Исследование баллистического движения

Григорьев Иван Сергеевич

grigorivs@yandex.ru

Ученик 9 класса ГОУ "Гимназия № 1530 "Школа Ломоносова"

города Москвы
Аннотация. В докладе проводится изучение баллистического движения методами математики, с использованием программного пакета «MAPLE». Первоначальная математическая модель усложняется за счет введения дополнительных условий.
В многочисленных войнах, на протяжении всей истории человечества использовались различные метательные устройства: пращи, катапульты, пушки, ракеты. От точности попадания часто зависело очень многое, иногда даже исход всей войны. Поэтому особое значение приобретало точное математическое исследование полета снаряда. Была создана специальная наука – баллистика. Название этой науки происходит от греческого слова βάλλειν, означающего бросать. Основные разделы баллистики: внутренняя баллистика и внешняя баллистика. Внутренняя баллистика изучает движение снарядов, мин, пуль и др. в канале ствола оружия под действием пороховых газов, а также другие процессы, происходящие при выстреле в канале или камере пороховой ракеты. Внешняя баллистика изучает движение снарядов, мин, пуль, неуправляемых ракет и др. после прекращения их силового взаимодействия со стволом оружия (пусковой установкой), а также факторы, влияющие на это движение. В данной работе будет рассмотрена математическая задачи полета неуправляемого снаряда. Вначале задача будет исследована в самой простой постановке, затем будут введены дополнительные условия. В процессе исследования по возможности применялся пакет автоматизации математических расчетов «MAPLE - 9». Таким образом, представленная работа находится на стыке физики, математики и информационных технологий.

1. Траектория движения снаряда в поле тяжести. При этом сделаем предположение, что нет сопротивления воздуха, поверхность, над которой летит снаряд, - плоскость, а масса снаряда постоянная. Это самая простая в математическом отношении задача.

Рассматриваются основные параметры траектории снаряда, вылетающего с начальной скоростью V0 из орудия, направленного под углом α к горизонту.

Движение снаряда происходит в вертикальной плоскости XOY, содержащей вектор V0. Начало системы координат XOY находится в точке вылета снаряда. Перемещение снаряда по координатам OX и OY можно рассматривать раздельно.

После вылета из жерла орудия на снаряд действует единственная сила – сила тяжести, направленная вертикально вниз, следовательно, движение по оси OX равномерное и прямолинейное и закон движения подчиняется уравнению:

X= V₀×t×cosα, (1)

а движение по оси OY можно представить в следующем виде:

Y= V₀×sinα×t – g×t ²/2. (2)

Уравнения (1) и (2) представляют собой систему уравнений, из которой можно получить математическую зависимость между Y и X в системе MAPLE:

> sys:={x=v0*cos(a)*t,y=v0*cos(a)*t-g*t^2/2};

> solve(sys,{y,t});

Уравнение, связывающее y и x, имеет вид параболы:

Математическое исследование с помощью пакета Maple показывает, что наибольшая дальность полета достигается при угле наклона пушки равном π/4 при одинаковых скоростях V₀.

2. Вторая задача связана предположением, что полет снаряда осуществляется над поверхностью земли, которая не является ровной, а представляет собой шар. Линией пересечения плоскости полета и шара будет окружность. Для определения параметров траектории полета снаряда необходимо совместно исследовать два уравнения: уравнение параболы и окружности с центром в точке находящейся на расстоянии радиуса земли от места выстрела. Конечно, надо понимать, такая задача на практике вряд ли возникнет. Поскольку создание орудия способного стрелять на столь большие расстояния не возможно.

Для поражения цели на таких расстояниях используют баллистические ракеты.

3. Полет баллистической ракеты.

Наиболее существенной чертой, отличающей баллистические ракеты от ракет других типов снарядов, является характер их траектории. Траектория баллистической ракеты состоит из двух участков – активного и пассивного. На активном участке ракета движется с ускорением под действием силы тяги двигателей. При этом ракета запасает кинетическую энергию. В конце активного участка траектории, когда ракета приобретёт скорость, имеющую заданную величину и направление, двигательная установка выключается. После этого головная часть ракеты отделяется от её корпуса и дальше летит за счёт запасённой кинетической энергии. Второй участок траектории (после выключения двигателя) называют участком свободного полёта ракеты, или пассивным участком траектории.

Баллистические ракеты стартуют с пусковых установок вертикально вверх. Вертикальный пуск позволяет построить наиболее простые пусковые установки и обеспечивает благоприятные условия управления ракетой сразу же после старта. Кроме того, вертикальный пуск позволяет снизить требования к жёсткости корпуса ракеты и, следовательно, уменьшить вес её конструкции. Управление ракетой осуществляется с помощью программного механизма так, что через несколько секунд после старта она, продолжая подъём вверх, начинает постепенно наклоняться в сторону цели, описывая в пространстве дугу. Скорость движения в конце активного участка траектории достигает значительных величин, но ракета набирает эту скорость постепенно. Пока ракета находится в плотных слоях атмосферы, скорость её мала, что позволяет снизить потери энергии на преодоление сопротивления среды. Момент выключения двигательной установки разделяет траекторию баллистической ракеты на активный и пассивный участки. Поэтому точку траектории, в которой выключаются двигатели, называют граничной точкой. В этой точке управление ракетой обычно заканчивается и весь дальнейший путь к цели она совершает в свободном движении. Впервые описание полета ракеты было осуществлено профессором Петербургского университета
И. В. Мещерским в конце 19 века. Уравнение, описывающее это явление, представляет собой обобщение второго закона Ньютона для движения тел переменной массы.
ЛИТЕРАТУРА.

1. Савотченко С.Е., Кузмичева Т.Г. Методы решения математических задач в Maple.-Белгород: Изд. Белаудит, 2001.-116 с.