Кривые третьего и четвертого порядка

жүктеу/скачать 404.5 Kb.

Дата	26.06.2016
өлшемі	404.5 Kb.
	#159432

Историческая справка.
Аньéзи Мария Гаэтана

Кривые третьего и четвертого порядка
Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.
Кривые третьего порядка

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х³+а₁у³+а₂х²у+а₃ху²+а₄х²+а₅у²+а₆ху+а₇х+а₈у+а₉=0.

0. Кубическая парабола и полукубическая парабола (парабола Нейля)

Уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх^3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

Декартов лист

Уравнение в прямоугольных координатах: x³ + y³ — 3аху = 0. Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х.

Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( —а, 0) и (0, —а), была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Локон Аньези

Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a³/(a² + x²). Исследование этой К. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

Аньéзи Мария Гаэтана (Agnesi Maria Gaetana), род. 16.05.1718, Милан - ум. 09.01.1799, там же. Итальянский математик, профессор университета в Болонье (с 1750). Сочинение Аньези "Основания анализа для употребления итальянского юношества" ("Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana", v.1-2, Mil., 1748) содержит изложение аналитической геометрии, в частности там рассмотрена кривая третьего порядка, названная "локоном Аньези" (или верзиера), уравнение которой y=a³ / (x² +a²) .

Для того чтобы построить эту линию, надо нарисовать окружность радиусом a с центром в точке (0,a). Затем из начала координат проводят прямые и отмечают две точки. Точка А (x1, y1) - точка пересечения прямой и окружности, точка B (x2,2a) точка пересечения прямой и верхней горизонтальной касательной к окружности. Затем строится точка кривой (x2,y1).

Английский математик Джон Колсон взял на себя труд переводить "Начала анализа" с итальянского. Однако для него, европейца XVIII века, было нелегко воспринять, что автор книги - женщина, и что для нее, для автора, кривая может ассоциироваться с прической. В результате в англоязычной литературе кривая получила название - witch of Agnesi. - что-то из области полетов на лысую гору...

Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)

Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = —a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

Кривые четвертого порядка

1.Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид)

Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2ах)² = 4a(x² + y²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

2.Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами)

Кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F₁ ( — а, 0) и F₂ (а, 0) равно а². уравнение в прямоугольных координатах:(x² + y²)² — 2a² (x² — y²) =0, в полярных координатах: r² = 2а² cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

3.Овалы Кассини

Геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F₁ и F₂ точки на оси абсцисс, F₁F₂ = 2b, а произведение MF₁×MF₂ = а². уравнение в прямоугольных координатах:

(x² + y²)² — 2b²(x² — y²) = a⁴ — b⁴.

Если , то овал Кассини — выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

4.Улитка Паскаля

Геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Б. Паскаля (1588—1651), впервые изучавшего её.

5.Розы

Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

6.Синусоидальные спирали

Кривые, полярное уравнение которых r^m = a^m cosmj; если m — рациональное число, то эти К. — алгебраические. Частные случаи: m = 1 — окружность, m = — 1 — прямая, m = 2 — лемниската Бернулли, m = —2 — равнобочная гипербола, m = ¹/₂ — кардиоида, m = — ¹/₂ — парабола. При целом m > 0 К. состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то К. состоит из от бесконечных ветвей.

Отличительная особенность этих более сложных кривых линий состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у=х³ то, конечно, видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые линии третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например, линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии (кривые третьего порядка).

жүктеу/скачать 404.5 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: