Математики ХVІ – поч. ХХ ст

У XVI-XVII ст. на основі феодального способу виробництва у тривалих війнах формуються національні європейські держави, розширюється торгівля, вдосконалюється мореплавна справа, швидко зростають міста. У таких передових на той час країнах, як Франція, Англія, Нідерланди, зростає попит на інженерів, техніків і обчислювачів. Водночас виникає потреба науково обґрунтувати математичну практику та озброїти людей знаннями й уміннями, які б дали змогу вдосконалювати технологію продуктивної праці.

Видатний художник та інженер-механік Леонардо да Вінчі, досліджуючи принципи зображувальної перспективи, розробляв питання про перетворення певних геометричних фігур у рівновеликі їм фігури, проектував літальні апарати, які могли б діяти на основі прикладання сил людини. Він вважав математику наукою, що має бути зразком строгої наукової доказовості.

Нідерландський інженер-гідравлік Сімон Стевін у 1585 р. написав працю, в якій обґрунтував потребу перейти на десяткову систему вимірювання, висвітлив принципи запровадження десяткових дробів та виклав правила дій з ними.

Німецький астроном і математик Иоганн Кеплер, розвиваючи вчення польського астронома Коперника, вивів закони руху планет, поглибив теорію сонячних і місячних затемнень, склав таблиці, за якими на сто років наперед можна було обчислити положення планет у небесній сфері. Учений працював і над створенням теорії обчислення об'ємів тіл обертання.

Шотландський математик Джон Непер винайшов натуральні логарифми, вивів правила логарифмічних обчислень. Його сучасник Генрі Брігс склав і видав у 1624 р. таблиці десяткових логарифмів, витративши сім років на обчислення з чотирнадцятьма десятковими знаками 30 тисяч мантис. Застосування логарифмічних таблиць набагато скоротило час, який астрономи, інженери та інші фахівці витрачали на розрахунки.

У першій половині XVII ст. прискорився розвиток теоретичної механіки, ключем до якої була математика. Механіку тіл, що падають у просторі, створив видатний італійський астроном і математик Галілео Галілей. Учений досконало обґрунтував коперникову геліоцентричну систему будови світу, вивів формулу, за якою методом інтегрування можна визначити шлях, пройдений падаючим тілом, за відомою його швидкістю, та перший почав досліджувати питання теорії імовірностей.

Питання інтегрального числення розробляв і професор Болонського університету Бонавентура Кавальєрі. У книжці «Геометрія» (1625) учений уперше застосував поняття нескінченно малої і скористався ним для виведення формул обчислення площ деяких плоских і об'ємних фігур способом інтегрування.

Розроблені Рене Декартом та його співвітчизником — французьким математиком П'єром Ферма основи аналітичної геометрії стали основою, на якій Ісаак Ньютон і Готфрід Вільгельм Лейбніц у XVII ст. незалежно один від одного вивели правила диференціювання й інтегрування змінних величин, заклавши основи дуже ефективних методів дослідження у природничих науках математичних залежностей і взаємозв'язків.

Поряд з аналітичною геометрією створювалися й так звані проективна й нарисна геометрії. Основи цих дисциплін заклав французький архітектор і військовий інженер Жерар Дезарг. Його співвітчизник Блез Паскаль розробляв питання математичного аналізу, теорію ймовірностей і комбінаторику, зробив важливі відкриття у галузі фізики рідин. Учений сконструював першу лічильну машину, за допомогою якої можна було виконувати чотири арифметичні дії.

Наприкінці XVII ст. англійський математик Джон Валліс обґрунтував методи обчислення площі криволінійної фігури способом інтегрування і висвітлив взаємозв'язки між різними позиційними системами числення. Досліджуючи рух матеріальної точки, Валліс з'ясував питання про знаки синуса в кожному з квадрантів координатної площини, побудував графік функції y=sinx та написав багато праць з математичного аналізу.

Вагомий вклад у розвиток фізики і математики вніс і нідерландський учений Христіан Гюйгенс. Він створив хвильову теорію світла, розробляв теорію ймовірностей, вивів закон, за яким коливається маятник годинника (1658), і разом з фізиком Робертом Гуком встановив термометричні точки плавлення льоду і кипіння води при нормальному атмосферному тиску.

Вдосконалення технології машинної праці, дальший розвиток морського, річкового й залізничного транспорту, у зв'язку з побудовою у XVIII ст. парового двигуна, створення у XIX ст. двигунів внутрішнього згоряння, перші наукові досягнення фізиків у пізнанні природи електричної енергії, розвиток хімії, агрономії, ботаніки й зоології — такі позитивні наукові здобутки цієї доби.

Країною, яка у XVIII-XIX ст. дала світові найбільше видатних математиків, фізиків, інженерів, була Франція. Імена цих учених: Жан Д'Аламбер, Жозеф Лагранж, П'єр Лаплас, Гаспар Монж, Огюстен Коші, Андре Ампер, Жан Фур'є, Сімеон Пуассон, Анрі Пуанкаре та ін. Значних успіхів у розвитку різних математичних дисциплін добилися німецькі вчені Карл Якобі, Петер Діріхле, Карл Вейєрштрасс, Георг Ріман, Георг Кантор, Давід Гільберт, англійські математики Абра-хам де Муавр і Джордж Грін, шотландський математик Колін Маклорен, швейцарський — Якоб Штейнер, чеський Бернард Больцано, угорський математик Янош Больяй.

Зусилля західноєвропейських математиків XVIII і XIX ст. були спрямовані на застосування прийомів диференціального та інтегрального числень у всіх галузях математики. На основі цих числень поглиблюється теорія чисел та розширюється поняття самого числа.

Розвиток теорії комплексних чисел сприяв розвитку у XX ст. таких наук, як гідро- і аеродинаміка, акустика, електро-, радіо- і атомна техніка.

Аналітична геометрія на площині у XIX ст. доповнилася теорією визначення положення точки на поверхні тіла за допомогою двох координат і незабаром збагатилася досягненнями в галузі сферичної геометрії.

У XIX ст. евклідову дедуктивну геометрію було узагальнено так званими неевклідовими геометріями, було також удосконалено диференціальну геометрію, де для глибшого дослідження взаємозв'язків між геометричними образами застосовується диференціальне числення.