен көптеген есептерді шешуге, қиындығы күрлелі тапсырмаларды 
орындауға болады.
Салыстыру ұғымының негізін Гаусс қалаған. Бұл ұғым маңызды көптеген 
практикалық қолданыстарға ие. 
Салыстыру теориясында қандай да бір натурал 
𝑚 саны үшін a және b бүтін 
сандарын m санына бөлгендегі қалдықтар қарастырылады. Осы қалдықтардың 
қасиеттері, олармен жасалатын амалдар модуль бойынша салыстыру теориясының 
негізін құрайды.
Математикадан қиындығы жоғары есептерді шығаруды оқыту әдістемесін 
құру мәселесімен көптеген педагог-мұғалімдер шұғылданып келеді [1-3]. 
Күрделілігі жоғары есептерді шешу - бұл өте күрделі процесс, оны сипаттау кезінде 
оның барлық алуан түрлілігін ескеру мүмкін емес. Мектеп оқушыларының 
есептерді шешуге деген қызығушылығын оятып, оларды типтік есептерді шығаруға 
ғана үйретіп қоймай, негізді бөліп көрсетуге, талдауға, дәлелдеуге, жоспар құруға, 
ұқсастықтарды табуға үйрету маңызды. Сонымен қатар жоғарғы математиканың 
элементтерін пайдаланып мектептің күрделілігі жоғары есептерін шығаруға үйрету 
керек. Ол үшін математикадан эллектив курстарда, қосымша сабақтарда жаңа 
салыстырулар теориясы, графтар теориясы, көпмүшеліктер теориясы сияқты және 
т.б. курстарды оқытудың да маңызы зор. 
Бұл теориялық зерттеу студенттер мен оқушыларды стандартты емес 
есептерді шешуге үйретуге бағытталған әртүрлі әдістемелік әдістерді анықтауға 
бағытталған. Сондай-ақ, модуль бойынша салыстыру ұғымының көмегімен мектеп 
математикасынан қиындығы жоғары, олимпиадалық есептерді тиімді шешу әдісін 
зерттеуге бағытталған.
Мектеп курсы алгебрасындағы қиындығы жоғары есептерді шешуде 
салыстырулар теориясының қолданысына тоқталайық. 
a және b екі бүтін сандар n модулі бойынша салыстырымды деп аталады, егер 
a және b n-ге бөлінгенде бірдей қалдық болса немесе 
𝑛|(𝑎 − 𝑏) болса. Бұл жағдайда 
ол мына түрде 
𝑎 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑 𝑛) жазылады. 

139 
Мысалы, 
−27 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑 7), себебі -27 = 7 ⋅ (-4) + 1, және 15 = 7 ⋅ 2 + 1; 
басқаша айтқанда, 15 – (-27) = 42, және 7|42. Екінші жағынан, 
𝑆 ≠ −4(𝑚𝑜𝑑 7), 
себебі 5 = 7 
⋅ 0 + 5, бірақ -4 = 7 ⋅ (-1) + 3; басқаша айтқанда, 5 – (-4) = 9, және 7|9. 
Салыстыру қасиеттері: 
1. 
Салыстыру қатынасы 
≡ эквиваленттілік қатынасы болып табылады, 
яғни: 
𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛) кез келген а бүтін сан үшін; 
егер 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) болса, онда 𝑏 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛); 
егер 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) және 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) болса, онда 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛). 
2. 
Егер 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) болса, онда 𝑓(𝑎) ≡ 𝑓(𝑏)(𝑚𝑜𝑑 𝑛) бүтін 
коэффициенттері бар кез келген 
𝑓(𝑥) көпмүшесі үшін. 
3. 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑘𝑛), мұндағы 𝑘 ∈ 𝑁. 
4. 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑘𝑎 ≡ 𝑘𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛), мұндағы 𝑘 ∈ 𝑍, (𝑘, 𝑛) = 1. 
5. 
{
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛
1
)
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛
2
)
…
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛
𝑘
)
⟺ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑀), мұндағы 𝑀 = [𝑛
1
, 𝑛
2
, … , 𝑛
𝑘
]. 
Сонымен, бірінші қасиеттің дәлелі мына анықтамадан туындайды: 
𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛),
өйткені 
𝑎 – 𝑎 = 0, және 𝑛|0; егер 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) болса, онда 𝑛|(𝑎 − 𝑏), 
демек 
𝑛|(𝑏 − 𝑎), яғни 
𝑏 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛);
егер 
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) және 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) болса, онда 
𝑛|(𝑎 − 𝑏), 𝑛|(𝑏 − с), демек 𝑛|(𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐),
яғни 
𝑛|(𝑎 − 𝑐) және 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛). Сонымен, салыстыру қатынасы 
рефлексивті, симметриялы және транзиті қасиеттеріне ие. 
Мысалдар қарастырайық.
Мысал 1 
𝑓(𝑥) = 15𝑥
3
− 33𝑥² + 7 болса, онда 𝑓(86)-ны 11-ге бөлгендегі 
қалдықты табыңыз.

140 
Шешуі. Есепті шешу үшін біз салыстырудың «бірінші» деңгейіндегі барлық 
сандарды 11-ге бөлгендегі қалдықтарымен немесе одан да ыңғайлырақ, олармен 11 
модулі бойынша салыстырылатын ең кіші абсолютті сандармен ауыстырамыз: 
86 ≡ −2(𝑚𝑜𝑑 11); 15 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 11); 33 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 11)
Және 
7 ≡ −4 (𝑚𝑜𝑑 11).
Сонда 
𝑓(86) ≡ 𝑓(−2)(𝑚𝑜𝑑 11), және біз 
𝑓(−2) ≡ 4 ⋅ (−2)
3
− 0 ⋅ (−2)
2
− 4 ≡ −32 – 4
≡ −36 ≡ −3 ≡ 8(𝑚𝑜𝑑11)
салыстырулар тізбегін аламыз. Сонымен, 
𝑓(86)-ны 11-ге бөлгендегі қалдық 
8-ге тең. 
Мысал 2 
10! = 7! (𝑚𝑜𝑑 1000) дұрыс па? 
Шешуі. 
11!, 7! және 1000 сандарын жай көбейткіштерге жіктеу арқылы, 
2
8
⋅ 3
4
⋅ 5
2
⋅ 7 ⋅ 11 ≡ 2
4
⋅ 3
2
⋅ 5 ⋅ 7(𝑚𝑜𝑑 2
3
⋅ 5
3
)
салыстыруын аламыз. Салыстырудың барлық үш бөлігін 
2
3
⋅ 5 санына 
қысқарту арқылы,
2
5
⋅ 3
4
⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ≡ 2 ⋅ 3
2
⋅ 7(𝑚𝑜𝑑 25)
салыстыруын аламыз. Салыстырудың екі бөлігін 25 модуліне салыстырмалы 
түрде қарапайым болып табылатын 
2 ⋅ 3
2
⋅ 7 санына қысқартсақ, 
2
4
⋅ 3
2
⋅ 5 ⋅ 11 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 25)
салыстыруын аламыз. Өйткені, 
2
3
⋅ 3 ≡ −1(𝑚𝑜𝑑 25) және 2 ⋅ 11 ≡ −3(𝑚𝑜𝑑 25), онда 
2
4
⋅ 3
2
⋅ 5 ⋅ 11 ≡ (−1) ⋅ (−3) ⋅ 3 ⋅ 5 ≡ 9 ⋅ 5 ≡ 20(𝑚𝑜𝑑 25).
Сондықтан бастапқы салыстыру қате. 
Мысал 3 101 модулі бойынша 23 санына салыстырымды ең кіші төрт таңбалы 
натурал санды табыңыз. 

141 
Шешуі. Тапсырма 
1000 + 𝑡 ≡ 23(𝑚𝑜𝑑 101) болатын ең кіші теріс емес t 
бүтін санды табуға дейін қысқартылады. Бұл жағдайда 
𝑡 ≡ 23 − 1000 ≡ 23 + 10 ≡ 33(𝑚𝑜𝑑 101),
яғни t = 33. Сонымен, 101 модулі бойынша 23 санына салыстырымды ең кіші 
төрт таңбалы натурал сан 1033-ке тең. 
Мысал 4 Кез келген теріс емес бүтін n саны үшін 
9
2𝑛+1
+ 8
𝑛+2
≡ 0(𝑚𝑜𝑑73) 
болатынын дәлелдеңдер. 
Шешуі. 
9
2𝑛+1
+ 8
𝑛+2
≡ 9 ⋅ 81
𝑛
+ 64 ⋅ 8
𝑛
≡ 9 ⋅ 8
𝑛
− 9 ⋅ 8
𝑛
≡ 0(𝑚𝑜𝑑73) 
екенін көруге болады. 
Мысал 3.5 
𝑓(𝑥) = 𝑥
10
+ 4𝑥
7
− 22𝑥
4
+ 101 болса, онда 𝑓(75)-ті 11-ге 
бөлгендегі қалдықты табыңыз. 
Шешуі: Есепті шешу үшін біз салыстырудың «бірінші» деңгейіндегі барлық 
сандарды 11-ге бөлгендегі қалдықтарымен немесе одан да ыңғайлырақ, олармен 11 
модулі бойынша салыстырылатын ең кіші абсолютті сандармен ауыстырамыз:
75 ≡ −2(𝑚𝑜𝑑 11); 1 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 11);
4 ≡ −7(𝑚𝑜𝑑 11); 22 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 11) және
101 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 11).
Сонда 
𝑓(75) ≡ 𝑓(−2)(𝑚𝑜𝑑 11), және біз 
𝑓(−2) ≡ (−2)
10
+ 7 ⋅ (−2)
7
− 0 ⋅ (−2)
4
+ 2
≡ 1024 − 896 + 2 ≡
130 ≡ −2 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑11)
салыстыру тізбегін аламыз. Сонымен, 
𝑓(75)ны 11-ге бөлгендегі қалдық 9-ге 
тең. 

жүктеу/скачать 5.2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: