Содержание, истинностное содержание и ложностное содержание

7. Содержание, истинностное содержание и ложностное содержание

Представление о том, что теория Т₁ может быть дальше от истины, чем теория Т₂, так что Т₂ является лучшим приближением к истине (или попросту лучшей теорией), чем Т₁, использовалось интуитивно многими философами, в том числе и мной. И точно так же, как понятие истины рассматривалось как подозрительное многими философами (и, как это стало ясно из рассмотрения Тарским семантических парадоксов, не без основания, с тем же подозрением смотрели и на понятия лучшего приближения, или аппроксимации, к истине, близости к истине или (как я это назвал) большей «правдоподобности (verisimilitude)» теорий.

Чтобы снять эти подозрения, я предложил логическое понятие правдоподобности, используя сочетание двух понятий, первоначально введенных Тарским: (а) понятие истины и (b) понятие (логического) содержания высказывания, то есть класса всех высказываний, логически вытекающих из данного (его «класса следствий», как обычно называл его Тарский) ¹⁸₁

'⁾Профессор Д. У. Хэмлин (D.W. Hamlyn) оказал мне большую честь, дав изложение моих взглядов на «Природу науки» (см. 'The Encyclopedia of Philosophy». Ed. by Edwards Paul. Vol. 3. P. 37). Большая часть его очерка совершенно правильна, но он совершенно не понял меня, когда суммировал мои взгляды таким образом: «Сама истина есть лишь иллюзия». Разве тот, кто отрицает, что можно достичь абсолютной несомненности в вопросе об авторстве комедий Шекспира или в вопросе об устройстве мира, тем самым принимает доктрину, согласно которой сам (или сама) автор шекспировских комедий или сам мир есть «лишь иллюзия»?

(Более ясную картину большого значения, которое я придаю понятию истины, можно найти во многих моих работах, особенно в главе 9 настоящей книги).

18) Разница между содержанием, или классом следствий, отдельною высказывания и конечного множества высказываний (такое конечное множество всегда можно заменить одним высказыванием), с одной стороны, и неаксиоматизируемым (или не финитно аксиоматизируемым) классом следствий, или содержанием, с другой стороны, важна, но здесь обсуждаться не будет. Классы следствий обоих сортов Тарский называет «дедуктивными системами»; см. гл. XII работы Тарского: Tarski A. The Concept of Truth in Formalized Languages // Tarski A. Logic, Semantic, Metamathematics. Oxford: Clarendon Press, 1956, pp. 152-278. Тарский ввел понятие класса следствий за много лет до меня. Я пришел к этому понятию позднее, независимо от Тарского, в моей книге «Logik der Forschung», где я также ввел тесно связанное с ним понятие эмпирического содержания высказывания S как класс а эмпирических высказываний, несовместимых с S (или «воспрещаемых» S). Это понятие было впоследствии воспринято Карнапом (см. в частности его ссылку на мою

55

Любое высказывание имеет содержание, или класс следствий, — класс всех тех высказываний, которые из него следуют. (Мы можем, вслед за Тарским, описать класс следствий тавтологических высказываний как нулевой класс, так что тавтологические высказывания имеют нулевое содержание). И каждое содержание содержит подсодержание, состоящее из всех его истинных следствий, и только из них.

Истинностное содержание тавтологий (логически истинных высказываний) равно нулю: оно состоит только из тавтологий. Все остальные высказывания, включая и все ложные высказывания, имеют ненулевое истинностное содержание.

Класс ложных высказываний, вытекающих из данного высказывания, — подкласс его содержания, состоящий в точности из тех высказываний, которые ложны, — можно было бы назвать (как бы из вежливости) его «ложностным содержанием», однако он не имеет характерных свойств «содержания», или класса следствий по Тарскому. Это не дедуктивная система в смысле Тарского, поскольку из любого ложного высказывания можно логически вывести истинные высказывания. (Дизъюнкция ложного и любого истинного высказывания — пример одного из тех высказываний, которые являются истинными и следуют из ложного высказывания).

В оставшейся части этого раздела я намереваюсь разъяснить интуитивные идеи (ideas) истинностного содержания и ложностного содержания несколько более подробно, чтобы подготовить читателя к более развернутому обсуждению идеи правдоподобности. Дело в том, что правдоподобность высказывания будет определена как возрастающая с ростом его истинностного содержания и убывающая с ростом его ложностного содержания. При этом я буду широко использовать идеи Альфреда Тарского, особенно его теорию истины и его теорию классов следствий и дедуктивных систем (обе эти теории рассматриваются в примечании 18 к этому разделу; более подробное рассмотрение этого вопроса см. в главе 9 настоящей книги).

Есть возможность так определить ложностное содержание некоторого высказывания а (отличное от класса ложных высказываний, следующих из а), чтобы (а) это было содержание (или класс следствий в смысле Тарского), (b) оно содержало все ложные высказывания, следующие из а,

«Logik der Forschung» на с. 406 его книги: Carnap R. Logical Foundations of Probability, 1950). Понятие правдоподобности я ввел в 1959 или I960 году (см. примечание на с. 215 моей книги «Предположения и опровержения» {Popper K.R. Conjectures and Refutations. 3d ed., 1969)). Я хочу отметить, что в то время как в указанной книге я говорил об «истинно-содержании (truth-content)» и «ложно-содержании (falsity-content)», теперь я предпочитаю не использовать дефиса, когда эти термины используются как существительные (то есть за исключением таких — надеюсь, достаточно редких — фраз, как «мера истинно-содержания»). В этом я следую совету Уинстона Черчилля, о котором говорится на с. 255 второго издания книги Fowler. Modern English Usage, 1965.

56

и (с) оно не содержало бы никаких истинных высказываний. Для этого нужно только релятивизировать понятие содержания, что можно сделать вполне естественным образом.

Релятивизируем теперь идею содержания, так чтобы мы могли говорить об относительном содержании высказывания а при данном контексте Y, и будем обозначать это относительное содержание символом 'а, У. Это класс всех высказываний, выводимых из а в присутствии Y, но не из одного Y.

Мы сразу же видим, что если А есть содержание высказывания а, то при релятивизированном способе записи А — a, L1 это значит, что абсолютное содержание А высказывания а равно относительному содержанию а, если задана «логика» (= нулевое содержание).

Более интересным случаем относительного содержания предположения (conjecture) а является случай a, B_t, где B_t — наше фоновое знание в момент времени t, то есть знание, которое в момент t принимается без обсуждения. Мы можем сказать, что в новом предположении а интересным является прежде всего его относительное содержание а, Б, то есть та часть содержания а.В *, которая выходит за пределы В. Точно так же, как содержание логически истинного высказывания равно нулю, так относительное содержание предположения а при данном В равно нулю, если а содержит только фоновое знание и ничего более. В общем случае мы можем сказать, что если а принадлежит B, или, что то же самое, если А С В, то а, В = 0. Таким образом, относительным содержанием высказывания ж, Y является та информация, которой х в присутствии Y превосходит Y.

Теперь мы можем определить ложностное содержание высказывания а, которое мы обозначим Ар, как содержание высказывания а при данном истинностном содержании а (то есть пересечении А? между А и Т, где Т — система, в смысле Тарского, истинных высказываний). Иначе говоря, мы можем определить:

Ар — а, Ат-

Определенное таким образом Ар отвечает нашим пожеланиям, или требованиям, адекватности: (а) Ар есть содержание, пусть даже только относительное содержание; в конце концов, абсолютные содержания — это тоже относительные содержания, если дана логическая истина (или в предположении, что L логически истинно); (b) Ар содержит все ложные высказывания, следующие из а, поскольку это дедуктивная система высказываний, которые следуют из а, принимая истинные высказывания за наш (относительный) ноль; (с) Ар не «содержит» никаких

* Здесь точка «.» между а и В означает конъюнкцию. — Прим. пер.

57

истинных высказываний в том смысле, что его истинные высказывания рассматриваются не как содержание, а как его (относительное) нулевое содержание.

Если X есть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание х такое, что X есть содержание х.

Таким образом, если Y — финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:

x, У = х,у.

В этом случае можно видеть, что x, Y равно абсолютному содержанию конъюнкции х.у минус абсолютное содержание у.

Аналогичные соображения показывают, что а, В и с, D будут сравнимы, если

где «+» есть сложение дедуктивных систем по Тарскому: если обе аксиоматизируемы, A + D есть содержание конъюнкции a.b.

Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).

Мы можем написать 'р(X, Y)' или

(читается как «вероятность х при условии Y») и применить формальную систему аксиом для относительной вероятности, которую я изложил в других местах (например, в моей L. Sc. D., Новые приложения *iv и *v¹⁹)). В результате р(x, Y) будет числом от 0 до 1 — обычно мы не имеем представления о том, каким именно числом — и мы можем утверждать в самом общем виде, что

р(а, В) и р(с, D) в принципе совместимы.

19) Я использовал меру содержания впервые в 1954 году (ср. L. Sc. D., р. 400), а меры истинностного и ложностного содержания и т.д. — в C.&R. (р. 385). (Добавлено в 1978 г.). Нам может понадобиться также «тонкая структура» содержания (см. L. Sc. D., Новое приложение *vii).

58

И хотя мы обычно не имеем в нашем распоряжении достаточной информации для решения вопроса о том, имеет ли место

мы можем утверждать, что по крайней мере одно из этих отношений должно иметь место.

В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.

Как я неоднократно показывал, содержание А высказывания а будет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а) или р(А). Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру» содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):

или (абсолютное) содержание а, а также относительные меры

d(a, b) и d(a, Б),

то есть относительное содержание а при условии, соответственно, Ь или В. (Если В аксиоматизируемо, то мы, конечно, сразу же получаем сЬ{а,Ъ) = cb{a,В).) Эти «меры (measures)» et можно задать с помощью исчисления вероятностей, то есть с помощью определения

Теперь в нашем распоряжении есть средства для определения (мер) истинностного содержания ct_T(a) и ложностного содержания ct_F(a):

где At, как и раньше, есть пересечение А и системы, в смысле Тарского, всех истинных высказываний; и

то есть ложностное содержание (его мера) есть относительное содержание (его мера) а при данном At — истинностном содержании а. Другими словами, это есть степень, в которой а выходит за пределы тех высказываний, которые (а) следуют из а и (b) истинны.