История математики

Халабурдин П.Г.

В

Возникновение арифметики и геометрии

Счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. Археолог Б. А. Фролов обосновывает существование счёта уже в верхнем палеолите.^{[L 5]}

Счётное устройство инков

Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

Названия чисел от двух (zwei, two, duo, deux, dvi, два…) до десяти, а также десятков и числа 100 в индоевропейских языках сходны. Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); это употребление восходит к счёту по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, первоначально считали пятёрками.

Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятиричную систему. А туземцы островов Торресова пролива — двоичную:

Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4) Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6)

Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). Для счёта важно иметь математические модели таких важнейших событий, как объединение таких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.

Древний Восток.Египет. Математика в Древнем Египте

Иероглифическая запись уравнения

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян.^[1]

Основные сохранившиеся источники: папирус Ахмеса, он же папирус Ринда (84 математические задачи), и московский папирус Голенищева (25 задач), оба из Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры. Авторы текста нам неизвестны.

Вавилон. Вавилонская математика. Вавилонские цифры.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Шумеры и вавилоняне использовали 60-ричную позиционную систему счисления, увековеченную в нашем делении круга на 360°, часа на 60 минут и минуты на 60 секунд. Для умножения применялся громоздкий комплект таблиц.

Китай. Математика в древнем Китае. Китайские (вверху) и японские счёты.

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э.. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (см. на фотографии), по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая — «Математика в девяти книгах».

Древняя Греция. Математика в Древней Греции.

В странах Эллады математика использовалась для подсчётов, измерений или для магических ритуалов.

Индия. История математики в Индии.

От этих индийских значков произошли современные цифры (начертание I века н. э.) Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 10⁵⁰. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

Ариабхата

Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. Потом индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций.

Страны ислама. Математика исламского средневековья.

В IX веке жил ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте».

Западная Европа. Средневековье, IV—XV века

В V веке наступил конец Западной Римской империи. Развитие науки прекратилось. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучается по древнему учебнику Никомаха Геразского в сокращённом переводе Боэция на латинский.

Среди немногих высокообразованных людей можно отметить ирландца Бе́ду Достопочтенного (он занимался календарём, пасхалиями, хронологией, теорией счёта на пальцах) и монаха Герберта.

Латинский перевод Начал Евклида (XIV век)

В XIV в. переводились и издавались «Начала» Евклида;

Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи (сначала переводы ал-Хорезми, потом собственные руководства), и начинается её применение. С XIV века индо-арабские цифры начинают вытеснять римские.

Страница из «Книги абака»

Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной его труд: «Книга абака».

XVI век

Первыми Итальянскими математиками дель Ферро, Тарталья и Феррари, стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степени.

Джон Непер

В 1585 году фламандец Симон Стевин издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями.

XVII век

Геометрические измерения (XVII век)

Сэр Исаак Ньютон

В конце XVII века идея неделимых была расширена Ньютоном и Лейбницем, и появился — математический анализ.

XVIII век

Леонард Эйлер на советской почтовой марке (1957)

Лидером математиков XVIII века был Эйлер, его исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Далеко продвинул практически все области математики.

XIX век

Огюстен Луи Коши

Построение фундамента математики началось с анализа. В 1821 году Коши опубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основные понятия на основе концепции предела.

1837 год: Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как пар вещественных.

1879 год: Фреге публикует систему аксиом математической логики.

1888 год: Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральных чисел.

К концу века вся математика была построена на базе строгой аксиоматики.

Теория множеств и антиномии

Георг Кантор

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного числового множества. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность.

Россия. В XIX – XX в. молодая российская математика выдвинула учёных мирового уровня. Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский, Виктор Яковлевич Буняковский, Пафнутий Львович Чебышёв

Пафнутий Львович Давид Гильберт Сриниваса Айенгор

Чебышёв Рамануджан

Абрахам Робинсон

• 
  Жак Адамар — теория чисел.
  
• 
  Павел Сергеевич Александров — топология.
  
• 
  Стефан Банах — функциональный анализ, теория множеств.
  
• 
  Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — анализ, топология, теория множеств, философия математики.
  
• 
  Норберт Винер — создатель кибернетики.
  
• 
  Израиль Моисеевич Гельфанд — функциональный анализ, топология, алгебра, группы Ли, математическая физика и др.
  
• 
  Жан Дьёдонне — функциональный анализ, группы Ли, топология, алгебраическая геометрия.
  
• 
  Герман Вейль — алгебра, анализ, теория чисел, математическая логика, математическая физика и др.
  
• 
  Анри Картан — анализ, топология.
  
• 
  Джон фон Нейман — математическая логика и теория компьютеров, математическая физика, теория множеств, информатика, экономика, теория игр и др.
  
• 
  Альфред Тарский — математическая логика.
  
• 
  Альфред Норт Уайтхед — математическая логика.
  
• 
  Феликс Хаусдорф — топология, теория множеств, функциональный анализ, теория чисел.
  
• 
  Александр Яковлевич Хинчин — теория вероятностей.
  
• 
  Алонзо Чёрч — информатика, математическая логика.
  
• 
  Клод Элвуд Шеннон — информатика, кибернетика.
  
• 
  Эрнст Цермело — математическая логика, теория множеств.
  

Литература

• 
  Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: КомКнига, 2007. — ISBN 978-5-484-00525-3
  
• 
  Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  
• 
  Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
  
• 
  История математики. В 3-х т. / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука.
  

• 
  Том I. С древнейших времён до начала Нового времени (1970)
  
• 
  Том II. Математика XVII столетия (1970)
  
• 
  Том III. Математика XVIII столетия (1972)
  

• 
  История отечественной математики (в 4 томах). — Киев: Наукова думка, 1966—1970.
  
• 
  Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.
  
• 
  Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988.
  
• 
  Очерки по истории математики. — М.: Изд-во МГУ, 1997.
  
• 
  Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ.
  

• 
  Том I (1960)
  
• 
  Том II (1963)
  

• 
  Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.
  
• 
  Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1984. — 285 с.
  
• 
  Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение.
  

• 
  Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. 1976, 318 с.
  
• 
  Математический анализ. Теории вероятностей. 1977, 224 с.
  

• 
  Березкина Э. И. Древнекитайская математика. М.: 1987.
  
• 
  Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голландского. 1959. 456 с.
  
• 
  Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: 1967.
  
• 
  Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — М.—Л.: 1937.
  
• 
  Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. — Ташкент: Фан, 1990.
  
• 
  Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. — М.: Учпедгиз, 1960.
  

• 
  Белл Э. Т. Творцы математики (1979)
  
• 
  Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия М.: 1960.
  
• 
  Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — 3-е изд., расш. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9
  
• 
  Лишевский В. П. Рассказы об учёных. М.: Наука, 1986.
  
• 
  Майстров Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. — М.: Наука, 1967.
  
• 
  Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций (1951)
  
• 
  Матвиевская Г. П. Рене Декарт (1987)
  
• 
  Никифоровский В. А. Из истории алгебры. — М.: Наука, 1979.
  
• 
  Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.
  
• 
  Симонов Р. А. Математическая мысль допетровской Руси. — М.: Наука, 1977.
  

• 
  Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.
  

• 
  Том I М.-Л.: ГОНТИ, 1937. 432 с.
  
• 
  Том II. М.-Ижевск: 2003, 239 с.
  

• 
  Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
  

• 
  Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей 1978
  
• 
  Том 2. Геометрия. Теория аналитических функций 1981
  
• 
  Том 3. Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. 1987.