ТЕўдеудіў кейбір т®рлерін теўсіздіктер кимегімен шешу ж. К. Тортаева гу школа-гимназия №1, г. Сатпаев, Карагандинская обл., Республика Казахстан

I. Кіріспе

II. Негізгі бйлім

1 Коши теЈсіздігін ›олдану

2 Бернулли теЈсіздігін ›олдану

3 Иенсен теЈсіздігін ›олдану

4 ДЩрежелі орта тудыратын теЈсіздіктердіЈ ›олдануы

5 Гюйгенс теЈсіздігініЈ ›олданылуы

6 Коши-Буняковский теЈсіздігініЈ ›олдануы

7 Ки Фан теЈсіздігініЈ ›олданылуы

III љорытынды
Ма›саты: Жо“ар“ы математикада ›арастырылатын белгілі теЈсіздіктерді мектеп математикасында“ы кейбір теЈдеулерді шешу Їшін ›олдану“а болатынын кйрсету.
Кіріспе

Мектеп математика курсында теЈдеулерді шешудіЈ тйрт негізгі Щдісі ›олданылады: Кйбейткіштерге жіктеу, жаЈа айнымалы енгізу, функцияларды байланыстыратын теЈдіктен аргументтерді байланыстыратын теЈдікке кйшу, функциялардыЈ графиктік Щдісі. Б±лардан бас›а арнаулы Щдістері бар. Олар, Щрине теЈдеулерді негізгі Щдістермен шешуде ›иын бол“анда ›олданылады. Б±л жо“ар“ы математикада белгілі жеті теЈсіздіктіЈ теЈдеулер шешуге ›олданылуын ›арастырамыз. Б±лар: Коши, Бернулли, Иенсен, ДЩрежелік орта теЈсіздіктері, Гюйгенс, Коши-Буняковский, Ки Фан теЈсіздіктері. Б±л теЈсіздіктердіЈ математиканыЈ Щр тЇрлі салаларында, мысалы функционалды› анализде енгізу, теоремаларын дЩлелдегенде, операторларды ба“алауда мЩні йте зор. Мектеп математикасында б±л теЈсідіктерді, Щр тЇрлі теЈсіздікті дЩлелдеуге ›олданады.Та›ырыпта кйрсетілгендей біз теЈсіздіктерді теЈдеулерді шешу Їшін де ›олданамыз. Б±л ›олданулардыЈ жалпы идеясы мынандай. љарастырып отыр“ан Щр теЈсіздіктіЈ теЈдікке айналу жа“дайлары бар. Осы себепті берілген теЈдеуді шешу Їшін осы теЈсіздіктердіЈ біреуініЈ теЈдік жа“дайына келтіреміз. Ол Їшін теЈдеуді тЇрлендіріп, теЈсіздікке сЩйкес белгілеулер енгіземіз. Содан кейін теЈдік жа“дай орындалатын шартын пайдаланамыз. Ол берлген теЈдеуге ›ара“анда ›арапайым теЈдеуді береді. СоЈ“ы теЈдеудіЈ шешімдері берілген теЈдеудіЈ шешімі болады. Осы ›арапайым теЈдеуді шешіп, берілген теЈдеудіЈ шешімін аламыз.Сонымен біздіЈ ма›сатымыз: «Жо“ар“ы математикада ›арастырылатын белгілі теЈсіздіктерді мектеп математикасында“ы кейбір теЈдеуерді шешу Їшін ›олдану“а болатынын кйрсету».

Негізгі бйлім.

1. Коши теЈсіздігін ›олдану.

теріс емес сандары Їшін

теЈсіздігі орындалады. Б±л теЈсіздік Коши теЈсіздігі деп аталады. Оны мына тЇрде жазу“а болады:

Коши теЈсіздігініЈ n=2 бол“анда“ы дербес жа“дайын ›арастырайы›, я“ни немесе

Біз теЈсіздіктерді теЈдеулерді шешу Їшін ›олданатынды›тан, б±л теЈсіздіктердіЈ ›ай жа“дайларда теЈдіктерге айналатынын білуіміз керек.

М±ны тЇрлендірулер ар›ылы аны›тайы›:

Б±дан бол“анда болатыны шы“ады.

n-ніЈ бас›а мЩндері Їшін шарты да Коши теЈсіздігін теЈдікке айналдырады.

Мысалдар келтірейік:

1. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: Алдымен аны›талу облысын табайы›:

ТеЈдеудіЈ сол жа“ына ›арап n=3 Їшін Коши теЈсіздігін ›олдану керектігін бай›аймыз. Ал Коши теЈсіздігі теріс емес сандар Їшін орындалады. ТеЈдеудіЈ сол жа“ы мен оЈ жа“ында та› функциялар т±р. Б±дан теЈдеудіЈ тЇбірлері ›арама-›арсы сандар екені шы“ады, сонды›тан теЈдеуде х>0 деп ›арастырамыз. х>0 бол“анды›тан теЈдеудіЈ екі жа“ын х-ке кйбейтейік:

ТеЈдеудіЈ сол жа“ын ба“алайы›:

я“ни ал шарт бойынша

Сонымен Коши теЈсіздігі теЈдікке айналды, ал ол немесе

бол“анда орындалады.

ТеЈдеуге кіретін функциялардыЈ та›ты“ын ескере отырып, екенін аламыз.

Жауабы:

2. ТеЈдеуді шешу керек:

Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ы немесе бол“анда аны›талатын функция. Б±дан шы“ады.

ТеЈдеудіЈ сол жа“ында“ы Щрбір ›осыл“ыш теріс емес екенін ескеріп, сол жа“ын ба“алайы›:

Берілген теЈдеу

жЇйесіне мЩндес (шешімдері бірдей). Б±л жЇйеніЈ теЈсіздігі я“ни бол“анда “ана теЈдікке айналады. Ендігісін символдар ар›ылы жеЈіл жазу“а болады:



Екі тЇбір де аралы“ында жатады.

Жауабы:

3. ТеЈдеуді бЇтін сандар жиынында шешу керек.



Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ы екі теріс емес йрнектіЈ ›осындысы, сонды›тан Коши теЈсіздігін ›олдану“а болады.

Берілген теЈдеуді ескеріп мынаны аламыз:

СоЈ“ы теЈсіздіктен теЈсіздігіне жеЈіл кйшуге болады. Б±дан йрнегін теЈдеуге ›ойып, мынаны аламыз.

Ал“аш›ы айнымалы“а : . Онда жЩне

Алын“ан х,у бЇтін сандар болмайды, олай болса берілген теЈдеудіЈ бЇтін шешімдері жо›.

Жауабы: шешімі жо›.

Енді осы пунктегі бас›а есептерді шешуге ›олданатынын Щдісті кйрсетейік. Ал“аш›ы жа“дайларда“ыдай б±л Щдіс те Коши теЈсіздігіне негізделген. Енді ол тЇріндегі теЈдеуді шешуге ›олданылады.

Алдымен теЈдеудіЈ сол жа“ында“ы Щрбір арифметикалы› тЇбірдіЈ дЩреже кйрсеткішін ескере отырып ба“аланады. Ол Їшін тЇбірдіЈ астында“ы йрнекті саны тЇбірдіЈ дЩреже кйрсеткіші теЈ кйбейткіштердіЈ кйбейтіндісі тЇрінде жазып алады. Содан кейін Коши теЈсіздігін ›олданады.

Мысалы,

Сосын шы››ан ба“алауларды ›осып теЈсіздігін алады, м±нда“ы

Енді тек х-тіЈ ›андай мЩндерінде теЈсіздігіне теЈдік орындалады, соны аны›тау “ана ›алады. Осы Щдіс ›олданылатын есептерді келтірейік.

4. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: Шрбір арифметикалы› тЇбірді ба“алайы›:

Шы››ан йрнектердіЈ ›осындысын табайы›:

Берілген теЈдеуді ескере отырып мына жЇйені жазамыз:

Б±дан я“ни

Шы››ан теЈсіздікте х=1 бол“анда, теЈдік орындалады. Олай болса, х=1 теЈдеудіЈ жал“ыз шешімі.

Жауабы: х=1

5. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ында“ы Щрбір арифметикалы› тЇбірді ба“алаймыз. Олар теріс емес бол“анды›тан

Шы››ан йрнектердіЈ ›осындысын табамыз:

Екі теЈдеудіЈ оЈ жа“ын тЇрлендірейік:

ТеЈдеудіЈ сол жа“ы мен оЈ жа“ыныЈ ба“алауларын бірге ›арастырайы›:

Б±дан мына жЇйені аламыз:

немесе

Осыдан х=3 екенін аламыз.

Енді х-тіЈ табыл“ан мЩні белгісіздіЈ мЇмкін мЩндер жиынына жата ма тексерейік:

Шартынан шы“ады, я“ни

Жауабы х=3

6.

ТеЈдеуін ›ана“аттандыратын барлы› (х;у) сандар ж±бын табу керек.

Шешуі: Берілген теЈдеуді мына тЇрде жазайы›:

Коши теЈсіздігінен жЩне на›ты санныЈ модулініЈ теріс еместігін пайдаланып теЈдеуініЈ оЈ жа“ы мен сол жа“ын ба“алайы›:

Жауабы: (4;16), (1;1)

7. x>0, y>0 бол“анда теЈдеулер жЇйесін шешу керек.

Шешуі: x>0, y>0 бол“анды›тан жЇйеніЈ бірінші теЈдеуін тЇрінде жазу“а болады. ТЇбірдіЈ дЩреже кйрсеткішін ескере отырып, ба“алап, мынаны аламыз.

ЖЇйеніЈ екінші теЈдеуін ескеріп екенін аламыз.

Жауабы: шешімдері жо›.

Бернулли теЈсіздігі деп Їш бйліктен т±ратын мына теореманы айтамыз:

1. 
   Егер h>-1 болса, онда кез-келген р натурал саны Їшін
   
2. 
   Егер h>-1 жЩне болса, я“ни (p>1 не p<0) онда
   
3. 
   Егер h>-1 жЩне 0
   болса, онда
   

Б±л теореманы тЇріндегі теЈдеуді шешуге пайдалану Їшін теЈдеудіЈ сол жа“ын тЇріндегі дЩрежелердіЈ ›осындысы етіп жазып, Щр ›осыл“ыш›а Бернулли теЈсіздігін ›олдану керек. Егер тЇрлендірулерден кейін теЈдеудіЈ сол жа“ыныЈ оныЈ оЈ жа“ына теЈ екенін алса›, келтірілген ескерту бойынша р=1 немесе деген ›орытынды жасаймыз.

Айтыл“ан ЩдістіЈ ›олданылуына мысалдар келтірейік.

1. теЈдеуін бЇтін сандар жиынында шешу керек.

Шешуі: функциясы бол“анда аны›тал“ан. Сонды›тан теЈдеудіЈ бЇтін теріс тЇбірі болмайды. 0-ге теЈ тЇбірі бар ма, тексерейік. Шынында да, х=0 бол“анда теЈдеу мына тЇрге келеді: я“ни 0=0. Ендеше х=0 теЈдеудіЈ тЇбірі. Енді теЈдеудіЈ оЈ тЇбірі бар ма, соны аны›тау керек.

ТЇрлендірейік:

Жауабы:

2. теЈдеуін шарты орындал“анда шешу керек.

Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ын дЩрежелердіЈ ›осындысы ретінде жазайы›.

жЩне

Енді ›осындыны ›арастыру“а болады.

Жауабы:

3. теЈдеуін шешу керек.
Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ында ж±п дЩрежелі тЇбірлер т±р,сонды›тан жЩне я“ни теЈсіздігі орындалады. ТеЈдеудіЈ сол жа“ын дЩрежелердіЈ ›осындысы тЇрінде жазайы›:

x>-1 жЩне шарттары Бернулли теЈсіздігін ›олдану“а мЇмкіндік береді:

Сонымен теЈсіздігін алды›, ал біра› ендеше шешімі жо›.

Жауабы: шешімдері жо›.

Енді Бернулли теЈсіздігін

Алдымен теЈдеудіЈ сол жа“ын да тЇріндегі дЩрежелердіЈ ›осындылары тЇрінде жазып аламыз. Сосын теЈдеудіЈ сол жа“ы мен оЈ жа“ына Бернулли теЈсіздігін ›олданамыз. Егер тЇрлендірулерден кейін олар йзара теЈ болса, онда х-тіЈ ›андай мЩндерінде теЈдік орындалатынын аны›таймыз.

4. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: ТеЈдеудіЈ сол жа“ын дЩрежелердіЈ ›осындысы тЇрінде жазып аламыз:

Оны теЈдеудіЈ оЈ жа“ына теЈестіреміз:

Олай болса, берілген теЈдеудіЈ сол жа“ы мен оЈ жа“ы олардыЈ Щр›айсысы 2-ге теЈ бол“анды›тан, йзара теЈ болады.

Ал теЈдік

бол“анда орындалады.

Жауабы: х=0

Сандар осьініЈ J аралы“ында“ы дйЈес f(x) функциясы Їшін f(λ₁x₁+ λ₂x₂+…+λ_nx_n)≤λ₁ѓ(x₁)+λ₂ѓ(x₂)+…λ_nѓ(x_n) теЈсіздігі, Иенсен теЈсіздігі деп аталады. (3.1)

Егер б±л теЈсіздіктегі f сызы›ты› функция болмаса, онда теЈдік тек x₁=x₂=…=x_n бол“анда “ана орындалады. Мысалдар“а кйшейік.

1. 6In =In((1+x²)(2+x²)) теЈдеуін шешіЈдер.

Шешуі: Берілген теЈдеу барлы› на›ты сандар Їшін аны›тал“ан, оны мына тЇрде жазайы›.

In = In In

(3.2)

γ=-Inx функциясы (0,+∞) интервалында дйЈес бол“анды›тан, (3.1) теЈсіздігі бойынша мына ба“алауды аламыз.

In ≥ In In

Алын“ан ›атынаста теЈдік, тек = бол“анда “ана орындалады. Сонды›тан соЈ“ы теЈдеудіЈ тЇбірлері (3.2) теЈдеуініЈ тЇбірлері болады, ендеше берілген теЈдеудіЈ де тЇбірлері болады.

СоЈ“ы ирррационал теЈдеуді шешіп, тЇбірлерді табамыз:

x₁= , x₂= – .

Жауабы: x=±

2. (e^x+ )² = 3(e^2x+x+2-sin²x) теЈдеуініЈ теріс емес тЇбірлерін табу керек.

Шешуі: БелгісіздіЈ аны›талу облысында, я“ни[-1;+∞) аралы“ында, теЈдеуді былай тЇрлендірейік.

(3.3) теЈдеудіЈ сол жа“ын ›арастырып, оны жо“ары жа“ынан ба“алайы›. Ол Їшін Иенсен теЈсіздігін ѓ(x)=x² функциясы жЩне λ₁=λ₂ =λ₃= коэфиценттері Їшін ›олданайы›.Сонда

СоЈ“ы ›атынаста теЈдік, тек е^x= =cosx бол“анда “ана орындалады, осыдан (3.3) теЈдеудіЈ жал“ыз x=0 теріс емес тЇбірін табыЈыз.

Б±“ан y=e^x, y= жЩне y=cosx функцияларыныЈ графиктерінде салыстырып кйз жеткізуге болады.

Жауабы: x=0

3. = теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: ТеЈдеудіЈ аны›талу облысы[0,+∞) аралы“ы. ТеЈдеудіЈ екі жа“ында -ке бйліп, оны міндетті тЇрде жазамыз.

– = －

(3.4) теЈсіздіктіЈ сол жа“ын ѓ(x)= － функциясы жЩне коэфиценттері Їшін Иенсен теЈсіздігін ›олданып, жо“ары жа“ынан ба“алайы›.

－ ≤－

(3.4) теЈдеу осы теЈсіздіктіЈ теЈдік тЇрінде жазылды. ТеЈдік тек = бол“анда “ана орындалады, б±дан x=1шы“ады.

Жауабы: x=1

4. ДЩрежелік орта тудыратын теЈсіздіктердіЈ ›олданылуы.

а₁...а_n сандар болсын. ОлардыЈ x ретті(x-на›ты сан) дЩрежелік ортасы деп мына шаманы айтамыз.

а₁, а₂,...,а_n сандары йзара теЈ болма“анда R=(-∞,+∞) аралы“ында F йспелі функция болатыны белгілі, ал а₁=a₂=…=a_n=a бол“анда F(x) = a ›атысы орындалады. ДЩрежелік ортаныЈ осы ›асиетінен α≤β бол“анда F (α)≤ F(β)(4.1) орындалатынды“ы шы“ады. α<β бол“анда, теЈдік тек а₁=a₂=…=a_n бол“анда “ана орындалады. Енді (4.1) теЈсіздігін кейбір теЈдеулерді шешу Їшін ›олданып кйрейік.

1. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі. ТеЈдеудіЈ сол жа“ында“ы бірінші ›осыл“ыштыЈ аны›талу

облысы кесіндісі екі ›осыл“ышта интервалында оЈ

болады. Х Їшін 1-9x² жЩне 1+9x² шамаларыныЈ t ретті

дЩрежелік ортасын ›арастырайы›:

F =

Ол F F теЈсіздігін жазу“а мЇмкіндік береді, б±л теЈсіздікте

1-9х² = 1+9х² бол“анда “ана теЈдікке айналады, б±дан х = 0 екнін аламыз.Берілген теЈдеу

Жауабы:х=0

2.

ТеЈдеуін шешу керек

Шешуі : х=0 берілген теЈдеудіЈ тЇбірі болмайды, ал х>0 бол“анда, ол мына теЈдеуге мЩндес болады.

(4.2) теЈдеуініЈ сол жа“ы х, жЩне 1 мЩндерініЈ арифметикалы› ортасы –А , ал оЈ жа“ы осы мЩндердіЈ ретті дЩрежелік ортасы–Р. (4.1) бойынша Р А шарты орындалады, б±л теЈсіздікте теЈдік те х= =1 бол“анда орындалады, я“ни х=1

Ендеше, х=1 ›арастырып отыр“ан теЈдеудіЈ жал“ыз тЇбірі Ескерту: Осы теЈдеуді шешсеЈ теЈсіздігін ›олданып та шеуге болады.

3. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі. Х>0 бол“анда, теЈдеуді мына тЇрде жазамыз.

(4.3) теЈдеуініЈ сол жа“ы 1,х, шамаларыныЈ ретті дЩрежесін ортасы –Р

Оны Р теЈсіздігін пайдаланып тйменнен ба“алайы› , м±нда“ы G-1,х,

шамаларыныЈ геометриялы› ортасы. Сонда:

Р=

Б±л ба“алауда теЈдік тек 1=х= бол“анда, я“ни х=1 бол“анда “ана орындалады.

Сонымен, х=1-теЈдеудіЈ жал“ыз тЇбірі.

Жауабы: x=1

4.

Шешуі: Келтірілген ж±мыстарда кездеседі жЩне БернуллидіЈ жалпылама теЈсіздігі негізінде. Біз б±л теЈдеуді дЩрежелік ортаныЈ (4.1) монотондылы› ›асиетін пайдаланып шешеміз. БелгісіздіЈ аны›талу облысы -[-1,1] кесіндісі. Б±дан бас›а, х=0-діЈ берілген теЈдеудіЈ тЇбірі болмайтынын бай›ау“а болады.

[-1,0) (0,1] Їшін

≠0

деп алып, жЩне оЈ шамаларыныЈ F(t) дЩрежелік ортасын енгізейік

Берілген теЈдеу осы теЈсіздіктіЈ теЈдік жа“дайы. Ал (4.4)-те теЈдік тек = шарты орындал“анда “ана, д±рыс болады. Б±дан х²=1 екені шы“ады, онда х=±1-ідеп отыр“ан тЇбірлер

Жауабы: х=±1

5. Гюйгенс теЈсіздігініЈ ›олданылуы.

а₁а_2,...а_n оЈ сандары Їшін теЈсіздігін Гюйгенс теЈсіздігі деп атаймыз. Б±л теЈсіздікте теЈдік а₁=а₂=...=а_n бол“анда “ана, тек сонда “ана орындалады. Осы теЈсіздіктіЈ ›олданылуына екі мысал келтірейік.

1. теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: теЈдеу х≥0 Їшін берілгенін х=0 теЈдеудіЈ тЇбірі екенін бай›ау“а болады. ОныЈ оЈ тЇбірлерін табайы›. Ол Їшін теЈдеудіЈ оЈ жа“ынГюйгенс теЈсіздігін пайдаланып тйменнен ба“алайы›. Сонда

Б±л ба“алауда теЈдік тек бол“анда “ана орындалатынды›тан, х=1 берілген теЈдеудіЈ жал“ыз оЈ тЇбірі бар.

Жауабы: х=0, х=1

2. теЈдеуініЈ оЈ тЇбірін табу керек.

Шешуі: х-тіЈ оЈ мЩндері Їшін Гюйгенс теЈсіздігін пайдаланып теЈдеудіЈ сол жа“ын тйменнен ба“алайы›

Б±л ба“алауда теЈдік х=2х²=4х³ бол“анда “ана орындалатынды›тан, теЈдеудіЈ жал“ыз оЈ тЇбірі.

Жауабы:

6. Коши-Буняковский теЈсіздігініЈ ›олданылуы.

a₁,a₂,…,a_n; b₁,b₂,…,b_n (b_i ≠ 0, i= 1,…,n) сандары Їшін

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)² ≤ (a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²) (6.1)

ТеЈсіздігі Коши-Буяновский теЈсіздігі деп аталады. Б±л теЈсіздікте

бол“анда “ана, тек сонда “ана теЈдік орындалады.(6.1) теЈсіздігінде теЈдік орындалу шартын келесі теЈдеуді шешуге ›олданайы›.

теЈдеуін шешу керек.

Шешуі: х=0 теЈдеудіЈ тЇбірі екенін бай›ау“а болады. Осы теЈдеудіЈ оЈ тЇбірлерін табайы›. 13=2²+3², ал х(х+1)=х²+х+ сонды›тан берілген теЈдеу а₁=2, а₂=3, b₁=х, b₂= шамалары Їшін Коши теЈсіздігініЈ теЈдік жа“дайы. Ендеше теЈдеу ›атысымен мЩндес. Осыдан теЈдеудіЈ жал“ыз оЈ тЇбірі х= екенін аламыз.

Жауабы: х=0, х=

7. Ки Фан теЈсіздігініЈ ›олданылуы.

аралы“ында“ы оЈ сандар, жЩне -олардыЈ сЩйкес арифметикалы› жЩне геометриялы› орталары, ал жЩне - сандары Їшін осындай орталар болсын.

сандары Їшін (7.1)

теЈсіздігі Ки Фан теЈсіздігі деп аталады. Б±л теЈсіздікте бол“анда “ана, теЈдік орындалады. ТеЈсіздіктіЈ ›олданылуына мысал келтірейік.

СоЈ“ы бйлшекті Їшін жЩне шамалары аралы“ынан мЩндер ›абылдайтынды›тан Ки Фан теЈсіздігін пайдаланып жиынында жо“арыдан ба“алайы›.

Сонда

КЇлба“алауда алын“ан бйлшек (7.2)-ніЈ оЈ жа“ына оЈай келтіріледі. бол“анда “ана, ба“алауда теЈдік орындалады. Олай болса соЈ“ы теЈдеудіЈ тЇбірлері (7.2) теЈдуініЈ тЇбірлері, сонды›тан берілген теЈдеудіЈ де тЇбірлері де болады.

Оларды табамыз:

Жауабы:

Ескерту.(0. аралы“ында“ы а₁,а₂,...,а_n сандары Їшін Ки Фан теЈсіздігімен ›атар, оныЈ аудитивті (±›сас) жа“дайы А'_n-A_n≤G'_n-G_n (7.3)

теЈсіздігін де ›арастыру“а болады. Б±л теЈсіздікте де теЈдік а₁=а₂=...= а_n бол“анда “ана орындалады (7.3) теЈсіздігін 1988 жылы Х. Альцер кйрсеткен болатын. Осы теЈсіздіктіЈ ›олданылуын алдыЈ“ы теЈдеуді йзгерту ар›ылы алын“ан келесі теЈдеуді шешкенде кйрсетейік.

Шешуі: х=0 теЈдеуді ›ана“аттандырмайтын оЈай бай›ау“а болады. Їшін жЩне шамалары мЩндерін аралы“ынан ›абылдайды, сонды›тан теЈдеудіЈ оЈ жа“ынан Ки Фан теЈсіздігініЈ (7.3) аудитивті жа“дайын пайдаланып, тйменнен пайдалану“а болады. Сонда:

Жауабы:

Осы “ылыми жобаны жазу барысында мен кейбір теЈдеулерді Коши, Бернулли, Иенсен, Гюйгенс, Коши-Буняковский, Ки Фан теЈсіздіктер теоремаларын ›олданып, есептер шы“аруды Їйрендім. ДЩрежелі орта тудыратын теЈсіздітерді ›олдандым. Логикалы› ойлау ›абілетімді дамыта отырып, жо“ар“ы о›у орнында осындай есептерді мЇдірмей орындау“а септігін тигізеді.Келешекте осы атал“ан жобаны жо“ар“ы сынып о›ушыларыныЈ о›у ба“дарламасына енгізуіне ›ажеттілік туындайды деп ойлаймын.

1. 
   Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.:Просвещение,1999.
   
2. 
   Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.:1997.
   
3. 
   Галицкий М.Л., Мошкова М.М., Шварцбурд С.И. углубленное изучение курса алгебры и математичексого анализа-Методические рекомендации и дидактические материалы:Пособие для учителя.-М.:Московский Лицей,1986.
   
4. 
   Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начало анализа.
   
5. 
   Райхмист Р.Б. Задачник по математики для учащихся средней школы и поступающих в вузы: Учебные пособие.М.:Московский Лицей,2001.
   
6. 
   Фирстова Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств:Математика в школе.-2002.-№1.
   
7. 
   Калинин С.И. К вопросу о решении уравнений по средством неравенств-№5,С.68
   

’ылыми жобаныЈ та›ырыбы «ТеЈдеудіЈ кейбір тЇрлерін теЈсіздіктер кймегімен шешу». БатырланныЈ осы та›ырыпты ал“андан“ы ма›саты жо“ар“ы математикада ›арастыратын белгілі теЈсіздіктерді мектеп математикасында“ы кейбір теЈдеулерді шешу Їшін ›олдану“а болатынын кйрсету. Математикадан б±л та›ырыпты таЈдап алуына йзініЈ математика пЩні саласында“ы жетістіктері Щсер етті. Батырлан теЈдеулердіЈ кейбір тЇрлерін Коши, Бернулли, Иенсен, Гюгсен, Коши-Буняковский, Км Фан, дЩрежелік орта тудыратын теЈсіздіктерді ›олдану ар›ылы есептер шы“ара білді. Ал“а ›ой“ан ма›сатына жету Їшін кйп еЈбектенді.

О›ушыныЈ математика“а ›ызы“ушылы“ы артып, білімі одан Щрі тереЈдей тЇсті. МеніЈ ойымша, Мырзатаев БатырланныЈ зерттеу ж±мысы маЈызды жЩне оныЈ ж±мысы математиканы о›ып Їйренуде бас›а о›ушылар“а да кймегін тигізеді. Батырлан алда“ы уа›ытта математика Щлемінде Їлкен табыстар“а жетеді деп ойлаймын.
Annotation

The theme of the search work is To solve some kind of equation with the help of inequality.

This work is chosen and written by Batyrlan Myrzataev, the pupil of the 9^th form. The work’s aim to show how to use some known Maths inequalities used in High school to solve some equations in Maths in secondary schools.

Knowing the basic methods on Maths students can use Koshy, Bernully,Yensen, Koshy-Bunyakovsky, Kye Fan’s inequality and following some Maths problems the pupil has solved a lot of Maths problems. Solving them he has learnt a lot and proved how to solve the Maths problems easily and quickly. He worked hard to reach his aim. If students can use kind of inequalities to solve equations correctly, then they will sole Maths problems easily and quickly.

Мырзатаев Батырлан 9 А сыныбында о›иды. Мектепте Батырлан барлы› пЩндерден жо“ары деЈгейде Їлгереді. СоныЈ ішінде ›ызы“ып о›итын сЇйікті пЩні – математика. Математика салаласында“ы йзініЈ зерттеу ж±мыстарын б±дан бір жыл б±рын басталды. Осы уа›ыт аралы“ында Батырлан ›анаттас жа›тан Жез›аз“ан, СЩтпаев ›алаларында“ы кітапханалар“а барып, йзіне ›ажетті о›ула›тарды, Щдебиеттерді материалдарды таЈдап, маЈызды мЩлеметтермен танысты.

«љазіргі дарын – болаша› “ылым» демекші, Батырлан еЈбек›ор о›ушы. Ол та›ырыбына керекті Щдебиеттерді іріктеп ал“ан сон, йзініЈ ж±мыс жоспарын ›±рып, сол та›ырыптыЈ шеЈберінде жан-жа›ты зерттеу ж±мыстарын жЇргізді.

БатырланныЈ нысана“а ал“ан та›ырыбы: «ТеЈдеудіЈ кейбір тЇрлерін теЈсіздіктер кймегімен шешу». Б±л та›ырыпты таЈдап алу“а, о›ушыныЈ математика пЩні саласында“ы жетістіктері Щсер етті. изініЈ жігерлі еЈбегініЈ ар›асында баланыЈ математика “ылымына деген ›ызы“ушылы“ы одан Щрі артып,білімін тереЈдетіп, жаЈа саты“а кйтерілді.

Белгілі бір теЈдеудін кейбір тЇрлерін шешу Їшін теЈсіздіктердіЈ кймегіне жЇгіну керек болады. Батырлан кйп ізденіп, зерттеу барасында “ана йзініЈ та›ырыбын шапшан меЈгеріп, тЇсінді.

љазіргі XXI “асырда математика “ылымы Їздіксіз даму Їстінде, ол тарауланып, гЇлденіп, йркендеп, жапыра“ын жайып, тамырын тереЈдетіп, бейнебір Їлкен а“аш сия›ты б±та›танып барады. Ал математиканыЈ жаЈалы›тары жылдан-жыл“а кйбеюде. Сол жаЈалы›тарды білу, есепті шушудіЈ жаЈа жолдарын жетілдіру – ›азіргі о›ушылар алдында“ы міндеттердіЈ бірі.