«научное наследие заки ахметова и национальные ценности», в честь 95-летнего юбилея Заки Ахметова

61 
Алынған мәндерге талдаулар жасайтын болсақ: есептеу бастапқы нүктеден 
аластаған сайын қателіктің өсетіндігін және максимал ауытқу үлкен шама 
болатынын және соңғы нүктеге сәйкес келетіндігін көреміз. Мұнда Max_қателік = 
0,362416164. Графигі сурет 1 көрсетілген. 
Сурет 1 – Мысал 1, 
ℎ = 0.1 
Сандық экспериментті жалғастырып, мысал 1 есебінің шешімін 
ℎ қадамының 
мәнін өзгертіп тауып көрейік. Мысалы, 
ℎ = 0.2 болсын. Онда сандық 
эксперименттің нәтижелері кесте 2 берілген. 
 Кесте 2 – Мысал 1 есебінің сандық нәтижелері, 
ℎ = 0.2 
k 
x_k 
у_k+1 
hf(x_k; y_k) 
y_нақты 
ε 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
1 
0,2 
0 
0,004 
0,00271 
0,00129 
2 
0,4 
0,004 
0,016322 
0,022793 
0,006472 
3 
0,6 
0,020322 
0,03848 
0,084137 
0,045657 
4 
0,8 
0,058801 
0,073754 
0,229639 
0,155885 
5 
1 
0,132555 
0,128268 
0,557408 
0,42914 
Max_қателік= 0,42914 
Мұнда да алынған нәтижелерге талдаулар жасайтын болсақ: есептеу 
бастапқы нүктеден аластаған сайын қателіктің өсетіндігін және максимал ауытқу 
үлкен шама болатынын және оның да соңғы нүктеге сәйкес келетіндігін көреміз. 
Мұнда Max_қателік = 0,42914. Эксперименттің салыстырмалы графигін сурет 2 
көруге болады.

62 
Сурет 2 – Мысал 1, 
ℎ = 0.2 
Енді төменде Рунге-Кутта әдісін қарастырып, сандық эксперименттердің 
жүзеге асырылған нәтижелерін келтірейік. 
Мысал 1 Рунге-Кутта әдісі арқылы жуық шешімін табу керек.
Шешуі. Мұнда үшінші ретті дәлдіктегі Рунге-Кутта есептеу формулалары 
келесі түрде: 
𝑦
𝑘+1
= 𝑦
𝑘
+ ∆𝑦
𝑘
∆𝑦
𝑘
=
1
4
(𝐾
1
𝑘
+ 3𝐾
3
𝑘
)
𝐾
1
𝑘
= ℎ𝑓(𝑥
𝑘
, 𝑦
𝑘
)
𝐾
2
𝑘
= ℎ𝑓(𝑥
𝑘
+
1
3
ℎ, 𝑦
𝑘
+
1
3
𝐾
1
𝑘
)
𝐾
3
𝑘
= ℎ𝑓(𝑥
𝑘
+
2
3
ℎ, 𝑦
𝑘
+
2
3
𝐾
2
𝑘
)
Сандық экспериментті Excelде жалғастырып, нәтижелерін кесте түрінде 
берейік. 3 кестеде мысал 1 есебінің сандық нәтижелері берілген. Және төменде 
Сурет 3 нәтиже график түрінде кескінделген. Мұнда қадам 0,1 болсын. 
Кесте 3 – Мысал 1 есебінің нәтижелері, үшінші ретті дәлдік 
k 
x 
K1 
K2 
K3 
∆У 
У 
yнақты 
0 
0 
0 0,000111 0,000445 0,000334 
0 
0 
1 
0,1 0,001007 0,001796 0,002829 0,002373 0,000334 0,000335 
2 
0,2 0,004109 0,005636 
0,00746 0,006622 0,002708 
0,00271 
3 
0,3 0,009568 0,011961 0,014743 
0,01345 
0,00933 0,009336 

63 
4 
0,4 0,017874 0,021351 0,025369 0,023496 
0,02278 0,022793 
5 
0,5 0,029842 0,034758 0,040464 0,037808 0,046275 0,046302 
6 
0,6 0,046797 0,053731 0,061869 0,058101 0,084084 0,084137 
7 
0,7 0,070928 0,080849 0,092689 0,087249 0,142185 0,142288 
8 
0,8 0,105973 
0,12058 0,138412 0,130302 0,229433 0,229639 
9 
0,9 0,158693 0,181163 0,209432 0,196748 0,359736 0,360158 
10 
1 0,242264 0,279081 0,327322 0,306057 0,556483 0,557408 
Сурет 3 – Мысал 1, үшінші ретті дәлдіктегі Рунге-Кутта, 
ℎ = 0.1 
Рунге-Кутта әдістері - қарапайым дифференциалдық теңдеулер мен олардың 
жүйелері үшін Коши есебін шешуге арналған сандық әдістердің үлкен класы. 
Сандық эксперименттің нәтижесінен көріп отырғанымыздай, Рунге-кутта әдісінің 
дәлдігі жоғары. 
Бұл класстың алғашқы әдістерін шамамен 1900 жылы неміс математиктері 
К.Рунге мен М.В.Кутта ұсынған. Рунге-Кутта әдістерінің класына сәйкесінше 
бірінші және екінші ретті дәлдіктегі әдістер болып табылатын айқын Эйлер әдісі 
және қайта есептеумен өзгертілген Эйлер әдісі кіреді. Кеңінен қолданылмаған 
дәлдіктің үшінші ретті стандартты айқын әдістері бар. Әртүрлі математикалық 
пакеттерде (Maple, MathCAD, Maxima) ең жиі қолданылатын және жүзеге 
асырылатыны классикалық Рунге-Кутта әдісі болып табылады, ол дәлдіктің 
төртінші ретін иеленеді. Жоғары дәлдікпен есептеулерді орындау кезінде дәлдіктің 
бесінші және алтыншы дәрежелі әдістері көбірек қолданылады [1][2]. Жоғары ретті 
тізбектерді құру үлкен есептеу қиындықтарымен байланысты [3]. 

жүктеу/скачать 5.2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: