Франсуа виет. Формулы виета для квадратных уравнений и уравнений высших степеней

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №55»

ФРАНСУА ВИЕТ. ФОРМУЛЫ ВИЕТА ДЛЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Выполнили учащиеся

9 «Б» класса «МАОУ СОШ №55»:

Рудомётова Юлия и

Морозова Александра

Руководитель:

Исмагилова Миннур Нутфулловна,

учитель математики 1 категории

«МАОУ СОШ №55»

Пермь-2011

Оглавление

Введение

Творцы науки – это люди, отличающиеся исключительной целеустремлённостью, беззаветным служением истине, ответственностью перед человечеством за результаты своих исследований

Творцы математики – это люди с удивительными судьбами, с сильными характерами, преодолевающие трудности и невзгоды поистине героически. Этот аспект истории математики, т. е. жизнеописание замечательных учёных, играет особую роль в становлении личности, в формировании нравственной позиции, в выборе жизненного пути молодыми людьми.

В 2010 году исполнилось 470 лет со дня рождения замечательного французского математика, положившего начало алгебре как науке о преобразовании выражений, создателя буквенного исчисления, Франсуа Виета.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о формулах Виета для корней квадратного уравнения. А нет ли формул, связывающих коэффициенты уравнений высших степеней с их корнями? Задав себе такой вопрос, мы решили поискать ответ на него: исследовать тему решения уравнений высших степеней, более подробно изучить жизнь и деятельность учёного Франсуа Виета.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Выбор этой темы реферата основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

В этом реферате хотелось бы отобразить формулы и способы решения уравнений высших степеней с использованием формул Виета. Для этого приводятся уравнения, которые не изучаются в школьной общеобразовательной программе. В основном это уравнения частного характера и уравнения высших степеней. Чтобы раскрыть эту тему приводятся доказательства этих формул.

Знание общих методов решения таких уравнений существенно расширяет наш математический арсенал, позволяет нам осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», и как следствие ориентирует нас на выбор математического (естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.

В данном реферате преследовалась цель – изучить материал о великом учёном, французском математике – Франсуа Виете, научиться решать уравнения третьей, четвёртой степени разными способами

Цели реферата реализовывались следующими задачами:

• 
  выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет, его вклад в математику;
  
• 
  узнать историю его жизни;
  
• 
  узнать какие уравнения называются уравнениями высших степеней;
  
• 
  познакомиться с методом решения этих уравнений;
  
• 
  научиться решать такие уравнения.
  

Жизнь Франсуа Виета

Франсуа Виет

В 1571 г. Виет переехал в Париж, где возобновил адвокатскую практику, а позже стал советником парламента в Бретани. Знакомство с Генрихом Наваррским, будущим королём Франции Генрихом IV, помогло Виету занять видную придворную должность - тайного советника - сначала при короле Генрихе III, а затем и при Генрихе IV.

Голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число ; с восемнадцатью верными знаками, повторив тем самым через 150 лет результат среднеазиатского математика ал-Каши, в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени: x⁴⁵ - 45x⁴³ + 945x⁴¹ - 12300x³⁹ +... + 95634x⁵ - 3795x³ + 45x = a. Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV (кто не знает - это дедушка Людовика XIV). - И все же у меня есть математик! - воскликнул король. - Позовите Виета!

В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Виет увидел, что а есть сторона правильного 15-угольника, вписанного в круг радиуса 1, а по коэффициентам второго и последнего членов заключил, что х есть хорда 1/45 этой дуги, как оно и было на самом деле. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения, описываемые выражением: при n=1,2,...,22. Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня - отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его. Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил еще раньше, при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.

Заслуги Франсуа Виета в математике

Франсуа Виет - математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета).

В историю Франсуа Виет вошел как выдающийся математик, автор многих эпохальных научных открытий. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Главные открытия Ф. Виета изложены в знаменитом «Введении в аналитическое искусство», опубликованном в 1591 году. Основной замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Франсуа называл алгебру аналитическим искусством. Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти…»

Интересные факты из жизни и деятельности ученого

• 
  Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков.
  

• 
  Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4).
  

• 
  Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы.
  
• 
  Ученый мог работать по трое суток без сна!
  
• 
  Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени.
  
• 
  Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор.
  
• 
  Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно.
  
• 
  Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом.
  

Квадратные уравнения

Основное понятие

Квадратным уравнением называют уравнения вида

ax²+bx+c = 0,

где коэффициенты a, b, c – любые действительные числа, причём a ≠ 0.

Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1.

Пример:

x² + 2x + 6 = 0.

Квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Пример:

2x² + 8x + 3 = 0.

Полное квадратное уравнение - квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля.

Теорема Виета

Очень любопытное свойство корней квадратного уравнения обнаружил французский математик Франсуа Виет. Это свойство назвали теорема Виета:

Чтобы числа x₁ и x₂ являлись корнями уравнения:

ax² + bx + c = 0

необходимо и достаточно выполнения равенства

x₁ + x₂ = -b/a и x₁x₂ = c/a

Теорема Виета позволяет судить о знаках и абсолютной величине корней квадратного уравнения

А именно

x² + bx + c = 0

1. 
   Если b>0, c>0 то оба корня отрицательны.
   
2. 
   Если b<0, c>0 то оба корня положительны.
   
3. 
   Если b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
   
4. 
   Если b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
   

О теореме Виета сложены стихи. Вот одно из них.

По праву в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь эта, что за беда-

В числителе b, в знаменателе a.

И. Дырченко

Уравнения высших порядков

История уравнений высших степеней

Некоторые способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней были выведены арабами. Так известный арабский математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал - джабар» описал многие способы решения различных уравнений. Их особенность была в том, что Ал-Хорезми применял сложные радикалы для нахождения корней (решений) уравнений. Необходимость в решении таких уравнений была нужна в вопросах о разделе наследства.

Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n имеет n различных корней x₁ , x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀( x – x₁)( x – x₂)…(x – x_n)

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

xⁿ + ()x^n-1 + … + () = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1 + ( x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2 + … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

x₁ + x₂ + … + x_n = -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n =

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ

Например, для многочленов третей степени

a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ имеем тождества

x₁ + x₂ + x₃ = -

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = -

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁ , x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Решение задач с применением теоремы Виета для уравнений высших степеней

Покажем, что формулы Виета позволяют рационально решать уравнения 3-й степеней.

Проведём эксперимент для уравнения 3-й степени

Дано уравнение:

Ищем корень среди чисел:

Подбором находим один из корней уравнения, -1.

Следовательно, делится на

Ответ:

Теперь решим то же уравнение с помощью формул Виета


По формулам Виета:

Следовательно, корни уравнения равны -1; 1; 3.

Вывод: формулы Виета позволяют рационально решить это уравнение.
Поскольку формулы Виета имеют обобщение для уравнения степени n , то можно быть уверенным, что утверждение об обратных корнях верно и для уравнений 3-й, 4-й и более высоких степеней.
Доказательство данного факта для уравнения 3-й степени содержится в следующей задаче.

Обратные корни

Напишем приведённое кубическое уравнение , корни которого обратны корням уравнения

Решение:

1) Пусть - корни уравнения

2) Т.к. а=1 , то по формулам Виета

3) Пусть - корни уравнения

4) Тогда , ,

5) Т.к. , то по формулам Виета

6) Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

, или .

Заключение

В курсе углубленного изучения математики 9 класса мы познакомились с темой «Формулы Виета для уравнений высших степеней». В учебнике решение таких уравнений рассмотрено на конкретных примерах. Тема достаточно сложная. Некоторые выкладки в учебники опущены. Нам приходилось самим разбираться и доводить выкладки до конца. Нас эта тема заинтересовала, вследствие чего и появилась идея написания данного реферата. В своем реферате мы выяснили:

• 
  кто такой Виет и где он жил,
  
• 
  какие уравнения называются квадратными уравнениями и уравнениями высших степеней,
  
• 
  как решаются уравнения высших степеней с использованием теоремы Виета,
  

Нашей исследовательской частью является опрос среди старшеклассников и учителей нашей школы. Им были заданы следующие вопросы:

«Знаете ли вы, что такое квадратные уравнения, уравнения высших степеней?»

«Если да, то умеете ли вы их решать с использованием теоремы Виета?»

Опрошенные	Кол-во чел. опрошенных	Кол-во чел. знающих квадратные уравнения	Кол-во чел. умеющих решать их с помощью т.Виета	Кол-во чел. знающих уравнения высших степеней	Кол-во чел. умеющих решать уравнения высших степеней с помощью т. Виета
9Б класс
10 класс
11 класс
Преподаватели

Возвращаясь к нашей таблице мы можем сделать вывод, что из опрошенных нами учеников и преподавателей все знают, что такое квадратное уравнение, но не все знают какие уравнения называются уравнениями высших степеней, а тем более не умеют их решать с помощью теоремы Виета. Мы считаем, что наш реферат может помочь учащимся, заинтересовавшимся этой темой, желающих научиться решать такие уравнения.

На наш взгляд, формулы Виета - очень важное математическое открытие. Люди пользуются ей уже пятое столетие. Но история теоремы на этом не закончится. Мы уверены, что и в будущем её будут применять, исследовать и открывать в ней новые аспекты

Список литературы

1. 
   Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики/ Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др.
   
2. 
   Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. / И. Л. Бабинская – М.: Просвещение, 1975.
   
3. 
   Болгарский Б. В. Очерки по истории математики/ Б. В. Болгарский. – Минск, 1979.
   
4. 
   Математическая энциклопедия / т.2, под ред. Виноградова И.М. М.: Советская энциклопедия, 1979г.
   
5. 
   Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. / Я. И. Перельман – М.: Наука, 1976г.
   
6. 
   Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией Никольский С. М. – Москва: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.
   
7. 
   Элективные ориентационные курсы и другие средства профильной ориентации в предпрофильнной подготовке школьников. Учебно-методическое пособие / Науч. ред. С. Н. Чистяков. М.: АПК и ПРО, 2003.
   

8. Интернет ресурсы:

Сайт "Спроси Алену", Веб-сайт EqWorld, http://alexlarin.narod.ru/Stats/pavlova1.html

жүктеу/скачать 345 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: