Исследование и построение эскиза. Найдем производные функции : и функции

Пример 7. Исследовать параметрически заданную кривую , и построить ее.

Найдем производные функции : и функции : .

	убывает от до	возрастает от до
	возрастает от до	убывает от до
	возрастает от до	убывает от до
	убывает от до	убывает от до
	убывает от до	возрастает от до

Точка при является точкой минимума функции и точкой минимума функции .

Если , то , . Следовательно, исследуем наклонную асимптоту.

.

.

Асимптота при , причем. В достаточно малой левой полуокрестности точки определим знак выражения:

Следовательно, кривая расположена выше асимптоты и, можно предположить, что выпукла вниз.

Аналогично, если , то , , ..

Асимптота при , причем . В достаточно малой правой полуокрестности точки определим знак выражения:

При функция имеет максимум, а функция убывает при . Поэтому — точка максимума функции .

Если , то, . Следовательно, — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то, . Следовательно, — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Значит — вертикальная асимптота. Можно предположить, что кривая выпукла вниз (к асимптоте).

Строим эскиз кривой (рис. 14.1).

Учитывая, что поведение кривой исследовано в достаточно малых окрестностях рассмотренных точек, эскиз может не отразить всех характерных особенностей кривой.

Приведем результаты анализа в виде таблицы

					выводы
					вертикальная асимптота
					точка возврата
					асимптота
					точка максимума с вертикальной касательной
					асимптота
					вертикальная асимптота