О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе1

Порядок дал Частям Числа, которые собрали

Далее, из Ниоткуда, тесно связанного с

Один из центральных постулатов концептуального анализа, состоит в том, что любой концепт имеет составной характер и, поэтому, задача анализа заключается в том, чтобы выявить смысловые составляющие концепта и взаимосвязи между ними, т.е. эксплицировать его сложную структуру. Методологию анализа выразим с помощью правила схоластов: «Хорошо учит тот, кто хорошо различает». Соответственно, наша задача заключается в том, чтобы проанализировать (сложную) структуру концепта числа.

Что собой представляет концептуальный анализ? Поясним это на примере рассуждения Кузанского о совпадении абсолютного максимума и минимума:

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше, он не может быть и меньше: ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего (то, что не может стать меньше — К. С.), есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом…

Очевидно, что уже из этого фрагмента следует тезис о тождестве максимума и минимума. Во-первых, абсолютный максимум должен включать в себя все, в том числе и минимум, ибо в противном случае он не мог бы называться абсолютным максимумом (тем самым обоснован более слабый тезис о включении минимума в максимум). Во-вторых, максимум как абсолют не может быть уменьшен: абсолют не может быть ни меньше, ни больше, — ибо в этом случае он перестанет быть абсолютом. Однако ниже Кузанский усиливает (проясняет) свою аргументацию путем проведения концептуального анализа. Сначала он выделяет в составе концептов две взаимосвязанные, но все же различные идеи: максимальность и количественность. Затем показывает, что при исключении чуждой для абсолюта идеи количественности, концепты абсолютного максимума и минимума (по идее максимальности) совпадают.

… Все это для тебя прояснится, если представишь максимум и минимум в количественном определении. Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума: максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум его есть через совпадение вместе и минимум» [2, c. 54] ³.

Часть 1. Онтология числа

1. Отвечая на вопрос: «что такое математика?», можно в первом приближении сказать, что математика есть наука о ЧИСЛЕ. Однако этот тезис требует уточнения.

1.1. Во-первых, в точном смысле слова наукой о числе как таковом (в узком значении) занимается не вся математика, а ее часть — арифметика, или алгебра; другая же часть математики — геометрия — занимается не числовыми, а точкоподобными объектами. Т.е. математика занимается и числом, и точкой. Контраргументом против подобного расширения предмета математики являются процедуры редукции геометрических объектов к числовым (аналитическая геометрия Декарта, гильбертовская формализация геометрии, теоретико-множественная семантика), а также концептуальная близость числа и точки. Для предотвращения суживания предмета математики из-за ассоциации числа с арифметическим числом переформулируем тезис, заменив в нем термин «число» на «числоподобный объект»: математика изучает системы числоподобных объектов (далее под числом мы будем понимать числоподобный объект⁴).

1.2. Однако произведенное выше расширение предмета математики может оказаться недостаточным. Дело в том, что тесная увязка математики с числом может существенно ограничить сферу математики, если число является лишь разновидностью некоторой более широкой категории. Это указывает на необходимость прояснения соотношения концептов числа, количества, величины⁵. Родовым же по отношению к концепту числа является концепт математической формы⁶. Тем самым математика является не содержательной, а формальной наукой, наукой о математических формах (структурах по Бурбаки, [4]), а ее разные разделы связаны с изучением различных типов математической формы, как-то геометрическая форма, арифметическая форма etc.

1.2.1. Данная в п. 1.2 характеристика математики указывает на содержательную — видовую — характеристику математической формы: математика исследует числовые, или количественные, формы. Использование здесь категории количества подчеркивает то, что математика работает не с качественными абстракциями, которые используются в других науках, а с количественными абстракциями второго порядка.

1.2.2. Специфика математического как числовых (количественных) форм на грамматическом уровне выражается в противопоставлении прилагательных как качественных предикатов и числительных как количественных форм (метапредикатов). Фреге подчеркивает, что числовые предикаты сходны с предикатом бытия, который также имеет не-содержательный (формальный) характер [6, стр. 80].

1.3. Указание на формальный характер математики сближает ее с логикой, которую, в свою очередь, можно определить как науку о логических формах (в силу этой близости дальнейшие рассуждения, вплоть до п. 6 применимы и к логике)⁷. С другой стороны, ранее мы противопоставили математику другим — содержательным — наукам. Поясним это чуть подробнее. Рассмотрим следующий ряд: история — психология (социология) — биология — химия — физика — математика — логика (грамматика), в котором науки расположены в соответствии с «силой» запретов, накладываемых ими на универсум. Первая из перечисленных наук, история изучает уникальные (исторически неповторимые) события, поэтому она накладывает максимальное число запретов на универсум, что исключает какую-либо вариабельность исторических событий, т.е. приводит к максимальному сужению изучаемого исторического универсума до одной-единственной — фактической — исторической линии. Последующие науки ряда накладывают меньшее число ограничений и, вследствие этого, (1) изучают более широкие фрагменты универсума и (2) допускают большую вариабельность. Биологическая теория, например, в числе своих законов не учитывает запретов, связанных с социальной организацией человека. Зато и веер возможных сценариев биологического развития (например, жизни на Земле) намного богаче, а сфера применимости биологии гораздо шире, поскольку ее законы справедливы не только для Земли последних нескольких тысяч лет. Принципиальная граница проходит между последней содержательной наукой физикой и математикой (логикой). Если все остальные науки, несмотря на их различие по степени общности (сфере применимости), занимаются изучением только одного — нашего действительного — мира, то математика и логика изучают закономерности, присущие (под)множеству возможных миров (в идеале — любому возможному миру). И хотя число запретов этих наук минимально (например, логика, по сути, запрещает только противоречивость универсума рассуждений), однако «сила» законов (запретов) этих наук имеет уже абсолютный и всеобщий характер⁸. Именно это и придает математическому знанию аподиктический характер: истины математики являются лейбницевскими истинами разума, справедливыми для любого возможного мира, в том числе и для нашего мира.

2. Что означает формальный характер числовых предикатов? Если прилагательные служат для выражения качественно-содержательных свойств самой вещи, то формальные количественно-числовые предикаты выражают признаки не вещи, а «объемные» — экстенсиональные — признаки некоторого общего понятия, под которое подводится эта вещь (resp. интенсиональные свойства понятий изучает логика понятий). Здесь мы солидарны с концепцией числа Фреге, суть которой он выражает с помощью пассажа Спинозы: «…ибо мы мыслим вещи под [категорией] числа только после того, как они подведены под некоторый общий род (выделено нами — К.С.). Так, например, человек, держащий в руке сестерцию и империал, не подумает о числе «два», если он не имеет возможности назвать их одним и тем же именем, а именно: «монетами», или «деньгами», ибо в этом случае он может утверждать, что имеет две монеты, так как этим именем он обозначает как сестерцию, так и империал» [6, с. 77]⁹.

2.1. Указание на экстенсиональный характер числовых предикатов позволяет привлечь к нашему анализу кантовское различение интенсивных и экстенсивных величин [10, с. 136—141] и определить математику как преимущественное исследование экстенсивных величин. «Экстенсивной я называю всякую величину, в которой представление о целом делается возможным благодаря представлению о частях (которое поэтому необходимо предшествует представлению о целом). Я могу представить линию, как бы мала она не была, только проводя ее мысленно, т.е. производя последовательно все [ее] части, начиная с определенной точки…» [10, с. 137]. Специфика математического определяется Кантом как синтез однородного [10, с. 136]¹⁰. Т.е. математика исследует не саму вещь саму, а ее созерцательный аналог. Это как бы внешний взгляд на вещь и фиксация занимаемого ею пространственно-временного места (набора мест): например, вместо анализа свойств реального движения, математика изучает свойства математического аналога движения — неподвижной траектории. При этом познание внутренней самости вещи (например, сути движения) не изучается, зато схваченное с этой — внешней — точки зрения место вещи предстает как (экстенсивная) величина, т.е. поддается измерению.

2.2. Выше мы определили числовые предикаты как абстракции второго уровня, подчеркивая их не-содержательный характер. Это не совсем точно, т.к. сфера математического содержит количественные абстракции и более высоких типов. Конечно, все они являются формальными по отношению качественно-содержательным предикатам, но между собой образуют своеобразную гилеоморфную иерархию. Подробнее мы будем говорить об этом ниже, при обсуждении вопроса о слоистом строении числовой сферы.

3. Формальный характер математического знания указывает на то, что любое ЧИСЛО — идеально. Этим мы отнюдь не приписываем математическим объектам реального существования в каком-нибудь платоновском мире идей или в третьем мире Поппера. Наша трактовка идеального связана с концепцией возможных миров, а под идеальным мы понимаем любое превосхождение реального. В частности, идеальным является, отличный от действительного возможный мир и тем более множество всех возможных миров. Математическое представляет собой количественный срез ядра этого множества, общего для всех возможных миров. Такое расширение сферы идеального (по сравнению с реальным) ведет к снижению его онтологического статуса: идеальное имеет не действительный, а возможный характер своего существования, идеальный мир является всего лишь возможным миром. Тем самым числа (как таковые) ненаходимы в реальном мире физических вещей (ср. известным выражением «ЧИСЛА на дороге не валяются»), что не исключает (1) их проявленности в нашем мире, т.е. нахождения в нем их символьных аналогов и (2) «непостижимую эффективность» математического в мире (парафраз тезиса Ю. Вигнера).

3.1. Соотнесение числа с идеальным, делает необходимым задачу прояснения концепта идеального. Поскольку здесь эта задача имеет вспомогательный характер, то ограничимся указанием на два главных смысловых момента этого концепта.

Во-первых, первоначальный смысл идеального задается платоно-аристотелевским различением двух «миров»: «мир вещей vs. мир идей» (Платон), или «материя vs. форма» (Аристотель). Т.е. идеальное может быть отождествлено с формальным и поэтому математика является анализом формально-количественных аспектов существующего.

Во-вторых, число есть не столько результат абстрагирования от материального (что постулируется натуралистической трактовкой числа), сколько идеализированная сущность. Т.е. число есть результат идеализации, или гуссерлевской идеации (второй смысловой момент концепта идеальное). Для прояснения различения абстрагирования от идеализации обратимся в кантовскому различения аналитического и синтетического, которое вместе с тем является и ключом к ее решению проблемы «эффективности» математики в мире физических объектов (см. п. 5). Абстрактное всегда вторично, или аналитично: оно выводимо из конкретно-первичного основания абстрагирования. Поэтому, если математические сущности абстрактны, то неясно как они могут быть эвристичны. Идеальное же — синтетично, содержит новые смыслы, которые при переносе на действительный мир дают нечто новое. Поэтому математика и открывает новое в мире вещей, является «непостижимо эффективным» инструментом выявления новых аспектов, связей и соотношений. Может быть, одним из самых впечатляющих примеров привнесения нового может служить идея симметрии (ср. с кантовской рефлективной способностью суждения, которая привносит эстетические идеи (красоты) в природный мир).

4. Идеальность математического ставит барьер попыткам приписать числу и/или его генезису эмпирический характер: сначала люди работали с телесными получислами типа пифагорейских камешков, а потом, в результате абстрагирования, возникли абстрактные числа, т.е. числа как таковые (см. текст С. Бычкова). Во-первых, любая натурализация числа не может объяснить аподиктически-синтетический характер чисел, т.е. каким образом математическое имеет аподиктический характер для всех возможных миров. Во-вторых, натурализм является методологически несостоятельными, поскольку предполагает неявно изначальную данность идеи числа, т.е. содержит логический круг.

Одним из принципиальных вопросов, на который должна ответить концепция (генезиса) числа, является вопрос о генезисе идеи числа: откуда пифагорейцы опознали в своих камешках именно числа, а не что-то еще (например, строительный материал)? Другим — является вопрос о генезисе не только первых (натуральных) чисел, но и других, более сложных, числоподобных объектов. Отвечают ли на эти вопросы натуралистические концепции числа? На первый — вовсе нет, на второй — лишь отчасти¹¹.

6.1. Приведенная аналогия проясняет суть символической природы числа, но все же несколько неточна. Числовой символизм имеет более фундаментальный характер, чем культурный символизм технэ. Вернемся к нашему примеру с монетой. Допустим, что мы не опознаем ее как (денежную) монету и даже не опознаем ее в качестве некоего культурного феномена, т.е. считаем ее чем-то природным. Но и в этом случае мы сможем сказать, что она одна (+ зафиксировать другие ее количественные характеристики: вес, размер…), т.е. выявить ее числовую форму. Соответственно, при опознании в монете (как третьей вещи) вторичных культурных составляющий числовые формы¹⁶ начинают очисливать каждую из них, расширяя набор количественных характеристик: теперь, например, исчисляется не только (природный) вес и размеры вещи, но и величина ее денежной составляющей — номинал (стоимости) монеты. Тем самым число является универсальным символом (архетипом), просвечивающим сквозь любой — природный и культурный — материал вещи. Здесь мы солидарны с тезисом Хайдеггера о непосредственно-априорном характере математического: «”τά μαθήματα” означает для греков то, что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее (подчеркнуто мной. — К.С.): в телах — их телесность, в растениях — растительность... К этому уже известному, т.е. математическому, относятся, наряду с вышеназванным, и числа. Обнаружив на столе три яблока, мы [непосредственно] узнаем, что их там три» [17, с. 43].

6.2. Универсальность числового символизма указывает на его взаимосвязь не столько со спецификой какой-либо (например, греческой) культуры, а с глубинными механизмами человеческого сознания. Тем самым мы предполагаем трактовку человека как символического животного (Э. Кассирер), ибо в противном случае непонятно, как происходит восприятие числовых форм-символов. Базисом же этой концепции служит аристотелевское учение о душе как форме форм, т.е. как таком органе познания, который способен к восприятию форм (символов) вообще и числовых форм в частности.

6.3. Превращенный характер пифагорейских чисел предопределяет развитие математического от абстрактного к конкретному. В ходе продумывания первоначального концепта числа последующая мысль развивалась двояко. С одной стороны, происходило углубление в осознании идеальной природы числа и очищение области числового от инородных материально-содержательных моментов; с другой стороны, сфера числового расширялась за счет открытия новых типов числоподобных объектов (ср. с развитием математики от натуральных к комплексным числам). Основными этапами конкретизации первоначального концепта числа можно считать выделенные Бурбаки математические структуры: алгебраические, порядковые и топологические. В топологических структурах элементы максимально безличны (точки неотличимы одна от другой); в структурах порядка элементы уже упорядочены с помощью отношения «больше-меньше»; в алгебраических структурах каждый элемент имеет свое уникальное (порядковое) имя — число, т.е. здесь числовое получает свое максимальное выражение.

Далее наш анализ разделяется на две относительно независимые части. Первая — связана с развитием с развитием тезиса п. 2.2 о слоистом характере области числа. Вторая — посвящена генезису числа, о чем мы говорили в п. 6.2. Порядок расположения этих частей может быть изменен.