Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор» математических представлений знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 назывется египетским . А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения прямого угла. Вот требуемый способ. Верёвка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы веревки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними натягивателями составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым. Боюсь, что большинство читателей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то в этом случае треугольник прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)

Кажущееся противоречие, упомянутое в начале абзаца, заключается в том, что, обещав говорить о неутилитарном аспекте математики, мы сразу же перешли к её практическому применению. Оно потому названо кажущимся, что описанное применение обратной теоремы Пифагора принадлежит далёкому прошлому. Сейчас едва ли кто-либо строит прямой угол указанным способом: этот способ переместился из мира практики в мир идей - как и вообще многие воспоминания о материальной культуре прошлого вошли в духовную культуру настоящего.

Изложенная только что тема содержит в себе три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 32 + 42 = 52. В каждой из этих подтем можно усмотреть некие элементы, относящиеся к тому, чтбо автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Приведём примеры таких элементов.

Сперва о понятии прямого угла. Это понятие может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но объяснить не на визуальных примерах, а вербально - например, по телефону. Вот решение. Надо попросить собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если все эти углы окажутся равными друг другу, то каждый из них и называют прямым. Какая же тут духовная культура, если речь идёт о жердях! - возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще представляет собою удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть ощущение, что любопытный скиф его поймёт.

Теперь - пример из жизни треугольников. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция - это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различной формы; при этом существенно, что примыкание происходит целыми сторонами, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний - как по суше, так и по морю - появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II веке до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III веке до н. э., другой знаменитый древний грек, заведующий Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Дело в том, что Эратосфен считал эти два египетских города лежащими на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот Солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он, далее, путём изящных геометрических рассуждений, вычислил длину всего меридиана, а тем самым и величину радиуса земного шара.

Ещё в XVI веке расстояние (примерно стокилометровое) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Очевидна приблизительность результатов подобных измерений. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в течение 1615 - 1617 годов измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер в один градус и одиннадцать с половиной минут.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва триангулируется полоса земной поверхности, включающая в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти. Затем выбирается один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирается одна из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и ее длина тщательно измеряется. В вершинах начального треугольника строятся вышки - с таким расчётом, чтобы каждая была видна из других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, в результате непосредственного измерения, возникают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляются длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать величины сторон и углов любого из треугольников, примыкающих к начальному. И так далее. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводится только один раз, а дальше уже измеряются только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией. Именно так в XIX веке была найдена длина дуги меридиана от Северного Ледовитого океана до Дуная. Триангуляция содержала 258 треугольников, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы подавить неточности, при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, разве что на вступительных экзаменах, и их можно спокойно забыть. Знать - и не только знать, но и осознавать, понимать надо следующее (и именно это входит в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающими к ней углами, и этот очевидный факт может быть использован и реально используется для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко можно будет найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем помнить формулы наизусть.

Наконец, о равенстве 32 + 42 = 52. Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a 2+ b 2= c 2, то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми . Вот ещё пример пифагоровой тройки: 5, 12, 13. Возникает естественный вопрос, а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и так далее степень? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a 3+ b 3= c 3, или равенство a 4+ b 4= c 4, или a 5+ b 5= c 5 и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма .

Только что сформулированным вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII века Пьер Ферма (вообще-то он занимался математикой, а заодно и оптикой, как хобби: служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма . Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма , поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Всё, что Ферма оставил потомкам на эту тему, - это две латинские фразы, написанные им около 1637 года на полях изданной в 1621 году в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. Указанное издание обладало широкими полями, и когда у Ферма появлялись те или иные мысли по ходу чтения, он записывал их на этих полях. И вот какие две фразы он, в частности, написал - приводим эти фразы в переводе: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet; буквально: скудость поля его не вмещает]».

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их (да и то без доказательств) сообщалась им в частной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 году. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 году старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Лишь в 1994 г. Эндрю Уайлз при участии своего ученика Ричарда Тэйлора доказал наконец Великую теорему - и притом доказал с использованием всей мощи современной математики, так что если сам Ферма и владел доказательством (что более чем сомнительно), то заведомо не таким. А до того Великая теорема оставалась Великой гипотезой.

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание Проблемы Ферма . Простота формулировки проблемы, доступной школьнику младших классов, делала её привлекательной для широких кругов любителей. Привлекательность усиливалась давностью постановки и ореолом некоей таинственности, сопутствующей постановке. А тут ещё в 1908 году была объявлена премия в сто тысяч германских марок за решение Проблемы Ферма. Вскоре мировая война обесценила премию, но было уже поздно: слух о премии привлёк к Проблеме Ферма ещё больше «старателей». Возникла особая разновидность людей, называемых ферматистами . Ферматисты - это люди, не имеющие специального математического образования, фанатично убеждённые в том, что они решили Проблему Ферма, и настойчиво ищущие признания. Признания они, естественно, не получили, но, завалив своими рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов, заставили эти кафедры занять оборонительную позицию: университеты стали возвращать авторам любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая при этом стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гётттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 году иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который он поручал заполнять своим аспирантам: «Дорогой сэр (мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице…, строка…»

Одного из ферматистов мне довелось увидеть в мои студенческие годы. Сейчас я об этом расскажу. (Недоброжелательно настроенный читатель возразит, что рассказ о ферматисте не имеет отношения к заявленной теме - о месте математики в общечеловеческой духовной культуре; на наш взгляд - имеет.) Дело происходит в 1950 году или около того в Москве. Я нахожусь в одной из редакций, расположенных на Большой Калужской улице (сейчас это начало Ленинского проспекта). В редакцию входит другой посетитель и просит разрешения позвонить по телефону; в те годы вход в офисы ещё не охранялся ни охранниками, ни кодовыми замками. Посетитель живописен: худ, длинноволос и держит в руках сетчатую авоську, в которой лежит скрипка. Как мне потом расскажут знающие люди, он зарабатывал на жизнь, играя на этой скрипке на палубе речных теплоходов. На моих глазах, а также ушах, он делает два звонка. Первый звонок: «Это Московский университет? Попросите, пожалуйста, к телефону ректора. Ах, ректор занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Второй звонок: «Это Академия наук? Попросите, пожалуйста, к телефону президента. Ах, президент занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Позвонив, он вежливо благодарит и удаляется.

Но отнюдь не все советские ферматисты были столь травоядны. Часто, не найдя поддержки, они писали жалобу в так называемый «директивный орган», то есть в ЦК КПСС. В жалобе указывалось, что имеется возможность показать Западу кузькину мать и в очередной раз продемонстрировать всему миру приоритет советской науки, предъявив решение знаменитой проблемы, а нехорошие люди чинят этому препятствия. К жалобе прилагалась рукопись. А иной раз рукопись и не сопровождалась жалобой, а сразу посылалась в ЦК. В обоих вариантах ЦК переправлял рукопись тому же ректору Московского университета или тому же президенту Академии наук. А далее она, украшенная грозными резолюциями, спускалась вниз, на кафедру или в отдел. Теперь уже отмахнуться было невозможно и приходилось разбираться в заведомо ложном доказательстве, отыскивая в нём ошибку. Когда-то я прикинул, сколько времени профессиональные математики вынуждены тратить на переписку с ферматистами (переписку бесплодную, поскольку истинного ферматиста переубедить невозможно), - прикинул и ужаснулся.

В сравнительно редких случаях ферматисту удавалось опубликовать свой труд. (Это сейчас за счёт автора можно опубликовать что угодно, а в советское время даже ксероксы находились под строжайшим контролем, что уж говорить об издательствах и типографиях.) В частности, это удалось Виктолию Будкину. В 1975 году расположенное в Ярославле Верхне-Волжское книжное издательство выпустило пятитысячным тиражом его брошюру «Методика познания „истины”. Доказательство великой теоремы Ферма». То, что написано на её странице 45, весьма типично для самоосознания ферматиста: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде».

Казалось бы, после того как доказательство теоремы Ферма было не только найдено (в сентябре 1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.) и признано мировой математической общественностью, с ферматизмом как с явлением будет покончено. Не тут-то было - ряды ферматистов хотя и поредели, но не иссякли. Сведения о том, что Великая теорема доказана, дошли не до всех: ведь, повторяю, ферматисты не являются математиками (хотя имеющие техническое образование часто считают себя таковыми). А многие из тех, до кого и дошло, продолжали искать какое-нибудь простое доказательство. В России ферматизм дал неожиданную вспышку в августе 2005 года. К «Новой газете» я питал уважение и - до того августа - доверие и не думал, что когда-либо выступлю её оппонентом; но приходится. Номер 61 газеты от 22 августа 2005 года открывался крупным и чуть ли не цветным заголовком «ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?»; сообщалось, что «омский академик Александр Ильин предложил простое доказательство знаменитой теоремы Ферма». Заместителю главного редактора газеты О. Н. Хлебникову я пытался объяснить накануне, то есть 21 августа, что если доктор технических наук Александр Иванович Ильин и является академиком, то академиком одной из десятков тех академий, кои, как грибы, возникли у нас в постсоветское время (одних только академий энергоинформационных наук две: Международная и Сибирская) - но никак не членом Российской академии наук (РАН); попытки мои успеха не имели; Олег Никитович отвечал, что он знает точно: А. И. Ильин - член РАН. Более того, через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 года, та же газета сообщала, что «академики Новиков и Никитин решение теоремы Ферма уже видели и ошибок в нем не нашли». Надо ли объяснять читателю, что г-да Новиков и Никитин (как, впрочем, и А. И. Ильин) не являлись не только членами РАН, но и математиками? Некоторое время сенсация сверкала на экранах телевизоров и в различных газетах, не говоря уже об Интернете. Потом как-то тихо всё сошло на нет. Ферматизм тоже часть человеческой культуры - но ведь не материальной же, а значит, духовной.

В качестве завершения темы снова вернусь в 1950-е годы. Посетителя офиса на Большой Калужской мне довелось увидеть ещё один раз. Это произошло на третьем этаже дома 9 по Моховой улице, в канцелярии механико-математического факультета Московского университета, где я тогда учился. Всё с той же скрипкой в авоське он вошёл в канцелярию, попросил лист бумаги и, примостившись у стола, стал писать. Не в силах сдержать любопытства, я заглянул ему через плечо. Каллиграфическим почерком выводились буквы: «…бывшего студента ‹…› Императорского университета прошение…» (какого именно университета - не помню). Затем он попросил указать ему специалиста по теории чисел. В качестве такового ему был назван заведующий кафедрой теории чисел член-корреспондент Гельфонд. В это время по коридору шёл член-корреспондент Гельфанд, к теории чисел отношения не имеющий. Услышав его фамилию, бывший студент Императорского университета бросился к нему навстречу. Всем было известно, что Гельфанд - математик великий, но непредсказуемый и легко может нахамить. Я не стал дожидаться столкновения двух тел и в страхе убежал.