Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углубленном уровнях

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углубленном уровнях

• 
  Оперировать⁵ понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;
  
• 
  изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
  
• 
  определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
  
• 
  задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
  
• 
  оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);
  
• 
  строить высказывания, отрицания высказываний.
  

• 
  строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;
  
• 
  использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.
  

• 
  Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
  
• 
  понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
  
• 
  выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;
  
• 
  выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
  
• 
  сравнивать рациональные и иррациональные числа;
  
• 
  представлять рациональное число в виде десятичной дроби
  
• 
  упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;
  
• 
  находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.
  

• 
  применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;
  
• 
  выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;
  
• 
  составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;
  
• 
  записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.
  

• 
  Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;
  
• 
  выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);
  
• 
  выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;
  
• 
  выделять квадрат суммы и разности одночленов;
  
• 
  раскладывать на множители квадратный трехчлен;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;
  
• 
  выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
  
• 
  выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;
  
• 
  выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.
  

• 
  выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
  
• 
  выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.
  

• 
  Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);
  
• 
  решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;
  
• 
  решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;
  
• 
  решать дробно-линейные уравнения;
  
• 
  решать простейшие иррациональные уравнения вида , ;
  
• 
  решать уравнения вида ;
  
• 
  решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
  
• 
  использовать метод интервалов для решения целых и дробно-рациональных неравенств;
  
• 
  решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
  
• 
  решать несложные квадратные уравнения с параметром;
  
• 
  решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
  
• 
  решать несложные уравнения в целых числах.
  

• 
  составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;
  
• 
  выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;
  
• 
  выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
  
• 
  уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.
  

• 
  Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;
  
• 
  строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида: , ,, ;
  
• 
  на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций ;
  
• 
  составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
  
• 
  исследовать функцию по ее графику;
  
• 
  находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;
  
• 
  оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;
  
• 
  решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.
  

• 
  иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;
  
• 
  использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.
  

• 
  Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
  
• 
  использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;
  

• 
  различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;
  

• 
  знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);
  
• 
  моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
  
• 
  выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
  
• 
  уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
  
• 
  анализировать затруднения при решении задач;
  
• 
  выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;
  
• 
  интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;
  
• 
  анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;
  
• 
  исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;
  
• 
  решать разнообразные задачи «на части»,
  
• 
  решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
  
• 
  осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
  
• 
  владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
  
• 
  решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;
  
• 
  решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;
  
• 
  решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;
  
• 
  решать несложные задачи по математической статистике;
  
• 
  овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.
  

• 
  выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;
  
• 
  решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;
  
• 
  решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.
  

• 
  Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
  
• 
  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
  
• 
  составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;
  
• 
  оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;
  
• 
  применять правило произведения при решении комбинаторных задач;
  
• 
  оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;
  
• 
  представлять информацию с помощью кругов Эйлера;
  
• 
  решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики.
  

• 
  извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;
  
• 
  определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;
  
• 
  оценивать вероятность реальных событий и явлений.
  

• 
  Оперировать понятиями геометрических фигур;
  
• 
  извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;
  
• 
  применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;
  
• 
  формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;
  
• 
  доказывать геометрические утверждения;
  
• 
  владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и четырехугольников).
  

• 
  использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.
  

• 
  Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;
  
• 
  применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;
  
• 
  характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.
  

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• 
  использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.
  

• 
  Оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами. Применять теорему Пифагора, формулы площади, объема при решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством формул длины, площади, объема, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;
  
• 
  проводить простые вычисления на объемных телах;
  
• 
  формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их.
  

• 
  проводить вычисления на местности;
  
• 
  применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.
  

• 
  Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;
  
• 
  свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,
  
• 
  выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;
  
• 
  изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.
  

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• 
  выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;
  
• 
  оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.
  

• 
  Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приемами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;
  
• 
  строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;
  
• 
  применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.
  

• 
  применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.
  

• 
  Оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;
  
• 
  выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;
  
• 
  применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов.
  

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• 
  использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и другим учебным предметам.
  

• 
  Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;
  
• 
  понимать роль математики в развитии России.
  

• 
  Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;
  
• 
  выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;
  
• 
  использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;
  
• 
  применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач.