Раздел 3. СтереометрияЛобачевского

Ниже приводим несколько стереометрических теорем абсолютной геометрии. . [7]

1. 
   Через любые три точки, не лежащие на од­ной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
   
2. 
   Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
   
3. 
   Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
   
4. 
   Из каждой точки пространства, располо­женной вне данной плоскости, на эту плоскость можно опустить перпендикуляр, и притом един­ственный.
   
5. 
   К плоскости в каждой ее точке можно вос­ставить перпендикуляр, и притом единственный.
   
6. 
   Две плоскости перпендикулярны между собой, если одна из них проходит через перпен­дикуляр к другой.
   
7. 
   Через любую точку пространства можно провести одну и только одну плоскость, перпен­дикулярную к данной прямой.
   
8. 
   Через прямую, не перпендикулярную пло­скости, можно провести плоскость, и притом един­ственную, перпендикулярную данной плоскости.
   
9. 
   Если к прямой пересечения двух перпенди­кулярных плоскостей в какой-нибудь ее точке восставить перпендикуляр к одной из плоско­стей, то он будет лежать в другой плоскости.
   
10. 
    Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная на плоскости через основание на­клонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной, и, обратно, пря­мая, проведенная в плоскости перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна и к ее проекции.
    
11. 
    Через прямую и точку, взятую вне этой прямой, можно всегда провести плоскость, и при­ том единственную.
    
12. 
    Через две пересекающиеся прямые можно всегда провести плоскость, и притом единствен­ную.
    

0. 
   Расположение прямых в пространстве
   

Начнем изучение пространства Лобачевского с изучения взаимного расположения прямых в этом пространстве. Если возьмем произвольную пару прямых в пространстве Лобачевского, то эти прямые или лежат в одной плоскости, или не лежат.

Если они не лежат в одной плоскости, то они носят название скрещивающихся прямых. Если же указанные прямые лежат в одной плоскости, то они, как уже известно, или сходятся (пересе­каются), или параллельны, или расходятся. . [8]

Приступая к изучению параллельных прямых в пространстве Лобачевского, надо твердо пом­нить, что первым условием параллельности яв­ляется принадлежность их к одной плоскости. Чтобы доказать параллельность двух прямых в пространстве Лобачевского, надо сначала ре­шить вопрос о принадлежности их к одной пло­скости, а дальнейшее исследование «на парал­лельность» не отличается от исследования в пла­ниметрии, т. е. если одна прямая параллельна другой в какой-нибудь точке, то она параллельна ей и во всякой другой своей точке, и если одна прямая параллельна другой, то и обратно, другая параллельна первой, причем параллельность бе­рется в одну сторону. Что же касается свойства транзитивности параллельных прямых в про­странстве, указанного нами в планиметрии, то в пространстве оно требует дополнительного дока­зательства. Докажем прежде одну вспомога­тельную теорему.

Докажем, например, параллельность прямых а и с. Прежде всего ясно, что прямые а и с – не пересекающиеся. В самом деле, если бы эти прямые встречались в некоторой точке О, то точка О была бы общей точкой всех трех плоскостей α, β, γ. Но тогда и прямые a, b имели бы общую точку О, что противоречит до­пущению.

Возьмем теперь на прямой с произвольную точку С и опу­стим из нее перпендикуляр СА на прямую а. Отрезок СА состав­ляет с прямой с два смежных угла; отметим из них тот, который расположен со стороны параллельности прямой а к прямой b. Внут­ри этого угла через точку С проведем произвольный луч . Чтобы убедиться в параллельности прямых с и а, нужно показать, что луч встречает прямую а.

Выбрав на прямой b произвольную точку В, рассмотрим полу­плоскость δ, определяемую прямой СВ и лучом . Эта полуплос­кость пересечет плоскость γ по некоторому лучу , который будет лежать внутри угла, составленного отрезком ВА с направлением параллельности прямой b к прямой а. Так как прямые а и b по условию параллельны, то луч пересечет прямую а в некоторой точке S. Точка S будет общей течкой трех плоскостей α, γ и δ. Поэтому луч должен встретить прямую а, и теорема доказана.

Рис. 26
Доказательство. Рассмотрим в про­странстве Лобачевского три прямые а'а, b'b и с'с, причем а'а\\b'b и b'b\\c'c. Докажем, что а'а\\с'с в том же направлении.

Будем полагать, что данные три прямые од­новременно не лежат в одной плоскости (случай, когда все три прямые лежат в одной плоскости, рассматривался в планиметрии).

Возьмем на прямой с'с произвольную точку М и проведем через нее две различные плоскости α и β, из которых первая проходит через пря­мую а'а, а вторая — через прямую b'b. Эти две плоскости, имея общую точку М по построению, пересекутся на некоторой прямой d'd, проходя­щей через точку М. По предыдущей теореме d'd\\a'a и d'd\\b'b. По условию b'b\\с'с, а следова­тельно, и обратно с'с\\b'b. Выходит, что через точку М в плоскости, определяемой точкой М и прямой b'b, относительно прямой b'b в одном и том же направлении (рис. 26) проходят две па­раллельные прямые с'с и d'd, что в плоскости Лобачевского невозможно. Значит прямая d'd совпадает с прямой с'с. Поскольку d'd\\a'a и d'd\\b'b, то и с'с обладает этим свойством, т. е. с'с\\а'а и c'c\\b'b. Отсюда а'а\\с'с, и теорема доказана.

Итак, согласно определению, прямая называ­ется параллельной плоскости, если она парал­лельна своей ортогональной проекции на эту плоскость.

Теперь можно будет установить некоторые достаточные признаки параллельности прямой и плоскости в пространстве Лобачевского. . [2]

Теорема 21. Прямая, не лежащая в плоско­сти, будет параллельна плоскости, если она па­раллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости.

Рис. 27
Доказательство. Пусть прямая а'а не лежит в плоскости α и параллельна прямой b'b, расположенной в плоскости а (рис. 27). Дока­жем, что а'а\\α.

Обозначим ортогональную проекцию а'а на плоскость α через пр. а'а. Тогда на основании предыдущего пр. а'а будет параллельно относи­тельно а'а и b'b, так как на пр. а'а можно смот­реть как на прямую пересечения двух плоско­стей, из которых одна проходит через а'а (орто­гонально проектирующая плоскость), другая (плоскость α) проходит через b'b, причем a'a\\b'b. Итак, a'a\\b'b (по условию) и b'b\\пр. а'а (по до­казанному пр. a'a\\b'b). Следовательно, на осно­вании свойства транзитивности параллельных прямых a'a\\пр. a'a. Откуда а'а\\α, что и требо­валось доказать.
Теорема 22. Прямая, не лежащая в плоско­сти, параллельна плоскости, если она параллель­на какой-нибудь прямой, параллельной этой пло­скости.

Рис. 28

Обозначим ортогональную проекцию прямой b'b на плоскость α через пр. b'b (рис. 28). Соглас­но определению, если b'b\\α, то b'b\\пр. b'b. Но тогда, на основании свойства транзитивности параллельных прямых, поскольку a'a\\b'b, то b'b\\пр. b'b заключаем, что a'a\\пр. b'b. Отсюда по предыдущей теореме а'а\\α, что и требовалось доказать.

Назовем совокупность всех прямых простран­ства Лобачевского, проходящих через точку М этого пространства, эллиптической связкой с цен­тром в точке М (или просто связкой М).

Если вершину М конуса параллельности от­носительно плоскости α будем рассматривать как центр эллиптической связки, то все прямые этой связки разобьются на три категории. К первой отнесем те прямые связки М, которые являются образующими конуса параллельности и, следо­вательно, будут параллельными плоскости α. Отсюда вывод: через любую точку пространства Лобачевского относительно какой-нибудь пло­скости, не проходящей через эту точку, можно провести сколько угодно параллельных прямых, являющихся образующими конуса параллельно­сти.

Ко второй категории относятся те прямые связ­ки М, которые проходят внутри конуса парал­лельности. Ясно, что эти прямые будут пересе­кать плоскость α, т. е. являться сходящимися прямыми относительно плоскости α. Таких пря­мых тоже бесчисленное множество.

К третьей категории относятся все остальные прямые связки М, не вошедшие ни в первую, ни во вторую категорию. Это все прямые связки М, расположенные вне конуса параллельности, они называются расходящимися относительно пло­скости α. Их также бесчисленное множество.

Так как угол параллельности есть монотонно убывающая функция стрелки, то конус парал­лельности, имеющий форму обыкновенного зон­та, с ростом высоты MN будет «свертываться» (угол параллельности П(MN) прямых Mm и Nn уменьшается), а с уменьшением высоты MN конус параллельности будет «раскрываться» (угол параллельности П(MN) прямых Mm и Nn увеличивается), и когда высота MN обратится в нуль, конус параллельности превратится в плос­кость, совпадающую с плоскостью α. Следова­тельно, для малых высот MN конус параллельно­сти мало отличается от плоскости, и в этом слу­чае пространство Лобачевского ведет себя как евклидово пространство, так как только в этом пространстве конус параллельности вырождается в плоскость. Следовательно, евклидово простран­ство можно всегда считать предельным случаем пространства Лобачевского.

Рассмотрим теперь взаимное расположение двух плоскостей в пространстве Лобачевского. Две плоскости в пространстве Лобачевского мо­гут или пересекаться или не пересекаться друг с другом. В первом случае плоскости называются сходящимися. Во втором случае они будут парал­лельными или расходящимися.

Совокупность плоскостей пространства Лоба­чевского, проходящих через какую-нибудь одну точку М, называется эллиптической связкой пло­скостей с центром в точке М. Такую связку мы будем впредь называть связкой М. . [1]

Возьмем в пространстве Лобачевского про­извольную плоскость α и произвольную точку М вне ее. Теперь в точке М относительно плоско­сти α построим конус параллельности. Вершину М конуса параллельности примем за центр эллип­тической связки плоскостей. Тогда все плоскости связки М относительно плоскости а разбиваются на три категории. К первой относятся те плоско­сти, которые пересекают конус параллельности по двум образующим. Каждая из таких плоско­стей содержит прямые, проходящие через точку М и расположенные внутри конуса параллельно­сти (эти прямые заполняют плоский угол, обра­зованный образующими конуса параллельности, по которым плоскость пересекает этот конус). Эти прямые, принадлежащие к категории сходя­щихся прямых, обязательно пересекут пло­скость α. Следовательно, каждая плоскость, пересекающая конус параллельности по двум об­разующим, пересечет плоскость α. Такие плоско­сти называются сходящимися относительно пло­скости α.

Таким образом, первую категорию плоско­стей связки М относительно плоскости α состав­ляют сходящиеся плоскости.

Ко второй категории плоскостей связки М относятся те плоскости, которые касаются кону­са параллельности по образующей. Эти плоскости не содержат прямых внутри конуса параллель­ности и, следовательно, они не могут пересекать плоскость α. Каждая из таких плоскостей назы­вается параллельной относительно плоскости α.

Вторая категория плоскостей связки М состо­ит из параллельных плоскостей относительно α. Ясно, что через любую точку, взятую вне пло­скости, можно по отношению к ней провести сколько угодно параллельных плоскостей (все они будут касательными плоскостями конуса параллельности в этой точке).

Наконец, к третьей категории плоскостей от­носятся все остальные плоскости связки М, не вошедшие ни в первую, ни во вторую категорию, т. е. все плоскости, расположенные вне конуса параллельности. Эти плоскости не пересекают плоскость α и не являются параллельными ей. Каждую из таких плоскостей относительно пло­скости а принято называть расходящейся пло­скостью.

Значит, к третьей категории относятся плос­кости связки М, расходящиеся относительно пло­скости α. В пространстве Лобачевского через точку, расположенную вне плоскости, можно про­вести сколько угодно плоскостей, расходящихся относительно данной.

Исходя из соображений, высказанных выше, легко прийти к следующим весьма замечатель­ным результатам.

1. Для того чтобы две плоскости были сходящимися (пересекались по некоторой прямой), необходимо и достаточно, чтобы через произвольную точку, взятую на одной из них, прохо­дили бы две прямые, параллельные другой плоскости.

2. Для того чтобы две плоскости были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы через произвольную точку, взятую на одной из них,
проходила одна и только одна прямая, парал­лельная другой плоскости.

3. Для того чтобы две плоскости были расходящимися, необходимо и достаточно, чтобы через произвольную точку, взятую на одной из них, не

Необходимо заметить, что две параллельные плоскости в сторону параллельности (направле­ние образующей, по которой одна плоскость ка­сается конуса параллельности, построенного от­носительно другой плоскости) асимптотически сближаются, а в противоположную сторону без­гранично расходятся. Каждая из двух парал­лельных плоскостей содержит прямую, парал­лельную другой плоскости.

Если две плоскости расходящиеся, то ни одна из них не содержит ни одной прямой, параллель­ной другой плоскости. Далее, для расходящихся плоскостей имеет место следующее. . [9]

Теорема 23. Если две плоскости α и β расхо­дящиеся, то они обязательно имеют общий пер­пендикуляр, и притом единственный, от которого безгранично расходятся во все стороны одна от­носительно другой.
Рис. 30
Доказательство. Докажем сначала су­ществование общего перпендикуляра для расхо­дящихся плоскостей α и β. Для этой цели из про­извольной точки М плоскости α на плоскость β опустим перпендикуляр MN (рис. 30), где точка N – основание перпендикуляра. Будем считать, что прямая MN не является общим перпендику­ляром плоскостей α и β, в противном случае тео­рема выполнялась бы. Тогда из точки N, распо­ложенной в плоскости β, на плоскость α в свою очередь опустим перпендикуляр NP. Через пере­секающиеся прямые MN и NP проведем пло­скость γ. Плоскость γ по абсолютной геометрии будет общей перпендикулярной плоскостью к плоскостям α и β. Плоскость γ, имеющая с пло­скостями α и β по одной общей точке М и N, пе­ресечет эти плоскости соответственно по прямым а и b. Эти прямые расходящиеся, так как нахо­дятся в расходящихся плоскостях α и β. Как до­казано выше, любые две расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Пусть для прямых а и b таким общим перпенди­куляром будет QR, который, кстати сказать, бу­дет также общим перпендикуляром плоскостей α и β, так как находится в плоскости γ, перпенди­кулярной α и β. Итак, расходящиеся плоскости α и β имеют по крайней мере один общий перпен­дикуляр QR.

Докажем единственность общего перпендику­ляра для плоскостей α и β. Будем доказывать ме­тодом от противного. Предположим, что, кроме общего перпендикуляра QR, плоскости α и β имеют еще один общий перпендикуляр Q'R' (на рисунке не обозначен). Соединив прямыми точ­ку Q с точкой Q' и точку R с точкой R', получим в плоскости γ прямоугольник QRR'Q', чего в пространстве Лобачевского быть не может (в геометрии Лобачевского прямоугольников не существует).

Остается теперь доказать расходимость рас­ходящихся плоскостей α и β от их общего перпен­дикуляра QR. Для этой цели рассмотрим расхо­дящиеся прямые а и b, расположенные в расхо­дящихся плоскостях α и β. Поскольку расходя­щиеся прямые а и b расходятся в обе стороны от их единственного общего перпендикуляра QR, то и плоскости α и β, в которых они лежат, также будут расходиться в этих направлениях от QR. Если плоскость γ вращать вокруг общего перпен­дикуляра QR, то будут менять свое направление и расходящиеся прямые а к b, которые являются линиями пересечения плоскости γ с плоскостями α и β. Прямые а и b и в новых своих положениях будут расходиться одна относительно другой от их общего перпендикуляра QR. Во всех этих направлениях, которые можно брать во все сто­роны от QR, расходящиеся плоскости α и β будут безгранично расходиться одна относительно дру­гой. Теорема доказана.

Теорема 24. Через прямую, параллельную пло­скости, проходит единственная плоскость, парал­лельная данной плоскости.

Рис. 31
Доказательство. Пусть прямая а па­раллельна плоскости α. Докажем, что через пря­мую а проходит единственная плоскость β, парал­лельная плоскости α. Для доказательства на пря­мой а возьмем произвольную точку М и построим конус параллельности относительно плоскости α с вершиной в точке М (рис. 31). Проведем через прямую а плоскость β, которая касалась бы ко­нуса параллельности по образующей а. Плоскость β будет единственной плоскостью, кото­рая, проходя через прямую а, будет параллельной плоскости а, что и требовалось доказать.

Т
Рис. 32

1. Сферу можно рассматривать как перпендикулярное (ортогональное) сечение связки О, т. е. каждая прямая связки Оявляется нормалью(перпендикуляром) к поверхности сферы.

2. Прямая пересекает сферу не более чем в двух точках.

3. Плоскость со сферой может или не иметь общих точек, или иметь одну общую точку (ка­сательная плоскость), или пересекать сферу по окружности (секущая плоскость).

4. Плоскость, проходящая через ось сферы (диаметральная плоскость), пересекает сферу по большой окружности, центр которой находится в центре сферы, которым является центр связ­ки О.

5. Сферу можно рассматривать как поверх­ность вращения окружности вокруг своей оси (диаметра).

6. Сферу можно рассматривать как геомет­рическое место точек, равноудаленных от ее центра (центр связки О).

7. Все сферы одного и того же радиуса при наложении сливаются между собой (конгруэнт­ны), причем радиусом (или параметром) сферы

8. Сфера есть поверхность постоянной кри­визны, так как ее можно без изгибания (деформа­ции) передвигать самое по себе так, чтобы каж­дая точка сферы совмещалась с любой другой ее точкой и чтобы направление любой касатель­ной к сфере в первой точке совместилось с на­правлением любой касательной во второй точке.

Для построения орисферы возьмем параболи­ческую связку прямых, т. е. совокупность всех прямых пространства, параллельных одной и той же прямой (ось связки) в одном из ее направле­ний (связка параллельных между собой прямых). Теперь из какой-нибудь точки А какой-нибудь прямой а (оси) рассматриваемой связки будем проводить прямые равного наклона относительно всех других прямых связки (рис. 33). Тогда гео­метрическое место пересечения прямых равного наклона с прямыми параболической связки и дает нам, по определению, орисферу, обладаю­щую следующими свойствами (дадим из без дока­зательства). . [3]

Рис. 33
1. Орисферу можно рассматривать как ортогональное сечение параболической связки, т. е. каждая прямая параболической связки является

2. Прямая с орисферой может иметь не более двух общих точек.

3. Плоскость, не проходящая через ось орис­феры, может не иметь общих точек с орисферой, или касаться ее в точке, или пересекать ее по окружности.

4. Плоскость, проходящая через ось орисфе­ры, пересекает орисферу по орициклу.

5. Плоскость не осевого сечения пересекает орисферу по некоторой окружности.

6. Орисферу можно рассматривать как поверхность вращения орицикла вокруг любой своей оси.

7. Все орисферы при совмещении сливаются между собой (конгруэнтны).

8. Орисфера есть поверхность постоянной кривизны, так как ее можно без изгибания (де­формации) передвигать самое по себе так, чтобы

На орисфере в системе геодезических линий, которыми являются орициклы, выполняется мо­дель евклидовой геометрии (планиметрия). В самом деле, на орисфере выполняются все плоские аксиомы абсолютной геометрии, в частности:

1. Через любые две точки орисферы прохо­дит один и только один орицикл.

2. Дугу орицикла можно неограниченно про­должать в обе стороны.

3. Из каждой точки орисферы любым геодези­ческим радиусом можно описать окружность.

Выполнимость всех этих и других плоских ак­сиом геометрии проверяется. Далее, на орисфе­ре в системе орициклов (геодезических линий) выполняется евклидов постулат о параллельных линиях. Докажем это.

Рис. 34
Эта плоскость β, как пло­скость осевого сечения, пересекает данную орисферу по орициклу, прохо­дящему через точку М и не пересекающему ори­цикла АВ. Всякий другой орицикл, проходящий че­рез точку М, будет уже пересекать орицикл АВ, так как в противном слу­чае через ось М относи­тельно плоскости α проходила бы еще одна пло­скость, не пересекающая эту плоскость, чего, как известно, быть не может. Выходит, что через лю­бую точку орисферы, расположенную вне ори­цикла этой же орисферы, можно провести един­ственный орицикл, не пересекающий данный, что и требовалось доказать. . [5]

Познакомимся теперь с эквидистантной по­верхностью. Для ее построения рассмотрим ги­перболическую связку прямых, т. е. совокупность всех прямых пространства, перпендикулярных од­ной и той же плоскости а, называемой базой связ­ки. Такую связку для краткости будем называть связкой а. Теперь из какой-нибудь точки А какой-нибудь оси а, приняв за ось а произвольную пря­мую связки а, будем проводить прямые равного наклона ко всем другим прямым связки а (рис. 35). Тогда геометрическое место точек пересечения с прямыми связки а составит некоторую поверхность, которая, по определению, и назы­вается эквидистантной поверхностью. Эта эквидистантная поверхность обладает следующими свойствами.

1. Эквидистантная поверхность есть ортогональное (перпендикулярное) сечение гиперболи­ческой связки, т. е. каждая прямая гиперболи­ческой связки является нормалью (перпендику­ляром) к эквидистантной поверхности.

2. Прямая с эквидистантной поверхностью может иметь не больше двух общих точек.

Рис. 35

4. Плоскость, проходящая через ось эквиди­стантной поверхности (она же и ось гиперболи­ческой связки), пересекает эквидистантную поверхность по эквидистанте.

5. Эквидистантную поверхность можно рас­сматривать как поверхность вращения эквидистанты вокруг любой ее оси.

6. Эквидистантную поверхность можно рас­сматривать, как геометрическое место точек, рав­ноудаленных от одной и той же плоскости (базы гиперболической связки) и расположенных по одну сторону от нее.

7. Эквидистантные поверхности одного и того же параметра при совмещении сливаются (конг­руэнтны) друг с другом, причем параметром эквидистантной поверхности называется длина пер­пендикуляра, опущенного из любой точки экви­дистантной поверхности до базисной плоскости.

8. Эквидистантная поверхность есть поверх­ность постоянной кривизны, так как ее можно без изгибания (деформации) передвигать самое по себе так, чтобы каждая точка эквидистантной по­верхности совмещалась с любой ее точкой и что­ бы направление любой касательной к эквидистантной поверхности в первой точке совпадало с на­

На эквидистантной поверхности геодезически­ми линиями являются дуги эквидистант. Оказы­вается, в системе эквидистант (геодезических линий) на эквидистантной поверхности выполня­ется модель планиметрии Лобачевского. Про­веркой установлено, что в указанной системе вы­полняются все планиметрические аксиомы абсо­лютной геометрии и, в частности, такие:

1. Через любые две точки эквидистантной по­верхности проходит на этой поверхности одна и только одна эквидистанта.

2. Дугу эквидистанты на эквидистантной поверхности можно неограниченно продолжать в обе стороны.

3. Из каждой точки эквидистантной поверх­ности геодезическим радиусом можно описать окружность.

Чтобы сказать, что вышеуказанная система действительно составляет модель геометрии Ло­бачевского (точнее, ее планиметрии), надо дока­зать выполнимость для этой системы аксиомы Лобачевского о параллельных прямых.

Итак, на основных поверхностях постоянной кривизны пространства Лобачевского (сфера, орисфера, эквидистантная поверхность) в систе­ме геодезических линий выполняются все три геометрии: эллиптическая геометрия Римана на сфере, геометрия Евклида на орисфере и геометрия Лобачевского на эквидистантной поверхнос­ти. Обратим внимание, что Лобачевский, отрицая геометрию Евклида на плоскости, не мог освобо­диться от нее совсем. Она, по меткому выраже­нию профессора В. Ф. Кагана, с плоскости «пере­селилась» на поверхность орисферы.

Из того, что в пространстве Лобачевского на орисфере выполняется планиметрия Евклида, вы­текает утверждение: если геометрия Лобачевско­го не имеет противоречий, то не может их иметь и планиметрия Евклида, т. е. вопрос о непроти­воречивости планиметрии сводится таким обра­зом к вопросу о непротиворечивости геометрии Лобачевского. . [4]

Перед учеными вполне естественно встал воп­рос: нельзя ли, наоборот, непротиворечивость гео­метрии Лобачевского свести к непротиворечи­вости геометрии Евклида. Нет ли в пространст­ве Евклида такой поверхности постоянной кри­визны, на которой, хотя бы в ограниченной части, выполнялась, скажем, планиметрия Лобачевско­го? Оказывается, такая поверхность есть. Это по­верхность псевдосферы, получаемая вращением трактрисы вокруг своей оси. На ней, как мы видели, в системе геодезических линий выполня­ется геометрия Лобачевского (ее планиметрия).