Б. Ч. Балабеков Моделирование матрицы агрегации в дисперсных системах
жүктеу/скачать 111.02 Kb.
|
   
Б.Ч. Балабеков Б.Ч. Балабеков Моделирование матрицы агрегации в дисперсных системах (Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)
системах. Предложено несколько матриц агрегации. В данной работе рассматриваются вопросы моделирования бинарной коагуляции дисперсной фазы, которая играет важную роль в процессах, протекающих в гетерогенных физико-химических системах, широко распространенных в различных химических технологиях, металлургии, а также в природных явлениях. На сегодняшний день уравнение Смолуховского является базовой моделью, которая описывает процесс бинарной коагуляции [1]. Под бинарной коагуляцией понимается процесс, в котором главную роль играют только парные столкновения частиц, образующих локально хаотическое множество. Лежащие в основе вывода уравнения коагуляции основные предположения физического характера состоят в следующем: плотность частиц в объеме и их общее количество достаточно велико, чтобы можно было применять функцию распределения частиц по массам и в координатном пространстве; предполагается также, что в течение всего процесса сохраняется пространственная однородность распределения частиц различных размеров в объеме. В дальнейшем, следуя работе [2], будем называть i− мерами частицу, образующуюся в результате объединения i мономеров. Тогда уравнение Смолуховского запишется в следующем виде [3]: ∂ci ∂t
= 1 2 i−1
∑ j=1 aj,i−jcjci−j − ∞ ∑
ai,jcicj (1)
где ci- концентрация i− мера; ai,j- коэффициенты матрицы коагуляции. Для описания эволюции концентрации i-меров используется кинетическое уравнение Смолуховского, которое мы дополняем членом, ответственным за появление i− меров нерастворимого компонента в результате химической реакции. ∂ci
∂t = 1 2 i−1
∑ j=1 aj,i−jcj ci−j − ∞ ∑
ai,jcicj + Γi (2)
Функция Γi представляет собой химический источник i− меров. Именно расчет элементов матрицы агрегации является наиболее проблемным и ”интригующим” моментом в модели коагуляции на основе уравнения Смолуховского. Само уравнение Смолуховского оставляет открытым вопрос о виде этой матрицы. Кроме того, уравнение Смолуховского должно решаться совместно с уравнениями, описывающими баланс массы в системе. Для определения вида матрицы агрегации в литературе предложено использовать различные модельные представления [1-3]. В нашей работе [4] также предлагается модель для описания матрицы агрегации, основанной на введении некоторого параметра агрегации, составленного из характерных величин коагуляции i− и j− меров: i − j
λ = (3) i + j
При малой размерности i− меров (под размерностью i− мера будем понимать само значение i ) основную роль может играть возрастание эффективного сечения захвата с ростом 47  
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 характерного радиуса частиц, а также уменьшение подвижности частиц с увеличением их размера и массы. Предварительные численные эксперименты позволили предположить, что элементы матрицы коагуляции могут иметь следующий феноменологический вид
k (i + j)β + α (i− j i + j
2 (4) На рисунке 1 представлен характерный вид элементов матрицы коагуляции как функции от параметров i, j : ai,j= a(i, j) . Рисунок 1 - Характерный вид элементов матрицы коагуляции Далее представлен материал по проведенному вычислительному эксперименту с различными вариантами матрицы коагуляции. В расчетах учитывались i− меры со значением i от 1 до 5. Были проведены расчеты как для основного уравнения Смолуховского (1), так и для уравнения Смолуховского с дополнительным источником для мономера, создаваемого в результате химической реакции (2). Предполагая, что мономер образуется при химической реакции первого порядка для функции Γiполучим следующее выражение
Γi = k0·exp(−k1·t) (5)
где k0, k1 - параметры модели. Для матрицы коагуляции были изучены следующие варианты: 48    
Б.Ч. Балабеков ai,j = 0.1
; (6)
ai,j= exp ( − i + j 0.1 i + j
; (7)
ai,j= (i + j)α;
ai,j =
i + j + 0.1
i + j 2 ; (9) ai,j= 0.1; ai,j = 0.1(i + j); ai,j= 0.1(i Ч j); (10) (11)
(12) На всех рисунках слева расположен график для основного уравнения Смолуховского, а справа для уравнения Смолуховского с дополнительным источником для мономера, причем для всех вариантов брали k0= 0.9, k1= 0.1 Рисунок 2 - матрица коагуляции по формуле (6) Рисунок 3 - матрица коагуляции по формуле (7) 49
       
Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6 Рисунок 4 - матрица коагуляции по формуле (8) Рисунок 5 - матрица коагуляции по формуле (9) Рисунок 6 - матрица коагуляции по формуле (10) Рисунок 7 - матрица коагуляции по формуле (11) 50
Б.Ч. Балабеков Рисунок 8 - матрица коагуляции по формуле (12) Численный эксперимент показал, что рассмотренные модели дают правильное качественное описание процесса коагуляции, согласующееся с известными экспериментальными данными и анализом моделей с помощью методов асимптотических разложений [1-3]. Подобный подход к описанию процессов коагуляции с помощью модельных элементов матрицы агрегации является достаточно перспективным, т.к. открывает возможности управления моделью через заданный набор параметров. ЛИТЕРАТУРА 1. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах.- Л.: Гидрометеоиздат,- 1975. -C. 435. 2. Галкин В.А. Уравнение Смолуховского.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 336 с. 3. Wattis J.A.D.. An introduction to mathematical models of coagulation-fragmentation processes: a discrete deterministic meanfield approach// Physica D: Nonlinear Phenomena, 2006, V.222, №1-2, P. 1-20. 4. Махатова А.Х., Каугаева А.М., Балабеков Б.Ч. Моделирование процессов агрегации мономеров в физико-химических системах// Труды Международной научно-практической конференции "Ауезовские чтения - 6", 15 - 16 октября 2007, ЮКГУ, Шымкент, том 10, с.3-6. Балабеков Б.Ч. Дисперсиялы© жійелердегi агрегация матрицаны моделдеу Осы ма©алада Смолуховский тедеу негiзiнде физика-химиялы© жійелердегi агрегациялау процестердi моделдеуi ©арастырылды. Бiрнеше агрегация матрицалар ґсынылды. Balabekov B.Ch. Modelling of aggregation matrix in disperse systems The paper deals with problems of modeling the particles aggregation in physicochemical systems on base of the Smoluchowski equation. The set of models of aggregation matrix have been submitted. 51 жүктеу/скачать 111.02 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
