Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик:

О тюрьме Сент-Пелажи сохранилось достаточно сведений. Известно, что в этом заведении арестованные делились на три категории: политические преступники, уголовные, включая посаженных за долги, и несовершеннолетние. В самых тяжёлых условиях находились дети. Что же касается политических заключённых — легитимистов, бонапартистов и главным образом республиканцев, среди которых в это время производились массовые аресты, — то они занимали наиболее благоустроенную часть помещения и в свою очередь тоже делились на три группы. Наиболее богатые и влиятельные занимали отдельные комнаты и содержались за собственный счёт, получая питание из соседнего ресторана. Более молодые и менее важные помещались по 7–8 человек в комнате, но пользовались теми же привилегиями. Бедняки жили в общих камерах по 60 человек в каждой. Вечером все заключённые-республиканцы участвовали в церемонии, которую они называли «вечерней молитвой», — пели «Марсельезу» и «Песню похода»¹³). После исполнения этих «молитв» начиналось театральное представление. Обычно разыгрывалась какая-нибудь аллегория, напоминающая о событиях июльской революции. В качестве обязательных декораций фигурировали баррикады, а из реквизита актёры использовали только один предмет — гроб, в котором проносили труп Республики, убитой Луи-Филиппом. Спектакль продолжался до часу ночи. Днём большинство политических заключённых проводило время в кабачке, открытом во дворе тюрьмы. В 1831 году водки в Сент-Пелажи было выпито немало!

Для Галуа, не отличавшегося крепким здоровьем и постоянно занятого своими мыслями, это заведение вряд ли могло служить «обителью уединения».

Жерар де Нерваль, арестованный во время облавы в начале февраля 1832 года, рассказывает в книге «Мои тюрьмы» о жизни в Сент-Пелажи, где он провёл несколько дней. Среди политических заключённых единственным человеком, чьё имя он запомнил, был Галуа.

«Я весело обедал со своими многочисленными новыми друзьями, когда услышал, как кто-то кричит на лестнице: «Жерар де Нерваль, оружие и вещи!» Это означало, что я свободен. Мне так понравилось в Сент-Пелажи, что я бы с удовольствием остался ещё на один день. Тем не менее приходилось уходить. Я хотел по крайней мере закончить обед, но и это оказалось невозможным. Ещё немного и разыгралась бы странная сцена: узника силой заставляют покинуть тюрьму. Было пять часов. Один из сотрапезников проводил меня до ворот, поцеловал и обещал навестить, как только выйдет на свободу. Ему самому надо было отсидеть ещё два-три месяца. Это был несчастный Галуа. Больше я его так и не увидел: на следующий день после выхода из тюрьмы он был убит».

Это свидетельство возникшей дружбы говорит не только о взаимной симпатии, но и о близких духовных интересах.

В течение нескольких месяцев товарищем Галуа по заключению был Распай. В отличие от Галуа, не пользовавшегося никакими привилегиями, он располагал в Сент-Пелажи отдельной комнатой и поэтому имел больше возможностей для работы. В его «Письмах из парижских тюрем» есть сведения, относящиеся к этому периоду жизни Галуа. Хотя Распаю иногда и приписывают «величие души», его мысли и форма их выражения часто страдают грубостью. Тем не менее отдельные замечания «Писем» позволяют ясно представить состояние мрачного отчаяния, охватившее Галуа, вынужденного жить в обществе людей, подобных, например, тому же Распаю. Однажды Галуа предложили на пари одному выпить бутылку водки. Он принял вызов. Последствия были ужасны. Сожалея о случившемся, Распай писал: «Пощады этому хрупкому и бесстрашному юноше! За три года наука избороздила его лоб такими морщинами, каких не оставили бы шестьдесят лет самых глубоких раздумий. Во имя науки и добродетели берегите его жизнь! Ещё три года, и он станет настоящим учёным». Распай забыл только написать, что сам он ничего не сделал для облегчения участи того, за кого так горячо ратовал.

Галуа продолжал работать и в заключении. По-видимому, сразу после освобождения он хотел написать две работы. В бумагах, которые Огюст Шевалье разбирал после смерти своего друга, нашлись две заметки, написанные, видимо, в качестве предисловия к этим работам. В одной из них Галуа нападает на членов Академии наук и, в частности, на Пуассона. Атака эта столь яростна, что Жюль Таннери, впервые издавший рукописи Галуа, не осмелился предать её гласности. В нашей книге она опубликована. Совершенно очевидно, что у Галуа было достаточно оснований для гнева, и нам кажется, что было бы ошибкой скрывать что-либо им написанное.

16 марта 1832 года заболевшего Галуа перевели из Сент-Пелажи в больницу, помещавшуюся в доме № 86 на улице Лурсин. Больница находилась под наблюдением полиции, руководил ею некто Фолтрие. Вполне вероятно, что, кроме своих прямых обязанностей, он выполнял ещё и работу осведомителя и что именно на нём лежала обязанность слежки за пациентами. Есть сведения, что Галуа оставался здесь ещё некоторое время после того, как 29 апреля кончился срок его заключения. Эта больница — его последнее известное место жительства. К сожалению, в доме на улице Лурсин почти не сохранилось следов пребывания Галуа, и вся его жизнь после 29 апреля представляется таинственной и неясной. 30 мая он ушёл из дома, чтобы принять участие в дуэли, — это всё, что достоверно известно.

Тем немногим, что мы знаем об этом периоде жизни Галуа, мы обязаны Огюсту Шевалье, жившему тогда в Менильмонтане. Здесь, в сен-симонистской коммуне, Огюст Шевалье, его брат Мишель и многие другие вели спокойную и мирную жизнь в согласии с принципами их «наставников» Базара и Анфантена *****). Огюст Шевалье много раз уговаривал своего друга разделить с ним радости идиллического существования, но Галуа упорно отказывался.

В статье, опубликованной через три месяца после дуэли, Огюст Шевалье приводит письмо своего друга, вызвавшее впоследствии многочисленные отклики. Страстность и порывистость этих страниц вряд ли могут оставить кого-нибудь равнодушным. И всё-таки не кипение темперамента поражает в нём прежде всего, а безмерная усталость, подавлявшая этого юношу. Множество комментаторов не могли простить Галуа его слов: «Ненависть! Только ненависть!» Если бы они задумались — пусть даже с опозданием! — о том, что он сделал для науки и как были приняты его открытия, им легко было бы понять, что он должен был испытывать — ненависть или любовь. Но, забывая о Галуа-учёном, они охотно относят его чувства целиком на счёт Галуа-человека.

Итак, Галуа свободен. Он надеется в начале июня уехать из Парижа. В письме к Огюсту Шевалье он признается, что «за один месяц исчерпан до дна источник самого сладостного блаженства, отпущенного человеку...». Галуа в самом деле встретил у Фолтрие женщину, которая стала причиной дуэли 30 мая. О ней самой ничего не известно. Некоторые подозревают, что она действовала в соответствии с указаниями полиции. Но поскольку мы предполагаем, что Галуа дрался на дуэли не с Пеше д'Эрбенвилем, как утверждал Александр Дюма, а со своим товарищем по оружию Дюшатле, арестованным вместе с ним на Новом мосту 14 июля 1831 года, это подозрение кажется нам неосновательным. В одном из писем Галуа ясно говорит, что его противник — патриот.

Трудно найти пример большего внутреннего благородства, чем поведение Галуа перед смертью. 29 мая, накануне дуэли, он написал три знаменитых письма: письмо к товарищам-республиканцам, письмо к Н. Л. и В. Д. и самое замечательное — письмо к Огюсту Шевалье ******), значительная часть которого посвящена математическим вопросам. После смерти Галуа у него на столе нашли две записки. На одной из них ещё сейчас можно прочесть: «Это доказательство надо дополнить. Нет времени». И дата: «1832». Очевидно, он правил эти математические работы перед самой дуэлью.

Рано утром 30 мая около пруда Гласьер в Жантийи Галуа был смертельно ранен. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвёз его в больницу Кошен.

«Не плачь, — говорил Эварист своему брату Альфреду, который был с ним в последние минуты, — не плачь, мне нужно всё моё мужество, чтобы умереть в двадцать лет». От услуг священника Галуа отказался.

В десять часов утра 31 мая 1832 года Галуа скончался.
* * *

Парижские газеты отметили смерть Галуа перепечаткой одной и той же коротенькой заметки. Она была составлена по указанию префекта парижской полиции Жиске, считавшего Галуа «влиятельным республиканцем» (о чём он написал в своих мемуарах) и очень боявшегося, как бы похороны не дали повода к беспорядкам. Провинциальная пресса располагала большими возможностями. Так, лионская либеральная газета «Прекюрсер» в номере от 4 июня поместила следующее сообщение:

За исключением ошибок в возрасте, статья вполне правдоподобна. В политическом процессе вместе с Галуа участвовал только один республиканец — Дю-шатле, что полностью соответствует указанному инициалу Д. Эти новые подробности делают гипотезу о провокации очень сомнительной.

Галуа похоронили в субботу 2 июня 1832 года.

«Сегодня в полдень состоялись похороны Эвариста Галуа. Тело сопровождала депутация Общества друзей народа, студенты юридического и медицинского факультетов, отряд парижских артиллеристов и множество друзей. Когда шествие подошло к окружным бульварам, гроб сняли с катафалка и донесли на руках до Монпарнасского кладбища. Граждане Планиоль и Шарль Пинель произнесли речи, живо выразив скорбь многочисленных друзей усопшего. Подобным же образом отдали долг памяти Эвариста Галуа ещё два патриота.» (Газета «Ла трибюн дю мувман». 3 июня 1832 г.)

В сентябре 1832 года Огюст Шевалье опубликовал в «Ревю ансиклопедик» некролог на смерть своего друга. После этого имя Эвариста Галуа надолго было предано забвению. Все математические работы Галуа попали из рук его брата Альфреда Галуа к Огюсту Шевалье, но тот не мог найти никого, кто согласился бы их издать. Только в 1846 году известный учёный Жозеф Лиувилль впервые опубликовал их в основанном им математическом журнале.

К этому времени современники Эвариста Галуа уже начали его забывать. Некоторые сознательно стремились избавиться от неприятных воспоминаний. Кое-кто из молодых людей, кого Эварист Галуа особенно уважал за стойкость политических убеждений, изменили им не без пользы для собственной карьеры.

Шестьдесят написанных от руки страничек открыли миру имя ученого Галуа. С этого момента его гений начал своё стремительное шествие в науке. Простая справедливость требует, чтобы мы проявили сочувствие к страданиям этого столь исключительно одарённого человека, прожившего на свете всего двадцать дет.
ЭВАРИСТ

ГАЛУА

И

РАЗВИТИЕ

НАУКИ
Понять — это подхватить и продолжить начатое.

Жан Каване
Здесь я занимаюсь анализом анализа.

Эварист Галуа
Математические работы Галуа, по крайней мере те, что сохранились, составляют шестьдесят небольших страниц. Никогда ещё труды столь малого объёма не доставляли автору такой широкой известности.

Знакомство с тем, что сделал Галуа, требует особого рода усилий. Галуа испытывал непреодолимое отвращение к громоздким выкладкам, поэтому его формулировки предельно сжаты. Но всё написанное им освещено неустанно пытливой мыслью учёного; каждая из его работ — это как бы новый смелый бросок вперёд; достигнутое ранее остаётся позади и перестаёт интересовать автора. Прозрения Галуа ослепительны. Его отношение к читателю кажется иногда высокомерным (настолько он не заботится о его интересах, но на самом деле это лишь свидетельство совершенно исключительной целеустремлённости мысли.

Хотя Галуа много занимался теорией уравнений высших степеней, он не был просто выдающимся алгебраистом. Конкретные результаты, которые ему удавалось получить, никогда не ценились им очень высоко. В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие идеи; определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей. Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго вперёд. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид Гильберт назвал эту теорию «установлением определённого остова понятий». Но какое бы название за ней ни укрепилось, очевидно, что она охватывает очень большую область знаний.

Множество различных теорий, изучавшихся ранее независимо друг от друга, оказываются на самом деле всего лишь частными случаями, различающимися только некоторыми численными значениями. При этом математики освобождаются от необходимости заниматься численными расчётами; как говорил Галуа, достаточно того, что они «предвидят» их. Объяснение этого образного выражения содержится в мемуаре, написанном 125 лет тому назад в Сент-Пелажи ¹⁴). Ни один добросовестный человек, даже если он не имеет никакого отношения к математике, не может не почувствовать горячей убеждённости, пронизывающей эти страницы:

«...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счёт усовершенствования вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут настолько чётко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам — вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти.

Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач. Эти математики отстали на сто лет.

Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При этом самые сложные из известных сейчас преобразований (эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма полезные и даже необходимые, но всё же не общие, так что отказ от дальнейших более широких исследовании был бы роковой ошибкой. Придёт время, и преобразования, о которых идёт речь в намеченном здесь высшем анализе, будут действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а не по виду возникающих здесь функций» *******).

Долгое время никто не подозревал о существовании этой программы, составленной Галуа в 1832 году. Её опубликовали лишь спустя 70 лет после его смерти, но и тогда она не вызвала серьёзного интереса и скоро была забыта. Только молодые математики нашего времени, продолжившие работу многих поколений учёных, осуществили, наконец, мечту Галуа. И тем не менее именно его работы ознаменовали конец предыстории и начало подлинной истории математики.

Несмотря на то, что научная деятельность Галуа была поразительно недолгой, сейчас всё-таки можно проследить, как он постепенно пришёл к столь глубоким выводам. В только что процитированном отрывке читатель должен обратить внимание на слова «сгруппировать математические операции». Здесь, несомненно, имеется в виду то, что сейчас носит название теории групп, той самой теории групп, которая, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Честь создания этой теории принадлежит Эваристу Галуа, и он же первый оценил её значение для будущего науки. Вот почему очень хотелось бы дать, пусть весьма общее, но тем не менее совершенно чёткое представление о сущности того, что он сделал ¹⁵).

Одна из задач, над которой работал Эварист Галуа, привлекала внимание математиков в течение долгого времени. Это задача о решении алгебраических уравнений. Каждому из нас ещё на школьной скамье приходилось решать уравнения первой и второй степени. Решить уравнение — это значит найти, чему равны его корни. Уже в случае уравнений третьей степени это совсем не так просто. Галуа же изучал самый общий случай уравнения произвольной степени ********).

Каждый из нас может взять лист бумаги, записать такое общее уравнение и обозначить его корни какими-нибудь буквами. Однако эти корни, разумеется, являются неизвестными. Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопределённости их значений, т. е. установил некоторые из «свойств» этих корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его «группу», или, образно говоря, его «семью».

Понятие группы возникло незадолго до работ Галуа. Но в его время оно существовало как тело, лишённое души, как одно из множества искусственно выдуманных понятий, время от времени возникающих в математике. Революционность того, что сделал Галуа, заключалась не только в том, что он вдохнул в эту теорию жизнь, что его гений придал ей необходимую законченность; Галуа показал плодотворность этой теории, применив её к конкретной задаче о решении алгебраических уравнений. Именно поэтому Эварист Галуа является истинным создателем теории групп.

Группа — это совокупность предметов, имеющих определённые общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное число. Вместо действительных чисел в качестве «предметов» могут фигурировать изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы заключается в том, что сумма любых двух движений даёт снова движение. Переходя от простых примеров к более сложным, можно в качестве «предметов» выбрать некоторые операции над предметами. В таком случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается) и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы. Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу, открытие ознаменовало начало современного этапа развития математики.

Из каких бы «предметов» ни состояла группа: из чисел, движений или операций, — все они должны рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную совокупность «предметов» можно было назвать группой. В настоящее время математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно обнаруживаются всё новые и новые свойства; доказывая их, математик всё более и более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, даёт ощутимую экономию в средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в исследовательской работе.

«Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц», — так начал Галуа свой знаменитый мемуар. Если бы у его судей хватило гражданского мужества, мы простили бы им недостаток проницательности: идеи Галуа были настолько глубоки и всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то ни было учёному.

Множество умов упорно пыталось определить, в чём состоит гениальность. Попытки оказались тщетными, потому что это качество рассматривалось как некое метафизическое явление независимо от обстоятельств, в каких оно проявлялось. На самом же деле гениальность Паскаля, например, не в том, что он мог в двенадцать лет воспроизвести первые тридцать два предложения Евклида, и даже не в том, что после знакомства с Дезаргом он написал работу о конических сечениях. Гениальность Паскаля в том, что он открыл новые, неизвестные раньше связи между различными разделами науки: «Пусть не говорят, что я не сделал ничего нового. Новое — в расположении материала. Когда двое играют в лапту, оба пользуются одним и тем же мячом. Но один из них находит для него лучшее положение». (Паскаль. Предисловие к «Мыслям»). Настоящий исследователь открывает в первую очередь не новые объекты, а новые связи между ними.

Пока нет необходимости, гений молчит. Эту мысль легко подтвердить, стоит только распространить на учёных то, что говорят обычно о государственных деятелях, когда хотят показать, чем они отличаются от людей, вообще занимающихся политикой. Государственный деятель первым замечает изменения, возникшие в соотношении мировых сил; он первым осознаёт необходимость реагировать на происходящее и в соответствии с этим выбирает для своих действий ту или иную форму. То же самое и в науке. Гениальность учёного проявляется тогда, когда возникает необходимость в каких-то коренных изменениях. Процесс развития человеческих знаний происходит неравномерно. Иногда в той или иной области движение вперёд временно прерывается. Наука дремлет в оцепенении. Учёные занимаются мелочами, за красивыми вычислениями скрываются убогие мысли. В начале XIX века алгебраические преобразования так усложнились, что практически движение вперёд оказалось невозможным. Аппарат, придуманный Декартом и усовершенствованный его последователями, убил то, во имя чего он был создан. Математики перестали «видеть». Даже Лагранж оказался не в состоянии сдвинуть с мёртвой точки задачу о решении алгебраических уравнений (это удалось сделать Галуа). Бессилие Лагранжа — яркий пример упадка, переживаемого в то время алгеброй. Настал момент, когда необходимо было найти новые пути. Этот момент определил отнюдь не случай, его вызвала к жизни необходимость. И отличительная черта гения в том, чтобы уловить эту необходимость и немедленно на неё откликнуться.

«В математике, как в любой другой науке, — писал Галуа, — есть вопросы, требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и сознания».

История человеческих знаний сохранила имена учёных, сумевших благодаря особой пытливости ума вовремя почувствовать неотложность решительных изменений и указать на это своим современникам. Наука высоко чтит и тех, кто осуществил необходимые перемены. Иногда, хотя и редко, одному человеку удавалось сделать и то и другое. Таким человеком был Лавуазье, таким был и Эварист Галуа.