Динамика поступательного движения

• Динамика поступательного движения

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения;  – удельное сопротивление. В системе СИ  выражается в ом-метрах (Омм).

Удельное сопротивление

Площадь поперечного сечения S рассчитывается по измеренному значению диаметра проводника d: Сопротивление R вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I согласно закону Ома для участка цепи

Таким образом, удельное сопротивление

Каждую из физических величин (l, d, U, I) можно измерить непосредственно соответствующими приборами с определенной точностью (прямые измерения). Величина удельного сопротивления  вычисляется по формуле (косвенные измерения).

В общем случае результат измерения величины х представляют в виде

где погрешность или ошибка измерения; – среднее значение величины.

Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины.

Измерения длины l проволоки проводится однократно линейкой. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления.

Значения тока I и напряжения U измеряют однократно с помощью электромагнитных приборов (амперметра и вольтметра). Погрешность I и U этих измерений определяется по классу точности, который указан на шкале приборов: , где K – класс точности приборов; I_пр и U_пр – наибольшие значения силы тока и напряжения, которые могут быть измерены по шкале прибора.

Диаметр проволоки измеряется многократно штангенциркулем и микрометром. Проведя n измерений, получим серию результатов: . Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:

Средняя абсолютная ошибка

Средняя квадратическая ошибка

Если ошибка меньше точности используемого прибора, то за величину ошибки следует принять последнюю.

Сопротивление R и удельное сопротивление  определяются косвенно, т.е. вычисляются по формулам (1) и (2). Погрешности в определении этих величин выражаются через погрешности измеренных величин и вычисляются по следующим формулам:

 средняя абсолютная погрешность измерения сопротивления

 средняя квадратическая погрешность измерения сопротивления

 средняя абсолютная погрешность измерения удельного сопротивления

 средняя квадратическая погрешность измерения удельного сопротивления

Для определения удельного сопротивления отрезка проволоки используется простейшая электрическая цепь, которая состоит из источника тока , амперметра A, вольтметра V и исследуемого проводника АВ (см. рисунок).

Порядок измерений следующий:

1) измерить штангенциркулем диаметр проволоки d в десяти точках проводника и определить погрешность d фиксируя результаты измерений и расчетов в табл.1;

2) повторить измерения d с помощью микрометра;

3) включить установку, нажав кнопку «СЕТЬ»; включить нужную электрическую схему по указанию преподавателя;

4) установить начальное значение тока по указанию преподавателя, выполнить измерения тока I и напряжения U для десяти значений длины l (измерения проводить в точках проводника от 0,1l₀ до l₀), записывая результаты в табл.2;

5) определить погрешность электрических приборов ΔI и ΔU по классу точности и занести в табл.2.

1. Таблица 1

• Результаты измерений диаметра проволоки штангенциркулем и микрометром

ДиаметрШтангенциркульМикрометрd₁d₂…d₁₀ d_dd/ _d/

1. Таблица 2

• Результаты измерений тока и напряжения

Номер опытаllIIUURR_R12...10Порядок обработки результатов следующий:

1) по результатам измерений диаметра проволоки рассчитать среднее значение . Определить среднюю абсолютную d и среднюю квадратическую _d погрешности измерения диаметра по формулам (3) и (4) соответственно;

2) используя полученные данные для тока и напряжения, вычислить значения сопротивлений R. Среднее значение R не вычислять, так как это не имеет физического смысла;

3) вычислить погрешности косвенного измерения сопротивления R и _R по формулам (5) и (6) для какого-либо одного значения R. Считать, что _I = I и _U = U;

4) построить график зависимости R = f(l). Экспериментальные точки нанести на координатную плоскость, откладывая по оси х величину l, а по оси у соответствующее ей значение сопротивления R. Для каждой точки указать погрешности l и R. Для этого каждую точку изобразить как пересечение двух отрезков длиной 2l вдоль оси х и 2R вдоль оси у с центрами, соответствующими измеренным значениям;

5) определить графически среднее значение удельного сопротивления

где ;

6) вычислить погрешности  и _ результатов косвенного определения удельного сопротивления, используя формулы (7) и (8) соответственно. В этих формулах в качестве I и U использовать значения какого-либо одного измерения (при определенном значении длины );

7) результаты измерения удельного сопротивления представить в виде и

2. Чему равна абсолютная, относительная и средняя квадратическая ошибки прямых измерений?

3. Какие измерения называют косвенными?

4. Чему равна максимальная абсолютная, относительная и средняя квадратическая ошибки косвенных измерений?

5. Как определить погрешности, вносимые различными измерительными приборами?

6. Что такое класс точности прибора?

Покажем, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Сила тяготения, действующая на тело с гравитационной массой m_г,

где G – гравитационная постоянная; M_г – гравитационная масса Земли; R – расстояние между центрами материальных точек m_г и M_г.

C другой стороны, согласно второму закону динамики, эта сила

где – инертная масса; – ускорение свободного падения.

Соответственно

,

где А = GM_г/R² = const.

Экспериментально установлено, что ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Из этого следует, что m_г и m_и пропорциональны друг другу. А соответствующим выбором G можно отношение m_г / m_и привести к единице.
Равенство инертной и гравитационной масс, экспериментально подтвержденное с относительной погрешностью 10^-12, лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции. Простейший опыт по проверке сказанного заключается в установлении равенства ускорения свободного падения для всех тел.

Измерение ускорения свободного падения тел различной массы проводится на приборе Атвуда. Через ролик, смонтированный на подшипнике таким образом, чтобы он мог вращаться с возможно малым сопротивлением, проходит нитка с двумя одинаковыми грузами массой М каждый (рис.1). Система находится в равновесии.

Если по одну сторону блока прибавить небольшой грузик m, то система, состоящая из больших грузов М и малого m, получит ускорение, с которым пройдет путь S₁. Дополнительный груз на кольце Р отцепляется и далее грузы М пройдут путь S₂ с постоянной скоростью.

Полагая, что сила трения в системе, масса ролика и нити пренебрежимо малы, а нить нерастяжима, можно показать, что ускорение на участке S₁

С другой стороны, считая начальную скорость равной нулю, можно записать

где v – скорость в конце движения на участке S₁.

Так как v = S₂/t, где t – время движения с постоянной скоростью на участке S₂, то окончательно

Видно, что, для определения g необходимо измерить время движения с постоянной скоростью на участке S₂ известных масс М и m при фиксированных значениях S₁ и S₂.

Электромагнит после подведения к нему питающего напряжения при помощи фрикционной муфты удерживает систему ролика с грузами в состоянии покоя.

Верхний и средний кронштейны можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении, устанавливая, таким образом, длину пути равномерно-ускоренного (S₁) и равномерного (S₂) движений. Для облегчения измерения S₁ и S₂ на колонку нанесена миллиметровая шкала (13), все кронштейны имеют указатель положения, а верхний кронштейн – дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней грани большего груза с точкой начала движения.

На среднем кронштейне закреплен кронштейн 2 и фотоэлектрический датчик 19. Кронштейн 2 снимает с падающего вниз большого груза дополнительный груз, а фотоэлектрический датчик в это время создает электрический импульс, сигнализирующий о начале равномерного движения системы грузов. Оптическая ось фотоэлектрического датчика (черта на его корпусе) находится на уровне указателя положения среднего кронштейна.

Нижний кронштейн оснащен двумя кронштейнами 1 с резиновыми амортизаторами, в которые ударяют завершающие свое движение грузы. На этом кронштейне закреплен также фотоэлектрический датчик 20 с оптической осью на уровне указателя положения кронштейна. После пересечения этого уровня нижней гранью падающего груза образуется электрический сигнал о прохождении грузами определенного пути.

В основании прибора находится блок 11, включающий миллисекундомер, к которому подключены фотоэлектрические датчики, а также подводится напряжение, питающее обмотку электромагнита.

2. На правый большой груз положить один из дополнительных грузов.

3. Измерить время движения большого груза на пути S₂.

4. Повторить измерения 10 раз и определить среднее значение времени движения большого груза на пути S₂:

где n = 10; – результат i-го измерения.

5. Повторить измерения с грузами другой массы и вычислить по формуле (3) ускорение свободного падения каждого использованного груза, фиксируя результаты в табличной форме:
Номер опытаmS₁S₂t_i g_g12…n

6. Рассчитать стандартное отклонение

и сравнить полученное значение с приборной ошибкой. Если приборная ошибка мала, ею можно пренебречь.

7. Вычислить погрешность измерения ускорения свободного падения

где = _m = 0,01 г; = = 1 мм; _t  10^-3 с.

2. Почему масса m не может быть как угодно малой?

3. Почему измеренное на данной установке ускорение свободного падения меньше, а не больше 9,8 м/с²?

4. От каких параметров зависит ускорение движения грузов на участке S₁? на участке S₂?

Исключая из уравнений (1) время, получим связь координаты и скорости в виде

При равномерном прямолинейном движении путь, скорость и время связаны уравнением

Движение точки по окружности характеризуется угловой скоростью , угловым ускорением , а также тангенциальным и нормальным ускорениями. Линейная скорость v связана с угловой соотношением v = R, а тангенциальное и угловое ускорения – соотношением а_ = R.

Основными законами динамики являются законы Ньютона. Второй закон Ньютона определяет причину изменения движения:

,

где – сила, вызывающая движение тела; m – масса тела;  – ускорение тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела имеет вид

где – результирующий момент сил, ; r – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы; J – момент инерции тела относительно оси вращения;  – угловое ускорение.

Устройство и работа прибора Атвуда описаны в работе 2. Оценим количественно движение системы грузов (рис.1) на участках S₁ (равноускоренное движение) и S₂ (равномерное движение). Пусть М – масса грузов 1 и 2, m – масса перегруза. Уравнение движения грузов и блока (рис.2) запишем в виде

;

;

,

где Т₁ и Т₂ – силы натяжения, создаваемые грузами 1 и 2 соответственно; R и J – радиус и момент инерции блока; – момент силы трения, действующей на ось блока.

Ускорения грузов а₁ = а₂ = а, так как нить считается нерастяжимой. Пренебрегая проскальзыванием нити по блоку, можно положить

Решив систему уравнений относительно ускорения а, получим

Если допустить, что силы трения в блоке пренебрежимо малы по сравнению с mg, то М_тр/R « mg. Если пренебречь массой блока, от которой зависит момент инерции J, то J/R² « 2M + m. Тогда

Если, наконец, масса перегруза значительно меньше масс грузов (m « 2M), то ускорение можно рассматривать как линейную функцию массы перегруза:

График зависимости a = f(m), соответствующий формуле (4), представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Справедливость упрощающих предположений, приводящих от формулы (3) к формуле (4), можно проверить экспериментально, измерив ускорение для различных масс грузов. Если график зависимости a = f(m), построенный по экспериментальным данным, будет сильно отличаться от графика, построенного по теоретической формуле (4), то это будет означать, что сделанные упрощающие предположения не совсем правильны. В этом случае можно из экспериментальных данных определить момент силы трения, силу трения и момент инерции блока.

Чтобы найти силу трения F_тр, следует определить сначала момент силы . Для этого запишем выражение (3), содержащее неизвестные J и , для двух пар значений а и m:

где i и k – индексы, обозначающие порядковый номер измерения.

Решив эту систему относительно J и , получим

(5)

Сила трения

где r – радиус оси блока.

Чтобы определить ускорение грузов на участке S₁, воспользуемся уравнением (2):

.

На участке S₂ груз движется равномерно со скоростью , следовательно,

Измерения проводятся на приборе Атвуда (см. работу 2). В этом приборе имеется два одинаковых груза с массами М, соединенными нитью, перекинутой через блок. На прaвый груз добавляется перегруз массой m, после чего система приходит в равноускоренное движение и проходит путь S₁. В конце этого пути перегруз автоматически снимается, и система начинает двигаться равномерно на пути S₂.

Результатом экспериментальной части работы должны стать значения времени t прохождения грузом 2 пути S₂.

К установке прилагается набор из нескольких колец (перегрузов) с разными массами m. Используя эти кольца по отдельности или в комбинации друг с другом, можно получить достаточно большой набор масс перегрузов.

2. Измерить время t прохождения грузом пути S₂.

3. Повторить измерение времени t с перегрузом той же массы не менее 5 раз.

4. Повторить пп.2 и 3 для всех остальных перегрузов.

5. Записать значения S₁ и S₂; оценить погрешность их определения по шкале, нанесенной на колонке прибора Атвуда.

6. Рассчитать величину ускорения для всех масс перегрузов: экспериментальное значение по формуле (7), теоретическое (a_т) по формуле (4).

7. Результаты измерений и расчетов записать по форме:

Номер опытаmS₁S₂ttaaa_т12…

9. Построить графики зависимости a = f(m) по экспериментальным данным и по теоретической формуле (4). Сравнить вид получившихся графиков и сделать вывод относительно справедливости законов механики, лежащих в основе соотношения (4).

10. Если графики сильно отличаются друг от друга (экспериментальный график не проходит через начало координат), взять две пары значений а и m (не соседние) и рассчитать момент инерции блока J, момент силы трения в блоке М_тр по формулам (5), силу трения в блоке F_тр по формуле (6). Массы грузов 1 и 2 M = (60,00,5) г.

Контрольные вопросы
1. Каковы законы изменения во времени пути и скорости точки, движущейся равномерно и равноускоренно по прямолинейной траектории?

2. Как связаны линейная скорость и нормальное ускорение с угловой скоростью? Каково соотношение тангенциального и углового ускорений при движении точки по окружности?

3. Сформулируйте основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

4. Какой характер имеет движение груза в приборе Атвуда на различных участках траектории? Чем определяется это различие?

5. Какой вид должна иметь кривая зависимости ускорения грузов от массы перегруза? Какой физический смысл имеют точки пересечения этой кривой с осями координат? При каких условиях кривая a(m) близка к прямой?