Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли
жүктеу/скачать 5.55 Mb. Pdf көрінісі
|
|
Экспоненциальная функция и функция натурального логарифма Поскольку натуральный логарифм ln(x) и экспоненциальная функция ex играют в боль- шинстве рассматриваемых нами методов оценки опционов большую роль, рассмотрим вкратце их использование. Пусть: r – годовая процентная ставка в виде десятичной дроби; I – сумма инвестиций; t – период времени, на который делаются инвестиции, в годах. Если r – непрерывно начисляемая процентная ставка, то стоимость V инвестиций на конец периода t составляет: V = e rt × I. Если r – непрерывно начисляемая процентная ставка, первоначальные инвестиции I, необходимые для получения стоимости инвестиции V в конце периода, составляют: I = e −rt × V. I называют приведенной стоимостью V, т. е. это V, дисконтированная по ставке затрат на поддержание позиции. Доходность y, которую дает непрерывно начисляемая процентная ставка r за период t, равна: y = e rt – 1. Доходность в годовом исчислении равна y/t. Пример: если r – 10 % (0,10), то стоимость инвестиций в размере 2000 долл. через три месяца (t = 0,25) при условии, что r – непрерывно начисляемая процентная ставка, составит: V = 2000 долл. × e rt = 2000 долл. × e 0,10 × 0,25 = 2000 долл. × e 0,025 = 2000 долл. × 1,0253 =2050,63 долл. Пример: если непрерывно начисляемая процентная ставка r – 6 % (0,06), то сумма, которую нужно инвестировать для получения через восемь месяцев (t = 0,667) 5000 долл., равна: I = 5000 долл. × e − rt = 5000 долл. × e − 0,060 × 0,667 = 5000 долл. × e − 0,04 = 5000 долл. × 0,9608 = 4803,95 долл. Пример: если непрерывно начисляемая процентная ставка r – 15 % (0,15), то совокуп- ная доходность 6-месячных (t = 0,5) инвестиций составит: y = e rt – 1 = e 0,15 × 0,5 – 1 = e 0,75 – 1 = 0,0779 (7,79 %). Доходность в годовом исчислении равна: y / t = 0,0779 / 0,5 = 0,1558 (15,58 %). Если I – первоначально вложенная сумма, то для достижения через период t стоимости V непрерывно начисляемая процентная ставка r t должна составлять: r t = ln(V / I). Если V больше I, то ставка будет величиной положительной. Если V меньше I, то ставка будет величиной отрицательной. Ставка в годовом исчислении равна: Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 463 r = r t / t = ln(V / I) / t. Пример: непрерывно начисляемая процентная ставка, необходимая для превращения первоначальных инвестиций в размере 3000 долл. через девять месяцев (t = 0,75) в 3200 долл., равна: r = ln(3200 / 3000) / 0,75 = ln(1,0667) / 0,75 = 0,0645 / 0,75 = 0,0861 (8,61 %). Обратите внимание на то, что экспоненциальная функция обратна логарифмической: ln(e x ) = e ln(x) = x. Поскольку волатильность – это также доходность, которая считается непрерывно начис- ляемой, экспоненциальная и логарифмическая функции могут использоваться для расчета ожидаемых изменений цены базового контракта. Пример: предположим, что фьючерсный контракт торгуется по цене Р, равной 50, а его годовая волатильность v равна 12 %. Повышательное изменение цены, равное одному стан- дартному отклонению, составляет: e v × P = e 0,12 × 50 = 1,1275 × 50 = 56,37. Понижательное изменение цены, равное одному стандартному отклонению, составляет: e − v × P = e − 0,12 × 50 = 0,8869 × 50 = 44,35. Поскольку одно стандартное отклонение наблюдается примерно в 68 % всех случаев, мы знаем, что в случае правильности выбранного значения волатильности (12 %) через год тот же фьючерсный контракт будет торговаться в диапазоне 44,35–56,37 с вероятностью 68 %. А если взять два стандартных отклонения? При росте цены получим: e 0,12 × 2 × 50 = e 0,24 × 50 = 1,2712 × 50 = 63,56. При падении цены: e − 0,12 × 2 × 50 = e − 0,24 × 50 = 0,7866 × 50 =39,33. Поскольку два стандартных отклонения наблюдаются примерно в 95 % всех случаев, мы знаем, что в случае правильности выбранного значения волатильности (12 %) через год тот же фьючерсный контракт будет торговаться в диапазоне 39,33–63,56 с вероятностью 95 %. Для периодов времени, отличных от одного года, нужно также учесть связь между вре- менем и волатильностью, определяемую функцией корень квадратный из времени. Если изме- нение цены за период, равное одному стандартному отклонению, задает v, то одно стандарт- ное отклонение изменения цены за вдвое больший период равно v. В общем виде это можно выразить следующим образом: волатильность (стандартное отклонение) за период t = v × √t, где v – это волатильность в годовом исчислении, а t – период времени в годах. Это позволяет выразить изменение цены в n стандартных отклонений за период t либо как: n v √t P × e (повышательное изменение), либо как: −n v √t P × e (понижательное изменение), где P – текущая цена контракта. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 464 Пример: если цена базового контракта – 84,00, а годовая волатильность – 16 %, то отклонения цены в одно и два стандартных отклонения за 3-месячный период составят: Имея волатильность и период времени, мы можем всегда рассчитать количество стан- дартных отклонений, требуемых для достижения того или иного результата. При наличии таб- лицы стандартных отклонений и связанных с ними вероятностей можно найти вероятность, связанную с этим результатом. В случае опционов нас нередко интересует вероятность того, что опцион с определенной ценой исполнения окажется при экспирации в деньгах. Выраженное в стандартных отклоне- ниях изменение цены, требуемое для того, чтобы цена базового контракта Р достигла при экс- пирации цены исполнения Е, определяется из выражения: Пример: при таких же, как в последнем примере, условиях (v = 0,16, P = 84,00), выра- женное в стандартных отклонениях изменение цены, требуемое для того, чтобы 95 колл через три месяца оказался в деньгах, равно: ln(95 / 84) / 0,16 × √0,25 = ln(1,1310) / 0,08 = 0,1231 / 0,08 = +1,5383 стандартных отклонений. По таблице стандартных отклонений найдем, что вероятность повышательного измене- ния цены в 1,5383 стандартных отклонений примерно равна 6,2 % (или один к шестнадцати). В случае акций необходима небольшая модификация, поскольку теперь волатильность – это отклонение от форвардного курса. Если Р – текущий курс акций, t – период времени, r – безрисковая процентная ставка, а D – сумма ожидаемых в этот период дивидендов, то фор- вардная цена P f акций равна: P f = P × e rt – D . Пример. Предположим, что процентная ставка – 8 %. Если акции, дивиденды по кото- рым не выплачиваются, торгуются по 38 и имеют 27 %-ную годовую волатильность, то изме- нение их цены в стандартных отклонениях, необходимое для того, чтобы 35 пут оказался через шесть месяцев (t = 0,5) в деньгах, равно: ln [35 / 38 × e 0,08 × 0,5 / 0,27 × √0,5 = ln (35 / 39,55) / 0,191 = –0,122 / 0,191= –0,64 стандартных отклонений. Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 465 По таблице стандартных отклонений находим, что вероятность понижательного измене- ния цены в 0,64 стандартных отклонений примерно равна 26 % (или один к четырем). Ш. Натенберг. «Опционы: Волатильность и оценка стоимости. Стратегии и методы опционной торговли» 466 жүктеу/скачать 5.55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|