Раздел 4. Реальна ли геометрия Лобачевского

А в геометрии Лобачевского прямоугольников и квадратов не существует и площадь плоских фигур там вычисляется по совершенно иным фор­мулам. Вот это необычное для многих ученых в свое время казалось просто невозможным.

Мы склонны признать геометрию Лобачев­ского, – говорили его противники, – если бы ко­му-нибудь удалось доказать, что ее дальнейшее развитие никогда не приведет к противоречию и что она подтверждается, как и евклидова геомет­рия, непосредственными измерениями.[8]

Сам Лобачевский на поставленные вопросы дал косвенные ответы. Прямой ответ был получен итальянским геометром Евгением Бельтрами (1835 – 1900) в 1868 г., через 12 лет после смерти Лобачевского. Занимаясь вопросами картогра­фии, Бельтрами решал задачи, связанные с ото­бражением одной поверхности на другую с таким расчетом, чтобы геодезические линии одной по­верхности переходили в геодезические линии дру­гой, причем под геодезическими линиями надо понимать линии наикратчайших расстояний меж­ду точками этой поверхности (на плоскости – прямые линии, на сфере – круги, центры которых находятся в центре сферы и т. п.). Решение этих задач и привело итальянского ученого к откры­тию обширного класса поверхностей постоянной отрицательной кривизны, названных им псевдосферами, на которых, как он показал, и реализуется двумерная геометрия Ло­бачевского.

Рис.36

Простейшая из псев­досфер (рис. 36) получа­ется вращением трактри­сы вокруг своей оси. Трактрисой называется кривая (рис. 37), в каж­дой точке которой длина касательной от точки ка­сания до точки пересече­ния касательной с некото­рой прямой (осью трак­трисы) есть величи­на постоянная). Термин «трактриса» впервые был введен в употребление немецким математиком Лейбницем (1646—1716), в переводе на русский язык он означает «влекомая». Это указывает на то, что трактриса получается механическим пу­тем. Действительно, трактрису всегда описывает материальная точка, влекомая нитью постоян­ной длины, если свободный конец нити в натя­нутом положении перемещать вдоль некоторой прямой, служащей осью трактрисы. На рис. 38 показана траектория круглой гирьки, которую тянут по горизонтальной плоскости вдоль прямой в направлении стрелки за свободный конец нерастя­жимой нити (длины k), привязанной к ушку этой гирьки.

Рис. 37

Работа Бельтрами буквально открыла глаза всем ученым, скептически настроенным против геометрии Лобачевского, и убедила их в логи­ческом равноправии двух геометрических сис­тем – евклидовой и неевклидовой. Работа Бельт­рами возбудила интерес к геометрии Лобачевско­го и явилась одним из важнейших стимулов ее признания. .[8]

Однако и после исследования Бельтрами оста­валось все же много неясного. Выяснилось, что на псевдосфере, какого бы типа она ни была, пла­ниметрия Лобачевского выполняется только час­тично (локально), так как на любой из псевдо­сфер имеется острое ребро, состоящее из особых точек. На тех частях псевдосферы, где нет особых точек, геометрия Лобачевского выполняется, но на всей поверхности в целом геометрия Лобачев­ского не выполняется. Далее, на псевдосфере выполняется (и то локально) только планимет­рия Лобачевского, а не вся его геометрия в целом, включая планиметрию и стереометрию.

Невольно возник вопрос: нельзя ли в евклидо­вом пространстве найти такую поверхность по­стоянной отрицательной кривизны, не содержа­щую особых точек, на которой бы двумерная гео­метрия Лобачевского выполнялась во всех точках?

Немецкий ученый Гильберт доказал, что та­ких поверхностей не существует.

Бельтрами пытался дать реальное истолкова­ние стереометрии Лобачевского, но положитель­ных результатов не добился и сделал неверный для себя вывод, что такое истолкование невоз­можно.

В 1871 г. немецкий математик Клейн (1849 – 1925) предложил весьма оригинальное истолко­вание геометрии Лобачевского на обычных обра­зах евклидовой геометрии и не только для всей планиметрии, но и для всей стереометрии. Рабо­та Клейна оказалась величайшим триумфом в де­ле окончательного признания геометрии Лобачев­ского как логически стройной геометрической системы. И на вопрос, реальна ли геометрия Ло­бачевского, уже без всяких колебаний давался утвердительный ответ: да, реальна. Во всяком случае реальна постольку, поскольку реальна евклидова геометрия.

Основная идея этой интерпретации принадлежит англий­скому математику Артуру Кэли (1821 – 1895) и была высказана им в связи с изучением проек­тивной геометрии. Эту идею подхватил Клейн и положил в основу своей интерпретации геометрии Лобачевского на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим в евклидовом пространстве про­извольный шар. Под пространством Лобачевско­го будем понимать часть евклидова пространст­ва, заключенную внутри взятого шара, причем точки, расположенные на поверхности шара, пространству Лобачевского не принадлежат. Да­лее, точки пространства Лобачевского будем на­зывать точками Лобачевского. Под прямыми Лобачевского будем понимать всякую хорду, соединяющую любые две точки поверхности рас­сматриваемого шара, причем концы хорд исклю­чаются; и под плоскостью Лобачевского – вся­кое плоское сечение шара, т. е. круги, причем рассматриваются точки, расположенные внутри этих кругов (точки Лобачевского), а точки, рас­положенные на окружности этих кругов, исклю­чаются.

Две прямые Лобачевского пересекаются, если, являясь хордами шара, пересекаются внутри это­го шара, в противном случае они пересекаться не будут. На рис 39. прямая Лобачевского а пере­секает плоскость Лобачевского α в точке Лоба­чевского М; две прямые Лобачевского b и с не пересекаются, так как точка N пространству Ло­бачевского не принадлежит (точка N не является точкой Лобачевского).

Для всех точек, прямых и плоскостей Лоба­чевского выполняются все аксиомы абсолютной геометрии. Так, две точки Лобачевского вполне определяют прямую Лобачевского, через них проходящую (т. е. две точки, взятые внутри ша­ра, вполне определяют хорду, через них прохо­дящую); прямолинейный отрезок Лобачевского можно неограниченно продолжать в обе стороны (концы хорды выполняют роль бесконечно удален­ных точек); три точки Лобачевского, не располо­женные на одной прямой Лобачевского, вполне определяют плоскость Лобачевского и т. д.

Р
Рис. 40
ас­смотрим отдельно какую-нибудь плоскость Лоба­чевского, т. е. круг, являющийся плоским сече­нием шара (рис. 40). Рассмотрим прямую Лобачевского АВ (отрезок хорды MN) и точку Лобачевского Р вне этой прямой (в дальнейшем точки и прямые Лобачевского будем называть «точками» и «прямыми» в кавычках). Через эту «точку» проведем «прямые» Рm и Рn, которые бу­дут параллельными относительно «прямой» АВ, одна – в одном направлении, другая – в другом. Действительно, всякая «прямая» s, идущая внут­ри вертикальных углов MPN и RPQ, пересекает АВ, а всякая «прямая» t, идущая внутри верти­кальных углов MPR и NRQ, не пересекает АВ. «Прямые» s образуют множество сходящихся «прямых» относительно АВ, а «прямые» t – мно­жество расходящихся «прямых» относительно АВ. «Прямые» Рm и Рn – предельные прямые относительно «прямой» АВ. Каждая из них не пе­ресекает АВ (точки М и N не являются точками Лобачевского) и отделяют расходящиеся «пря­мые» от сходящихся. Значит, «прямые» Рm и Рn параллельны относительно прямой АВ, одна в на­правлении NM, другая в направлении MN.Таким образом, интерпретация Клейна есть интерпретация геометрии Лобачевского не толь­ко на плоскости, но и в пространстве. . [5]

Здесь возникает неяс­ность: как измерять «отрез­ки» «прямых», чтобы пре­дельный отрезок АВ, когда один или оба его конца бу­дут точками сферы, имел бы бесконечную длину. Здесь мы должны исходить из сле­дующих соображений.

1

. Под «длиной отрезка» будем понимать неотрица­тельное вещественное число.

2. Два «отрезка» будут называться «равны­ми», если им соответствует одно и то же вещест­венное число.

3. «Отрезок», у которого концы совпадают, имеет «длину», равную нулю.

4. Если «длину» отрезка АВ в новом понима­нии обозначим через (АВ), то (АВ) = (АС) + (СВ), где С — любая «точка» внутри «отрезка»
АВ, т. е. расположенная между А к В.

Согласно определению, под неевклидовой дли­ной или просто «длиной отрезка» АВ (рис. 41) бу­дем понимать вещественное, число, получаемое по формуле

где (АВ) — неевклидова длина отрезка АВ; AM, MB, AN, NB—евклидовы длины отрезков AM, MB, AN и NB; k – постоянный положительный множитель. Выра­жение, стоящее в круглых скобках, носит назва­ние ангармонического отношения четырех точек А, В, М и N.

Рис. 41

Только что определенная формальным образом неевклидова «длина» удовлетворяет всем четырем требованиям, высказанным выше.

2. Два отрезка АВ и CD называются «равны­ми», если (AB) = (CD).

3. Если «точки» А и В сливаются в одну «точ­ку» С, то (СС) = 0. В самом деле,

.

4. Если «точка» С лежит на «прямой» между «точками» А и В, то

Действительно,

Прямолинейный «отрезок» АВ можно продолжить в обе стороны до бесконечности, т. е

В самом деле,

Далее Клейн специальной формулой устанавливает «равенство» углов и в своей интерпрета­ции выводит знаменитую функцию Лобачевского

причем постоянная Лобачевского k, оказывается, совпадает с той постоянной k, которая входит в формулу для вычисления неевклидовых длин прямолинейных «отрезков».

В итоге в рамках евклидовой геометрии на ее знакомых образах можно построить всю геометрию Лобачевского.

Интерпретация Клейна навеки связала геометрию Лобачевского с геометрией Евклида неру­шимыми логическими узами, согласно которым ни одна из этих геометрических систем не имеет логического преимущества перед другой: или они обе непротиворечивы, или обе противоречивы. И если евклидову геометрию будем считать не­противоречивой и в этом смысле законной, то, хо­тим мы этого или не хотим, надо признать, что и геометрия Лобачевского непротиворечива и за­конна.