"Обратные тригонометрические функции"



жүктеу 368.04 Kb.
Дата28.06.2016
өлшемі368.04 Kb.


Общеобразовательная гимназия №18


Соловей Б. Г., Федотова Т.И.

  1. Обратные тригонометрические функции



Компьютерный набор и верстка:

Чудаков А. В.
г.КОРОЛЕВ МО

2000


Раздаточный материал №3 по теме:

“Обратные тригонометрические функции”

Содержание










Стр.

§1

Простейшие тригонометрические уравнения…………………...

2

§2

Определение обратных тригонометрических функций………...

4

§3

Некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями………………………………………………….

12


§4

Производные обратных тригонометрических функций………

18




Контрольные вопросы …………………………………………..

21




Примеры и упражнения …………………………………………..

22




Ответы и указания…………………………………………………

33




Литература…………………………………………………………

36


§1. Простейшие тригонометрические уравнения
При решении простейших тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных углов используются понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Напомним решения простейших тригонометрических уравнений:

(1) если sinx = a , то x = (-1)k arcsin a + π k;

(2) если cosx = a , то x = ±arccos a + 2π k;

(3) если tgx = a , то x = arctg a + π k;

(4) если ctgx = a , то x = arcctg a + π k, k ? Z.

Формулы (3) и (4) особых трудностей при использовании не вызывают, так как тригонометрические функции y=tgx и y=ctgx в своих областях определений монотонны (то есть имеют один характер изменения функции: тангенс возрастает, а котангенс убывает). По этой причине в пределах своего наименьшего периода, равного π (для тангенса и для котангенса ), эти функции принимают все свои значения по одному разу.

Формулы (1) и (2) представляют собой объединения двух решений: для четного и нечетного k в формуле (1) и для разных знаков плюс и минус в формуле (2). Объединения двух решений сделаны для удобства при получении сразу всех решений; однако, при этом надо иметь ввиду, что в пределах наименьшего периода для функций y=sinx и y=cosx, равного 2π, есть частные значения функций, равные ±1, которым соответствуют по одному значению аргумента. Так, например, если sinx=1, то x=π/2 + 2πn, n ? Z; если sinx=-1, то x=3π/2 + 2πp, p ? Z; если cosx=1, то x=2πm, m ? Z; если cosx=-1, то x=π + 2π k, k ? Z.

В дополнение к формулам (1)?(4) удобно использовать еще одну обобщенную формулу для любых тригонометрических функций, если они встречаются в простейших тригонометрических уравнениях во второй степени. Пусть f 2 (x)=а, где f(x) – любая тригонометрическая функция; тогда:



Например, пусть tg 2x=3, тогда

Справедливость формулы (5) можно подтвердить для каждой тригонометрической функции непосредственно, учитывая, что

О наличии формулы (5) можно догадаться и из общих соображений: во-первых, наименьший период для четных функций |sinx|, |cosx|, |tgx| и |ctgx| равен ? (аргумент меняется от -?/2 до ?/2); во-вторых, раскрытие модуля в соотношении (6) предполагает два решения с разными знаками.

При использовании формулы (5) надо, конечно, иметь ввиду, что из соотношения f2(x)=0 следует f(x)=0 и далее используются формулы (1)?(4). Например, пусть ctg2x=0, тогда ctgx=0 и x=π/2+πk, k?Z, а не x=?π/2+πk (если использовать механически формулу (5)). В последнем выражении одни и те же углы по сути перечисляются дважды. Если ?2(x)=1, где ?(x) – синус или косинус, то ?(x)=?1 и надо учитывать, что частные значения, равные ?1, для синуса и косинуса встречаются в пределах наименьшего периода этих функций, равного 2?, по одному разу. Например, пусть sin2x=1, тогда sinx=?1 и имеем два решения: x1=π/2+2πm, m?Z; и x2=3π/2+2πp, p?Z. Эти решения можно объединить, что дает x=π/2+πn, n?Z, а не x=?π/2+πn, что опять-таки перечисляет каждый угол дважды. В случае, если cos2x=1, то cosx=?1, что дает два решения: x1=2πk, k?Z; и x2=π+2πp, p?Z; которые можно объединить: x=πm, m?Z. Использование формулы (5) дает совпадающий результат, но это возникает по той причине, что слагаемое ?arccos1 равно нулю и в ответе, естественно, опускается.

§2. Определение обратных тригонометрических функций
Вспомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, рассматривая их как функции, называемые обратными тригонометрическими. Итак, арксинусом числа а называется такое число b из отрезка [-?/2; ?/2], синус которого равен а, то есть:


  1. arcsin a=b,

  2. где b ? [-?/2; ?/2],

  3. причем sin b=a,

  4. и a ? [-1; 1].

Будем считать переменное число а из отрезка [-1; 1] независимым переменным (аргументом) и обозначим его, как обычно, через х. В свою очередь, переменное число b из отрезка [-?/2; ?/2] будем считать зависимым переменным (то есть функцией) и обозначим его, как обычно, через y. Таким образом, имеем функциональную зависимость:

  1. y=arcsinx,

  2. где D(f): x ? [-1; 1],

  3. а E(f): y ? [-?/2; ?/2].

График функции y=arcsinx изображен на рис. 1 сплошной линией. Область определения этой функции составляет промежуток [-1; 1] (формула (12)), а множество значений ограничивается промежутком [-?/2; ?/2] (формула (13)). Из формулы (11), согласно определению арксинуса (формулы (7) и (9)), следует, что

  1. x=siny.

Если в формуле (14) x и y поменять ролями (то есть поменять оси координат), то получим известную тригонометрическую функцию y=sinx с привычными обозначениями для функции и аргумента. На рис. 1 эта функция изображена пунктирной линией на выбранном промежутке из области определения, равном

[-?/2;?/2], где она монотонна (возрастает). Множество значений этой функции обычно и составляет промежуток [-1; 1].

Рис. 1


Тригонометрическую функцию y=sinx будем считать прямой функцией, а функцию y=arcsinx – ей обратной тригонометрической. Прямая и обратная ей функции симметричны относительно прямой y=x (биссектриса первого и третьего координатных углов). Отмечаемая симметрия естественно возникает, когда в выражении (14) x=siny меняем ролями переменные х и у. При этом множество значений прямой функции становится областью определения обратной ей функции, а промежуток монотонности из области определения прямой функции служит множеством значений обратной функции. Важно отметить, что характер монотонности обеих функций – прямой y=sinx и ей обратной y=arcsinx – остается один и тот же: обе функции возрастающие.

Если рассматривать функцию y=sinx во всей ее области определения, то обратная ей функция в силу периодичности прямой функции будет многозначна и обозначается в этом случае как ; . Но поскольку мы ограничиваемся изучением однозначных функций, то рассматриваем функцию y=arcsinx как главное значение функции y=Arcsinx (при этом в вышеприведенном соотношении n=0) и считаем, что ее множество значений ограничено промежутком [-?/2; ?/2], который мы получаем, рассматривая прямую функцию y=sinx на участке, где она монотонна. Из определения обратной тригонометрической функции y=arcsinx следует, что:

(15) sin (arcsinx) = x, |x| ? 1;

(16) arcsin (sinx) = x, |x| ? ?/2;

(17) arcsin (cosx) = ?/2-x, 0 ? x ? ?.

Из рис. 1 видно, что функция y=arcsinx является нечетной. Это обстоятельство можно доказать и аналитически, исходя из определения нечетной функции (f(-x) = -f(x)). Итак, докажем, что:

(18) arcsin (-x) = -arcsinx, |x| ? 1.

Рассмотрим синусы обеих частей равенства (18): sin (arcsin (-x)) = sin (-arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arcsin(-x))=E(-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|?1. Учитывая соотношение (15) и то обстоятельство, что синус является функцией нечетной, имеем: -x = -sin (arcsinx), -x = -x, что и доказывает справедливость соотношения (18).

Исходя из определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, можно рассмотреть обратные тригонометрические функции y=arccosx, y=arctgx и y=arcctgx. Кстати, они еще носят название аркфункций или обратных круговых. При этом вводятся в рассмотрение главные значения обратных тригонометрических функций, которыми и пользуются повсеместно, так как ограничиваются изучением однозначных функций. Мы будем при определении обратных тригонометрических функций исходить из свойств хорошо известных прямых тригонометрических функций, используя при этом симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (прямая у=х), а также свойство сохранения характера монотонности прямой функции и ей обратной.

Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию y=arccosx. Для этого из области определения прямой функции y=cosx выбираем участок монотонности, равный промежутку [0; ?]. Здесь прямая функция убывает; стало быть, и обратная ей функция y=arccosx также будет убывающей, имея множество значений, равное промежутку [0; ?], численно совпадающее с участком монотонности прямой функции, то есть E(arccosx): y?[0; ?]. Множество значений прямой функции, равное промежутку [-1; 1], переходит в область определения обратной тригонометрической функции y=arccosx, то есть D(arccosx): x?[-1; 1]. На рис. 2 график прямой функции y=cosx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arccosx – сплошной линией.



Рис. 2

Симметричность прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается следующим образом: а) обе функции пересекаются в точке, лежащей на прямой у=х; б) верхняя часть обратной функции (выше точки пересечения с прямой у=х) симметрична нижней части графика прямой функции (ниже точки пересечения с прямой у=х); в) нижняя часть графика обратной функции симметрична верхней части графика прямой функции.

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:


  1. y=arccosx,

  2. где D(f): x ? [-1; 1],

  3. а E(f): y ? [0; ?].

Из определения обратной тригонометрической функции y=arccosx следует, что:

  1. cos (arccosx) = x, |x| ? 1;

  2. arccos (cosx) = x, 0 ? x ? ?;

  3. arccos (sinx) = ?/2-x, |x| ? ?/2.

Обратная тригонометрическая функция y=arccosx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению:

(25) arccos (-x)=?-arccosx, |x| ? 1.

Доказательство: рассмотрим косинусы обеих частей равенства (25): cos(arccos (-x))=cos(?-arccosx). Эта операция будет однозначной, так как функции, стоящие в обеих частях исходного соотношения, монотонны при |x|?1, а их множества значений совпадают, то есть E(arccos(-x))=E(?-arccosx). Учитывая соотношение (22), имеем: -x=-cos(arccosx), -x=-x, что и доказывает справедливость формулы (25).

Рассмотренные обратные тригонометрические функции y=arcsinx и y=arccosx связаны между собой соотношением:



Доказательство: перепишем соотношение (26) в виде: arccosx = ?/2–arcsinx. Рассмотрим косинусы обеих частей этого равенства: cos(arccosx)=cos(?/2 – arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arccosx)=E(?/2-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|?1. С учетом соотношений (22) и (15) имеем: x = sin (arcsinx), x=x, что и доказывает справедливость соотношения (26).



Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arctgx выберем участок монотонности прямой функции y=tgx, равный (-?/2; ?/2), где эта функция возрастает; стало быть, и обратная ей функция y=arctgx будет возрастающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции численно будет служить множеством значений обратной функции, то есть E(arctgx): y ? (-?/2; ?/2). Поскольку множество значений прямой функции есть вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет служить вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arctgx): x?R.

Рис. 3


На рис. 3 график прямой функции y=tgx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arctgx – сплошной линией. Из рисунка также видно, что функция арктангенс является нечетной, то есть:

(27) arctg (-x) = -arctgx, x ? R,

что нетрудно также доказать и аналитически, как это было сделано при обосновании формулы (18).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(28) y=arctgx,

(29) где D(f): x ? R,



  1. а E(f): y ? (-?/2; z/2).

Из определения обратной тригонометрической функции y=arctgx следует что:

  1. tg (arctgx) = x, x ? R;

  2. arctg (tgx) = x, |x| < ?/2;

(33) arctg (ctgx) = ?/2 – x, 0 < x < ?.

Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arcctgx выберем из области определения прямой функции y=ctgx участок монотонности, равный интервалу (0; ?), где эта функция убывает; стало быть, обратная ей функция y=arcctgx также будет убывающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции будет численно служить множеством значений обратной функции, то есть E(arcctgx): y?(0; ?). Так как множеством значений прямой функции служит вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arcctgx): x?R.

Рис. 4


На рис. 4 представлен график прямой функции y=ctgx пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arcctgx – сплошной линией. Симметрия прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается аналогично тому, как это было в случае с функцией y=arccosx. Обратная тригонометрическая функция y=arcctgx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению:

(34) arcctg (-x)=?-arcctgx, x?R,

которое доказывается аналогично тому, как это было сделано для функции

y=arccosx (формула (25)).

Итак, введена обратная тригонометрическая функция:

(35) y=arcctgx,

(36) где D(f): x?R,

(37) а E(f): y ? (0; ?).

Из определения обратной тригонометрической функции y=arcctgx следует, что:


  1. ctg (arcctgx) = x, x ? R;

  2. arcctg (ctgx) = x, 0 < x < ?;

  3. arcctg (tgx) = ?/2-x, |x| < ?/2.

Обратные тригонометрические функции y=arctgx и y=arcctgx по аналогии с функциями y=arcsinx и y=arccosx связаны соотношением:

  1. arctgx+arcctgx=?/2,

которое доказывается аналогично тому, как это было сделано при обосновании соотношения (26).

Функции, обратно пропорциональные синусу и косинусу, носят соответственно названия косеканса и секанса (то есть: 1/(sinx)=cosecx и 1/(cosx)=secx). Обратные тригонометрические функции y=arccosecx и y=arcsecx употребляются крайне редко и поэтому рассматриваться не будут.



§3. Некоторые соотношения между обратными

тригонометрическими функциями
Наряду с определениями обратных тригонометрических функций были рассмотрены связи между сходными функциями одного и того же аргумента (формулы (26) и (41)), свойство нечетности (формулы (18) и (27)) или отсутствие такового (формулы (25) и (34)), а также соотношения, вытекающие из самих определений обратных тригонометрических функций, которые в ряде случаев значительно упрощают преобразования с этими функциями (например, формулы (15), (16), (17)) для арксинуса и подобные им формулы для других функций).

Теперь рассмотрим некоторые соотношения между разными обратными тригонометрическими функциями. Прежде всего, докажем, что:











Доказательство формулы (42): Левая часть доказуемого равенства может быть представлена как где перед корнем берем знак плюс, так как по определению арккосинуса , а потому sin(arccosx)?0. Далее, с учетом соотношения (22) имеем: что и доказывает справедливость формулы (42).

При доказательстве формулы (43) надо учитывать, что по определению арксинуса а потому левая часть соотношения (43), равная cos(arcsinx), положительна и представляется как что с учетом формулы (15) дает то есть то, что и требовалось доказать. Еще проще устанавливаются закономерности (44) и (45). Например, если в формуле (44): tg (arcctgx)=1/x, то левую часть можно представить как что с учетом соотношения (38) дает 1/x, то есть то, что и доказывает справедливость формулы (44).

Если соотношения (42)?(45) рассматривать с точки зрения определения обратных тригонометрических функций, то получим соответственно формулы, связывающие сходные обратные тригонометрические функции:







В представленных соотношениях области определений заужены по следующим причинам: в формуле (46) функция арккосинус не является нечетной в отличие от функции арксинус, а потому равенство возможно только при ; в формуле (47) множество значений арккосинуса неотрицательно, а поэтому равенство возможно только при ; в формулах (48) и (49) множество значений функции арккотангенс положительно и требует того же от множества значений функции арктангенс, что реализуется при x>0.

Кстати, ограничения x ? 0 в формулах (48) и (49), а также в соотношениях (44) и (45), можно снять, если учесть, что функции y=arctgx и y=arcctgx при x ? ? ? ограничены соответственно величинами -?/2 и ?/2 для арктангенса, а также величинами 0 и ? для арккотангенса.

Теперь представим формулы, которые фиксируют связи между разными обратными тригонометрическими функциями. Итак, имеем:

















Покажем справедливость некоторых формул. Рассмотрим соотношение (50): при |x|<1. Возьмем тангенсы от обеих частей доказуемого соотношения:, (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в интервале совпадают). Пусть arcsinx=?, тогда sin ?=x. Итак, имеем Так как то Если 0 < x < 1, то и Если -1 < x < 0, то с учетом нечетности функций y=arcsinx и y=arctgx имеем: что и требовалось доказать.

Рассмотрим формулу (51):

Возьмем котангенсы от обеих частей доказываемого соотношения: (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в полуинтервале совпадают); пусть arcsinx=?, тогда sin ?=x. Итак, имеем: Так как то При положительном x имеем: и что и требовалось доказать. Если x отрицательный, то, учитывая соотношения (18) и (34), имеем: что отличается от формулы (51) при положительном x. Учитывая доказательства формул (50) и (51), нетрудно доказать справедливость соотношений (52) ? (57).

Если стоит обратная задача: установить связь между какими-либо обратными тригонометрическими функциями, то ее всегда можно решить, получив одну из приведенных выше формул. Так, например, получим связь между функциями арккосинус и арктангенс. Итак, пусть arccosx=arctg?, где ? подлежит определению. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: tg(arccosx) = =tg(arctg?)=? (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арктангенс монотонны, а множества их значений совпадают в полуинтервале ). Пусть arccosx=?, тогда cos?=x и надо определить tg?; так как то и (знак плюс берем перед корнем по той причине, что arccosx ? 0 и tg(arccosx)=tg? ? 0). tg?=? и имеем окончательно: при 0 что отличается от формулы (52).

Получим еще связь между функциями арккосинуса и арккотангенса. Итак, пусть arccosx=arcctg?, где ? подлежит определению. Возьмем котангенсы от обеих частей равенства: ctg(arccosx)=ctg(arcctg?)=? (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арккотангенс монотонны, а множества их значений в интервале (0; ?) совпадают). Пусть arccosx=?, тогда cos?=x и надо определить ctg?. Так как то при 0, а потому имеем: то есть При отрицательном x с учетом формул (25) и (34) имеем: то есть полученное соотношение при -1

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями необходимо учитывать при интегрировании с помощью тригонометрических подстановок. Например, найти интеграл с помощью подстановки x=sint. Имеем: t=arcsinx и dx=cost dt, а интеграл при подстановке преобразуется к виду: Используя формулу понижения порядка имеем: (с учетом соотношения (43)).

§4. Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций можно определить, используя правило взятия производной от обратной функции . Например, получим производную от функции y=arcsinx: так как x=siny (из определения функции арксинус), то , где знак перед корнем обусловлен тем, что , а косинус в этом промежутке неотрицательный; далее , то есть:

Второй способ определения производных от обратных тригонометрических функций использует соотношение, вытекающее из определений этих функций, и правило взятия производной от сложной функции (если , а , то есть , то ).

В качестве примера возьмем производную от функции : так как при , то , ,, где знак перед корнем обусловлен тем, что , а синус в это промежутке неотрицательный. Итак, имеем:

Получим производные от функций y=tgx и y=ctgx вторым и первым способом соответственно. Так как tg(arctgx)=x, то , , ; используя известное соотношение , получим: , то есть имеем окончательно:



Если y=arcctgx, то x=ctgy и ; так как , то получаем: ; далее, , то есть имеем:



Рассмотрим несколько типичных задач, в которых используются производные от обратных тригонометрических функций.

Задача 1. Построить график функции

Решение: ОДЗ: решим два неравенства:





итак, ОДЗ: x ? R. Так как по определению арксинуса множеством его значений является промежуток, равный [-?/2;?/2], то график исходной функции будет лежать в этой горизонтальной полосе. Находим производную от исходной функции:





при и функция возрастает, проходя через начало координат, так как и функция убывает, стремясь к оси абсцисс сверху при x?+?, и снизу при x?-?; при 1-x2=0, x=?1, производная не существует, а поскольку сама исходная функция определена для всех x ? R, то эти точки x=?1 будут критическими. Найдём значения функции в этих точках: Полученных сведений достаточно, чтобы построить график данной функции, который и представлен на рис. 5.

Рис. 5.


Задача 2. Определить экстремумы функции y=x+2arcctgx.

Решение: ОДЗ: x ? R; y'>0 при x<-1 и x>1, y'<0 при –1, а в точке x = 1 имеем минимум, равный .



Задача 3. Составить уравнение касательной к кривой y=arccos3x в точке пересечения этой кривой с осью ординат.

Решение: ОДЗ: -1 ? 3x ? 1, -1/3 ? x ? 1/3; уравнение касательной запишем в виде: где точка касания имеет координаты (xo; yo); в нашем случае: тогда имеем: или




Контрольные вопросы
, Каковы области определений и множества значений обратных тригоно-

метрических функций?



Имеет ли периодическая функция себе обратную?

, Каковы соотношения, вытекающие из самих определений обратных три-

гонометрических функций?



, Каковы соотношения между сходными обратными тригонометрически-

ми функциями одного и того же аргумента?



, Доказать нечетность функций arcsin x и arctg x

, Доказать соотношения:

arccos(-x) = - arccos x,

arcctg(-x) =-arcctg x,



Почему прямая и обратные функции симметричны относительно прямой y=x?

Доказать, что производная от четной функции будет нечетной, а производная от нечетной функции будет четной.

, Найти производные от любой обратной тригонометрической функции двумя способами.

, Установить соотношения между сходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арксинусом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арккосинусом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арктангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

, Установить соотношения между арккотангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями.

Примеры и упражнения
Среди формул, представленных соответствующими номерами в вышеизложенном тексте, есть такие, которые доказываются по аналогии с обоснованиями других соотношений. Для лучшего усвоения изложенного материала по обратным тригонометрическим функциям докажем и эти формулы.

Упражнение 1. Доказать, что:







Упражнение 2.Установить связь между данными обратными тригонометрическими функциями: а) арктангенс и арккосинус; б) арккотангенс и арккосинус.

Упражнение 3. Решить уравнения:



Упражнение 4. Доказать формулы для производных от обратных тригонометрических функций способами, отличными от реализованных при выводе формул (58)?(61).

Найдем производные от некоторых сложных функций, содержащих обратные тригонометрические функции.



Пример 1.

Решение:



Пример 2.

Решение:



Пример 3.

Решение:




Упражнение 5. Найти производные от данных функций:





Упражнение 6. Вычислить интеграл с помощью замены x=2sint.

Решим некоторые уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.



Пример 4. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (26) Обозначим arcsinx=z1, a arccosx=z2; тогда будем иметь симметричную (относительно переменных z1 и z2) систему:



Используя теорему Виета, получим квадратное уравнение:



где Стало быть: Так как система (*) симметрична, то еще имеем:

Итак, окончательно имеем ответ:



Пример 5. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (54): тогда имеем: далее, при откуда следует, что при тогда Итак, имеем окончательно ответ:

Пример 6. Решить уравнение:

Решение: согласно соотношению (51) при Тогда имеем: (так как в формуле (51) x неотрицательный, то соответственно и arcsinx будет тоже неотрицательный). Стало быть, что и является окончательным ответом.



Упражнение 7. Решить уравнения:



Пример 7. Решить уравнение:

Решение: пусть тогда согласно формуле (42): тогда получаем:



что и является окончательным ответом.

Упражнение 8. Решить уравнение:

Пример 8. Найти х из уравнений:

Решение: а) ОДЗ: далее имеем:

б) ОДЗ: так как то данное уравнение решения не имеет (х=?).

Упражнение 9. Найти х из уравнений:



Упражнение 10. Что больше х или у, если:





Упражнение 11. Определить х из выражений:



Пример 9. Решить уравнение:

ОДЗ:



Стало быть, ОДЗ состоит из одной точки х=0. Проверим это значение переменной в исходном уравнении: arcsin 1=arccos 1, ?/2=0, что неверно; значит, x=?.



Упражнение 12. Решить уравнения:



Пример 10. Решить уравнение:

Решение: ОДЗ:



Пусть arcsin2x=?, тогда sin?=2x; если arccos7x=?, то cos?=7x; с учетом введенных обозначений имеем: 2?=?; далее, cos2?=cos? (операция взятия косинуса будет однозначной в промежутке, равном [0; ?] (пересечение множеств значений функций 2arcsin2x и arccosx)). 1-2sin2?=7x, 1-2*4x2=7x, 8x2+7x-1=0, второй корень не входит в ОДЗ; стало быть, x=1/8, что и является окончательным ответом.



Упражнение 13. Решить уравнения:



Упражнение 14. Решить уравнения:

Рассмотрим неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.



Пример 11. Решить неравенство:

Решение: Так как при то имеем: . Так как то можно записать: откуда, учитывая, что арксинус есть функция возрастающая, имеем: С учетом D(arcsinx) имеем окончательно:



Упражнение 15. Решить неравенство:

Для некоторых значений аргумента численные значения обратных тригонометрических функций известны (например, и т.п.). В других случаях ответы записываются в виде arccos1/8, arcctg5 и т.п. Более сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями подлежат упрощению.



Пример 12. Вычислить

Решение: Пусть arctg1/2=?, тогда tg?=1/2. С учетом введенного обозначения ? надо вычислить sin2?. Поскольку то имеем: что и является окончательным ответом.



Упражнение 16. Вычислить:

Пример 13. Вычислить:

Решение: Пусть arcsin3/5=?, тогда sin?=3/5;так как E(арксинус)=[-?/2; ?/2], то ? принадлежит первой четверти; более того, (*) ?/6

Результат говорит о том, что искомый угол ?+? лежит во второй четверти, и для его определения надо использовать такую обратную тригонометрическую функцию, которая имеет множество значений, охватывающее вторую четверть. Используем арккосинус: ?+?=arccos(cos(?+?)). Найдем ; так как и ? и ? принадлежат первой четверти, то имеем: тогда а



Упражнение 17: Вычислить:



Пример 14. Доказать тождество:

Решение: Пусть arctg2/3=?, тогда tg?=2/3 и ?/6



что и требовалось доказать.

Упражнение 18: Доказать тождества:



Пример 15: Вычислить:

Решение: пусть тогда имеем:



Решение: с учетом соотношения (34) будем иметь: вычислим: то есть: arctg3=? и tg?=3, причем ?/3 далее имеем окончательно:



Упражнение 19: Вычислить:



Пример 16: Выразить: и через значения каждой и трех других обратных тригонометрических функций.

Решение: а) с учетом формул (47), (50) и (51) имеем:

б) с учетом формул (46), (52) и (53), а также соотношения (25) имеем:



Упражнение 20: Выразить данное числовое выражение через значения каждой из трёх других обратных тригонометрических функций:

Упражнение 21: Имеют ли смысл данные выражения:



Пример 17. Чему равен arcsin(sin10) ?

Решение: так как то ибо и можно использовать соотношение (16): arcsin(sinx)=x.



Пример 18. Чему равен arccos(cos 5) ?

Решение: arccos(cos5)=arccos(cos(2?-(2?-5)))=arccos(cos(2?-5))=2?-5, что удовлетворяет E(арккосинус)=[0;?].



Упражнение 22: Чему равен:



Пример 19. Построить график функции y=arcsin (sinx).

Решение: Функция определена на всей числовой оси, то есть x ? R, имеет период, равный 2?. Поэтому достаточно построить график на промежутке, равном [-?/2;3?/2]. На отрезке [-?/2;?/2] по определению арксинуса имеем arcsin(sinx)=x, а потому графиком данной функции здесь будет служить прямая y=x. Если же x?[?/2;3?/2], то x-??[-?/2;?/2], и из равенства sin(?-x)=sinx следует, что arcsin(sinx)=arcsin(sin(?-x))=?-x, то есть здесь графиком данной функции служит прямая y=-x+?. График функции y=arcsin(sinx) изображён на рис. 6.



Рис. 6.


Упражнение 23: Построить графики функций:

Представим еще пример использования обратной тригонометрической функции при решении тригонометрического уравнения с параметром.



Пример 20. Найти значения параметра "р", при которых уравнение

имеет решение.

Решение: используем прием введения вспомогательного угла:

пусть , а , тогда получаем: Исходя из определения арккосинуса, имеем: откуда что и является окончательным ответом.

Ответы и указания
Упр. 1. Доказательство всех представленных соотношений аналогично тому, как это было сделано при выводе формул: а) (18), б) (25), в) (26), г) (44), д) (50), е) (51).

Упр. 2:



Упр. 3:

решение: ОДЗ:

так как то имеем: обозначим tgx=t, тогда так как то пусть тогда и далее: второй корень (отрицательный) не подходит, а потому стало быть, и

в) x=?k, k ? Z.



Упр. 5:

Упр. 6:

Упр. 7:

Упр. 8:

Упр. 9: ?, так как ?, так как ?, так как

Упр. 10:

Упр. 11:

Упр. 12: (знак плюс перед корнем берется по той причине, что функции арктангенс и арккотангенс сопоставимы только при положительных значениях аргументов).

Упр. 13:

Упр. 14: ?.

Упр. 15:

Упр. 16: (напомним формулы тройного угла: ,); (напомним полезные формулы для тангенса половинного аргумента:



Упр. 17:

Упр. 19:

Упр. 20:



Упр. 21: нет, так как D(арксинус)=[-1; 1].

Упр. 22:

Упр. 23: а) рис. 7; б) рис. 8.

Рис. 7


Рис. 8


Литература

  1. Панчишкин А.А. ,Шавгулидзе Е.Т., Тригонометрические функции в задачах. – М.: Наука, 1986г.

  2. Кулагин Е.Д. и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999г.

  3. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – Под редакцией

Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1988г.

  1. Черкасов О.Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф,1997г.

  2. Соболев С.К. Пособие по математике для поступающих в ВУЗ. Часть . – М.: МГТУ, 1996г.



©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет