A. M. Райгородский 1 год, 1-2 курс 1 семестр. Геометрические и аналитические методы. Введение. Основные задачи комбинаторной геометрии: проблема (гипотеза) Борсука, проблема Хадвигера-Гохберга-Маркуса-Болтянского

1. Введение. Основные задачи комбинаторной геометрии: проблема (гипотеза) Борсука, проблема Хадвигера-Гохберга-Маркуса-Болтянского (задача освещения), задача Грюнбаума, задачи, связанные с теоремой Хелли, задача Эрдеша-Хадвигера о хроматическом числе пространства и др.

2. Проблема Борсука. Размерности 1, 2 и 3.

• 
  2.1. Доказательство гипотезы Борсука в размерности 2. Лемма Пала об "универсальной покрышке", теорема (оценка) Борсука, точность оценки Борсука (пример).
  
• 
  2.2. Неэлементарные доказательства гипотезы Борсука в размерности 3. Теоремы Эгглстона и Перкала.
  
• 
  2.3. Элементарные доказательства гипотезы Борсука в размерности 3. Лемма Гэйла об "универсальной покрышке", теоремы Хеппеша, Грюнбаума, Макеева, Райгородского.
  
• 
  2.4. Проблема "зазора" в размерности 3. Гипотеза Гэйла. Универсальные покрывающие системы. Теорема Хелли. Теоремы Ка-ратеодори и Радона. Теорема Юнга. Теоремы Райгородского-Калнишкана.
  
• 
  2.5. Доказательство гипотезы Борсука для многоугольников на плоскости. Лемма Эрдеша.
  
• 
  2.6. Доказательство гипотезы Борсука для трехмерных многогранников. Теорема Хеппеша-Ревеса.
  

3. Проблема Борсука. Случай растущей размерности.

• 
  3.1. Нижние оценки. Пример правильного симплекса. Теорема Борсука о шаре. Теорема Ленца о множествах постоянной ширины.
  
• 
  3.2. Некоторые верхние оценки. Теоремы Ленца, Кнаста, Борсука и Лассака. Понятие об упаковках множеств в пространстве и на сфере: теоремы Данцера, Роджерса и Бургейна-Линденштраусса.
  
• 
  3.3. Доказательства гипотезы Борсука в частных случаях. Теорема Хадвигера о множествах с гладкой границей. Теорема Рислинга о центрально-симметричных множествах. Теорема Роджерса о множествах с группой симметрии правильного симплекса.
  

• 
  4.1. Две эквивалентных постановки задачи, число освещения. Теорема Болтянского. Гипотеза Хадвигера-Маркуса-Гохберга. Связь с проблемой Борсука.
  
• 
  4.2. Доказательство гипотезы Хадвигера-Маркуса-Гохберга на плоскости.
  
• 
  4.3. Верхние оценки Левина-Петунина и Роджерса для числа освещения центрально-симметричного тела произвольной размерности.
  
• 
  4.4. Верхние оценки Мартини-Болтянского-Солтана для чисел освещения зонотопов, зоноидов и поясковых тел произвольной размерности.
  
• 
  4.5. Доказательство гипотезы Хадвигера и др. для центрально-симметричных тел в трехмерном пространстве. Теорема Лассака. Теорема Декстера.
  
• 
  4.6. Доказательство гипотезы Хадвигера и др. (в произвольной размерности) для тел с гладкой границей, а также для тел с малым числом особенностей на границе. Теоремы Хадвигера, Болтянского, Чаразишвили.
  
• 
  4.7. Случай множества постоянной ширины. Оценка Лассака в размерности 3. Асимптотическая оценка Шрамма. Следствие для проблемы Борсука.
  

• 
  5.1. Естественная связь задачи Грюнбаума с проблемой Борсука. Решение задачи на плоскости.
  
• 
  5.2. Решение задачи в трехмерном пространстве. Теорема Кацаровой-Карановой.
  
• 
  5.3. Оценки с ростом размерности. Нижняя оценка Данцера. Тео­рема Бургейна-Линденштраусса.
  

1. Проблема Борсука. Контрпримеры к гипотезе и новые нижние оценки.

• 
  1.1 Экскурс в экстремальную теорию гиперграфов. Теоремы Хилтона-Милнера, Франкла-Вилсона и др. Контрпример и нижняя оценка Кана-Калаи.
  
• 
  1.2. Контрпримеры Нилли и Грея-Вайссбаха.
  
• 
  1.3. Контрпримеры и нижние оценки Райгородского.
  
• 
  1.4. Экскурс в геометрию чисел. Понятие о решетке Лича. Контрпример Хинрихса.
  

• 
  2.1. Доказательство гипотезы Борсука для (0,1)-многогранников в размерностях . Теоремы Схрейвера, Циглера, Пайана, Петерсена и Шиллера.
  
• 
  2.2. Задача о покрытии: системы общих представителей, проблема Турана. Теоремы Турана, Леонтьева, Кузюрина, Райгородского и др.
  
• 
  2.3. Еще об экстремальной теории гиперграфов. Теоремы Эрдеша-Ко-Радо, Франкла, Вилсона и Алсведе-Хачатряна.
  
• 
  2.4. Теоремы (верхние оценки) Райгородского для (0,1)-многогранников и кросс-политопов с ростом размерности.
  

• 
  3.1. Общее определение. Хроматические числа евклидовых пространств. Вещественный и рациональный случаи.
  
• 
  3.2. Некоторые общие свойства хроматических чисел. Теорема Эрдеша-де Брёйна. Теорема Секели.
  
• 
  3.3. Подход к получению нижних оценок. Критические конфигурации.
  
• 
  3.4. Еще о геометрии чисел. Понятие о разбиении Вороного. Подход к получению верхних оценок.
  

• 
  4.1. Случай евклидовой плоскости. Верхняя оценка Хадвигера и "Мозеровское веретено".
  
• 
  4.2. Оценки в размерностях . Результаты Райского, Лармана-Роджерса, Эрдеша-Шош, Кулсона и Райгородского.
  

• 
  5.1. Точные результаты Вудалла и Бенды-Перлеса в размерностях .
  
• 
  5.2. Оценки Чилакамарри, Закса, Манна и Райгородского в размерностях .
  

• 
  6.1. Верхние оценки Лармана-Роджерса.
  
• 
  6.2. Нижние оценки Райского, Лармана-Роджерса, Эрдеша-Шош и др.
  
• 
  6.3. Теорема Франкла-Вилсона. Тесная связь с проблемой Борсука. Нижние оценки Райгородского.
  

• 
  7.1. Рамсеевские и гипер-рамсеевские множества. Теоремы Эрдеша-Ротшильда-Грэхема и Франкла-Рёдла.
  
• 
  7.2. Другое обобщение понятия хроматического числа. Оценки Лармана-Роджерса и Райгородского.