§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности

Пусть и - гладкие поверхности, - биекция. Если - криволинейные координаты на , - криволинейные координаты на , то биекция задается функциями , . Рассмотрим - линию () на поверхности . Биекция переведет ее в линию на поверхности . Будем называть эту линию - линией поверхности . Аналогично вводится понятие - линии поверхности . Таким образом, на поверхности мы имеем две параметризации и . Будем предполагать, что замена старой параметризации на новую является допустимой.

Параметризацию поверхностей и с помощью локальных координат будем называть общей относительно биекции .

Заметим, что , то в общей относительно параметризации.

† Пусть и изометричны, то есть существует изометрия . Пусть общая относительно параметризация. Рассмотрим кривую , . Относительно общей параметризации она задается такими же уравнениями. Пусть . Тогда для любых . Следовательно, .

† Полная кривизна выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, следовательно, если в соответствующих точках эти коэффициенты равны, то равны и полные кривизны. Далее, так как полная кривизна , знак выражения совпадает со знаком полной кривизны. Из того, что следует , что в соответствующие точки имеют соответствующий тип. †

Пример. 1. ; , . Очевидно, это гладкие поверхности. Поверхность - круговой цилиндр, поверхность - часть плоскости . Найдем ; , следовательно, эти поверхности изометричны.

2. - коническая поверхность вращения, - часть плоскости. Аналогично доказывается, что эти поверхности также изометричны.

Поверхность называется изгибаемой, если она наложима на другую поверхность.

Можно показать, что гладкие поверхности изгибаемы "в малом", то есть любая точка поверхности имеет изгибаемую окрестность, но существуют поверхности не ихгибаемые "в целом", например, сфера.

Если поверхность получена изгибанием поверхности , то они изометричны, то есть допускают параметризации, в которых для соответствующих точек коэффициенты первых квадратичных форм равны. Тогда имеют место свойства:

1. 
   При изгибании сохраняется длина гладкой кривой на поверхности.
   
2. 
   При изгибании сохраняются углы между линиями на поверхности и площадь поверхности.
   
3. 
   При изгибании сохраняется полная кривизна поверхности.
   
4. 
   При изгибании сохраняется геодезическая кривизна кривой на поверхности.
   

Пусть - семейство поверхностей касательных. Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением , где натуральный параметр и кривизна кривой в каждой точке отлична от нуля. Тогда поверхность касательных имеет уравнение . Будет ли такая поверхность гладкой? Найдем , . Тогда . Таким образом, - гладкая поверхность. Поверхность называется поверхностью касательных, кривая называется ребром возврата этой поверхности.

Вычислим . Заметим, что в эти выражения не входит кручение. Значит, если взять две кривые, у которых в соответствующих точках кривизны равны, а кручения разные, то поверхности касательных данных кривых будут изометричны.

Возьмем функции , где - параметр, изменяющийся в некотором промежутке . При непрерывном изменении получим семейство поверхностей изометричных между собой. Следовательно, поверхность касательных изгибаема. Пусть функция при (например, при ). Тогда в пределе получим плоскую линию (). Ее касательные лежат в плоскости и образуют некоторую плоскую фигуру.