Динамиканың бірінші және екінші есептері

берілген болады. Осы берілгендер арқылы (3.7) теңдеулерінен іздеп отырған күштің проекциялары табылады:

Осы күш проекциялары арқылы күштің өзін анықтап аламыз.

3.3-сурет

осы теңдеуден:

Яғни, жүктің платформаға түсіретін қысым күші де 5.92 Н-ға тең болады.

Нүкте динамикасының екінші есебі. Нүкте динамикасының екінші есебін шешу екінші ретті үш дифференциалдық теңдеулер жүйесі (3.7)-ні интегралдауға келтіріледі. Дифференциалдық теңдеулердің мұндай жүйесінің жалпы шешімі әлі табылмаған. Сондықтан біз ол жүйені шешудің жалпы сұлбасын көрсетіп өтейік. Бізге массасы m-ге тең материялық нүктенің берілген күші әсерінен болатын қозғалысының дифференциалдық теңдеулері (3.7) берілсін:



(3.8)

.

Берілген әсерінен болатын нүкте қозғалысын табу (3.8) дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіріледі. Ол теңдеулерді түрлендіру нәтижесінде мынадай үш теңдеулер алдық дейік:

Онда (3.9)-ды интегралдау арқылы мынадай бірінші интеграл-дарды алған болар едік:

(3.10)-дағы -тұрақтылары интегралдаудың кез келген тұрақтылары деп аталады.

(3.10) теңдеулерін тағы да бір рет интегралдап шығуымыз керек. Сол мақсатпен оларды қалай да түрлендіре отырып мынадай түрге келтіре алдық дейік:

,

, (3.11)

.

Онда бұларды оңай интегралдаған болар едік те, мынадай қатынастар алар едік:

мұндағы, - интегралдау тұрақтыларының келесі үшеуі.

Уақыт, координаттар, кез келген тұрақты шамалар арасындағы тәуелділікті беретін және қозғалыс теңдеулері негізінде орынды болатын, (3.12) түріндегі қатынастарды қозғалыс теңдеулерінің екінші интегралдары деп атайды. (3.12) қатынастарынан -терді табуға болады:

,

, (3.13)

.

(3.13) теңдіктері (3.8) қозғалыс теңдеулерінің жалпы шешімі болып табылады. Мұнда нүкте координаттары уақытқа және алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді функциялар ретінде анықталған.

Сонымен, жалпы жағдайда нүкте координаттары алты кез келген тұрақты шамаларға тәуелді болып шықты.

Басқаша айтқанда, қозғалыс теңдеулерін интегралдау арқылы материялық нүктенің берілген күш әсерінен мүмкін болатын қозға-лыстарының барлығының да заңдарын табуға болады екен.

Мысалы, біз материялық нүктені ауасыз ортада бір орыннан әр түрлі бағыттағы жылдамдықпен ұшыруымызға болады. Онда ол нүкте ауырлық күші әсерінен бастапқы жылдамдықтың қалай бағытталуына байланысты түзу сызық бойымен немесе әр түрлі параболалар бойымен қозғалуы мүмкін.

Сол себепті күштің өзгеру заңдылығын:

көрсетумен қатар, нүктенің бастапқы орны мен жылдамдығын да нақтылы көрсетіп отыруымыз қажет.

Уақыт болғанда, нүктенің бастапқы орнын анықтайтын координаттар мынадай болды дейік:

. (3.14)

Ал бастапқы жылдамдық проекциялары мынадай болсын:

(3.14) және (3.15) қатынастарының жиынын бастапқы шарттар деп атаймыз. Осы бастапқы шарттар арқылы интегралдау тұрақтылары табылады. Ол үшін (3.10) және (3.12) теңдеулердегі айнымалылары орнына олардың (3.14) және (3.15)-теңдеулерде көрсетілген бастапқы мәндерді қоямыз. Сонда:

(3.16) бойынша анықталатын интегралдау тұрақтыларының мәндерін (3.13) –теңдеуге қойсақ, мынаны аламыз:

(3.17)-теңдіктер берілген күш әсерінен болатын және бастапқы шарттарға сәйкес орындалатын нүкте қозғалысының заңын анық-тайды. Сонымен, нүкте динамикасының екінші есебінің шешілуі осы сұлба бойынша жүргізіледі.