Волгоградского государственного технического университета кафедра «информатика»

При линейной интерполяции аппроксимирующая функция соединяет опытные точки отрезками прямых линий. Для линейной интерполяции используется встро­енная функция linterp.

Обращение к функции: linterp(x. у, t), где:

х — вектор опытных значений аргумента;

у — вектор опытных значений функции;

t — значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение функции.

Иногда достаточно знать одно интерполирующее значение функции, но чаще оп­ределяется ряд значений функции, тогда t - вектор значений, а результат расчета — массив интерполирующих значений. Еще чаще t - просто переменная (аргумент интерполирующей функции), тогда результат расчета - функция, которую можно далее интегрировать, дифференцировать и т. д.

Для всех встроенных функций в этой главе в массиве опытных данных элементы век­тора x должны быть обязательно расположены в порядке возрастания.

В большинстве случаев желательно соединять экспериментальные точки не лома­ной линией, а гладкой кривой, для чего используется сплайн-интерполяция. Ку­бическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек та­ким образом, что первые и вторые производные кривой будут непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, прохо­дящих через наборы из трех соседних точек. Кубические полиномы затем состы­ковываются друг с другом так, чтобы образовать единую кривую. Для кубической сплайн-интерполяции используется встроенная функция interp.

Обращение к функции: interp(vs, x, y).

Здесь: vs - вектор вторых производных, созданный функцией lspline(x, y), pspline(x, y) или cspline(x, y);

x —вектор опытных значений аргумента, расположенных в порядке возрастания;

y — вектор опытных значений функции;

t — значение аргумента, при котором вычисляется интерполирующее значение функции.

Сплайн-интерполяция реализована в Mathcad несколько сложнее, чем линейная. Перед применением функции interp необходимо определить первый из ее аргу­ментов — вектор vs. Делается это при помощи одной из трех встроенных функций тех же аргументов (x, y):

lspline(x, y) — создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к прямой линии в опорным точках;

pspline(x, y) — создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к квадратичной параболе в граничных точках;

cspline(x, y) — создает вектор коэффициентов кривой, которая приближается к кубической параболе в граничных точках.

Далее рассмотрим пример решения задачи интерполяции экспериментальных данных, включающий все рассмотренные функции.

Рис. 6.

Таблица 3

3.1. Решим уравнение: ^=0.

Щелкните по кнопке решений уравнений solve в панели символьных вычислений Symbolic Keyword Toolbar.

Введите в помеченной позиции слева от ключевого слова solve (решить) выражение для левой части уравнения, а в позиции справа от solve – имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение.

Щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат – значение корня уравнения – будет отображен в рабочем документе справа от стрелки.

Введите с клавиатуры ключевое слово Given (дано).

Затем правее и ниже ключевого слова – левую часть первого уравнения системы, далее – символьный знак равенства (комбинация клавиш ctrl+=) и правую часть уравнения ноль.

Аналогично введите остальные два уравнения системы.

Правее и ниже последнего уравнения системы введите имя функции Find (найти), перечислите в скобках имена переменных, значения которых нужно вычислить:

Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью вне выделяющейся рамки в рабочем документе справа от стрелки в виде матрицы, каждый столбец которой содержит одно из решений системы. В приведенном выше фрагменте рабочего документа найдены два решения системы: x=0, y=2, z=0 и x=1, y=3, z=1.

Откройте щелчком по кнопке Matrix or Vector окно диалога, определите число строк (Rows),число столбцов (Columns) и закройте окно диалога щелкнув по кнопке ОК.

В рабочем документе справа от знака присваивания открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры числа или выражения.

Основные функции при работе с матрицами:

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f)-создает и заполняет матрицу размерности mxn, элемент которой, расположенный в i-ой строке, j-м столбце, равен значению f(i, j) функции f(x, y);

dial (v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity (n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

stack (A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах ic jc, ir  jr, ic  jc

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию ORIGIN:=0, но в нашем случае будем использовать ORIGIN:=1.

Повторите приведенный ниже фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примеры исполнения выше перечисленных функций.











Далее рассмотрим порядок решения систем уравнений матричным способом.

Пусть имеется система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

………………………………….

В матричном виде эта система будет выглядеть так:

Таким образов, можно ввести коэффициенты a и b, и решив уравнение X = A^-1  B, получить значения x.

В данном разделе методических указаний использованы реальные задачи из курса «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ), изучаемого студентами направления «Электроснабжение». Порядок их решения соответствует аналогичным задачам из расчетно – графических работ по соответствующей дисциплине.

Аналогичным образом могут быть решены и другие задачи, выполняемые студентами как в рамках данной, так и других дисциплин.
4.1. Для электрической цепи (рис. 7) по заданным параметрам и линейному напряжению, определить фазные и линейные токи, активную мощность всей цепи и каждой фазы. Значения согласно варианта взять из таблицы 5.

Для примера возьмем следующие исходные данные:

Uл = 380 В Rab = 8 Ом Rbc = 8 Ом Rca = 8 Ом

Xab = 6 Ом Xbc = 6 Ом Xca = 6 Ом

Рис. 7.

Рис. 8.

Исходные данные:

(Ом) (Ом) (В)

(Ом) (Ом) (Ом)

Рис. 9.

Таблица 6

Для написания программ используется панель инструментов, которая вызывается соответствующей кнопкой панели Math.

Как видно, всего имеется 10 операторов, из которых и строится программа (рис. 10).

Рис. 10.
Программные строки создаются кнопкой Add Line, операторы вводятся соответствующей кнопкой. Обратите внимание, что программах мы не пользуемся оператором присваивания :=, а вместо него пишем оператор локального присваивания .

Очень интересная особенность программирования в Mathcad заключается в том, что в программе мы можем использовать операторы типа вычисления интеграла, суммы, производной и т.п.

Все переменные, определённые в программе, теряют своё значение при выходе из неё.

5.1. Рассмотрим программу определения максимальной координаты вектора и её позиции.

Начинаем создание программы с кнопки Add Line. Вертикальная линия играет роль операторных скобок. После того, как функция определена, она может использоваться наравне со встроенными функциями.

В случае матрицы, в программу добавляется еще одна переменная, кроме k, и еще один цикл, например, по j.
5.2. Рассмотрим задачу вычисления несобственного интеграла (один из пределов равен бесконечности). Несложно убедиться, что попытка подставить бесконечный предел интегрирования не увенчается успехом.

Алгоритм работает, но выбран не самый удачный, поскольку приходится многократно пересчитывать интегральные суммы на одном и том же диапазоне. Более удачный алгоритм получится, если мы будем продолжать интегрирование от той точки, на которой закончили предыдущее интегрирование.

Получили тот же результат, что и не удивительно, но алгоритм работает быстрее.

Имеются вектора значений допустимых нагрузок для провода соответствующие им значения площади поперечного сечения (таблица 7).

Вектор допустимых значений тока, I

Рекомендации по выполнению задания.

1. Значения векторов тока и площади можно непосредственно скопировать в Mathcad.

2. Для нахождения соответствующего табличного значения следует использовать цикл с предусловием while.

3. Затем, используйте функцию linterp для линейной интерполяции.

4. Далее найдите ближайшее к нему значение s из таблицы (его можно определить в цикле, п.2).