Теңдеулерді және жүйелерді бүтін сандар жиынында шешу

Бұл процесс Евклид алгоритмі деп аталады, q₁, q₂, ... өлшемдері толық емес бөлінділер және r₂, r₃ қалдықтары мына теңсіздіктерді қанағаттандырады:

Алынған теңдіктерді мына түрде жазайық:

Бірінші қатардағы бөлшегін соған тең екінші қатардағы мәнімен алмастырсақ, ал бөлшегін үшінші қатардағы мәнімен алмастырсақ және тағы сол сияқты жалғастырсақ, онда бөлшегінің келесі бөлшек тізбегіне жіктелуін аламыз:

Алынған бөлшек тізбегінің кейбір мүшелерінен бастап барлық мүшелерін алып тастағанда қалатын өрнекті лайықты бөлшек деп атаймыз. Бірінші лайықты бөлшек бөлшегінен бастап барлық мүшелерін алып тастағанда шығады:

Екінші лайықты бөлшек бөлшегінен бастап барлық мүшелерін алып тастағанда шығады:

Дәл осылай

Екі белгісізі бар дәрежесі екіден артық теңдеулер жүйесі кейбір жағдайлар болмаса, әрқашанда х және у бүтін сандар жиынында тек қана шекті сандар шешіміне ие. Ең алдымен мына теңдеуді қарастырайық:

мұндағы n – екіден артық бүтін сан, – бүтін сандар.

Біздің жүзжылдықтың басында А. Туэ дәлелдегендей, мұндай теңдеу х және у бүтін сандар жиынында шекті сандар шешіміне ие, тек қана кейбір жағдайлар бұлай болмайды, мәселен, бұл теңдеудің біртекті сол бөлігі бірінші дәрежелі біртекті екімүшеліктің дәрежесі болса. Соңғы жағдайда біздің теңдеу мына екі түрдің біреуіне ие:

,

және бірінші немесе екінші дәрежелі теңдеуге келтіріледі. Біз А.Туэ әдісінің күрделілігінен, оны қолдана алмаймыз және (1) теңдеудің шешімдер санының шектілігін дәлелдейтін кейбір ескертулермен шектелеміз.

1. 
   теңдеудің екі жағында санына бөлейік:
   

Біз бұл теңдеудің барлық түбірлері әр түрлі және a₀∙ a_n ≠ 0 деп қана емес, бұл теңдеудің түбірлері бүтін коэфициентті төменгі дәрежелі теңдеудің түбірлері бола алмайды деп ұйғарайық.

Жоғарғы алгебрада әрбір алгебралық теңдеудің ең болмағанда бір түбірі бар екені дәлелденеді, әрбір көпмүшелік бүтіндей (z - α) бірмүшелігіне бөлінеді, егер α – оның түбірі болса. Көпмүшелікті көбейтінді түрінде жазсақ:

(4)

мұндағы α₁, α₂, …,α_n – берілген көпмүшеліктің барлық n түбірлері. Көпмүшеліктің көбейтінді түрінде жазылған өрнегін пайдаланып, (2) теңдеуді мына түрде жазуға болады:

(5) теңдеудің бүтін сандар жиынында [x_k, y_k] санаусыз көп шешімі болсын. Демек, абсолют шамасы бойынша y_k санынан үлкен шешімдері бар деген сөз. Кез – келген анықталған саннан абсолбт шамасы бойынша кіші, y_k сонымен шектелген санаусыз көп жұптар бар болғанда және x_k қаншалық үлкен болса, онда мұндай x_k үшін теңдеудің сол жағы да сонша үлкен болатын еді, бірақ бұлай болу мүмкін емес. Енді y_k өте үлкен болсын, онда (5) теңдеудің оң жағы кіші болар еді, демек сол жағы да кіші болуы керек. Бірақ теңдеудің сол жағы бүтін және бірден кіші емес және a₀ санын қамтитын n көбейткіштің көбейтіндісі. Сондықтан, сол жақтың кішілігі, абсолют шамасы бойынша мына айырымның қайсыбірінің кішілігінен келіп шығады:

Бұл айырым кіші болады, сонда тек сонда ғана, α_m шындығында, теңдігінен орын алмаса. Қарсы жағдайда, біздің айырымымыздың модулі кіші бола алмайды, себебі:

(5) теңдеудің сол жағындағы екі көбейткіштің айырымы бірдей уақытта модулі бойынша кіші бола алмайды, себебі:

сандарының барлығы өзара әртүрлі болғандықтан, абсолют шамасы, не модулі бойынша ең кіші айырымы нөлден үлкен болады (m ≠ S). Оның өлшемін 2d арқылы белгілесек, y_k шексіз өсетіндіктен, кез – келген жеткілікті y_k үшін келесі теңсіздік орынды:

немесе (7)

Онда көбейтіндінің абсолют шамасы көбейткіштердің абсолют шамасының көбейтіндісіне тең екенін (5) теңдеуден аламыз:

(8)

Бірақ, егерде бұл теңдіктегі әрбір айырымын d мәнінің ең кіші өлшемімен алмастырсақ, ал санын бірмен алмастырсақ, санынан кіші бүтін сан бола алмайды, онда (8) теңдіктің сол жағы оң жағынан кіші болады және біз келесі теңсіздікті аламыз:

немесе

теңсіздігін аламыз, мұндағы с x_n және y_n сандарына тәулді емес. Сондықтан, қандай да бір анықталған m бар болады, оған сайкес α_m үшін (9) теңсіздік санаусыз көп рет орындалады. Басқаша айтқанда, егер (1) теңдеудің бүтін сандар жиынында санаусыз көп шешімі бар болса, онда бүтін коэффициентті (3) алгебралық теңдеудің α түбірі болады және q қаншалық үлкен болса да, мына теңсіздік орындалады:

мұндағы А – p, q сандарына тәуелсіз тұрақты, p, q – бүтін сандар, ал n – α санын қанағаттандыратын теңдеудің дәрежесі. Егер α кез – келген нақты сан болса, онда оны (10) теңсіздіктің p және q бүтін сандар жиынында санаусыз көп шешімі болатындай етіп таңдауға болар еді. Біздің жағдайда α бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің түбірі, мұндай сандар алгебралық деп аталады және ерекше қасиеттерге ие.

Алгебралық санның дәржесі дегеніміз – осы сан қанағаттандыратын кіші дәрежелі бүтін коэффициентті алгебралық теңдеудің дәрежесі.

Ерекше және күрделі әдіспен К. Зигель мынаны дәлелдеді:

теңдеуінің х және у бүтін сандар жиынында санаусыз көп шешімі болады, сонда тек сонда ғана, егер де мына сандар бар болса:

және

Оларды х және у мәндерінің орнына қойғанда, t параметріне қатысты

тепе – теңдігін аламыз. Мұндағы n – кейбір бүтін сан, P(x, y) - дәрежесі екіден үлкен жіктелмейтін көпмүшелік.