Методы решения целых рациональных уравнений

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест. Необходимый уровень общеобразовательной подготовки по математике может быть обеспечен при реализации совокупности соответствующих требований к практической и мыслительной деятельности учащихся, выражающих в учебных умениях использовать теоретический материал при выполнении заданий повышенной трудности, учащиеся должны овладеть не только определенной суммой знаний и умений, но и овладеть методикой самостоятельно добывать знания, планировать, анализировать, исследовать, находить выход из проблемных ситуаций. Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к экзаменам за курс основной школы. В основе программы элективного курса лежит принцип развивающего обучения. Через весь курс проходят: понятие уравнение и методы решения целых рациональных уравнений. Программа курса включает такие вопросы, которые не входят в школьный курс математики основной школы, а рассматривается на уроках при углубленном изучении предмета, но необходимы при дальнейшем ее изучении. В школьном курсе математики на каждой ступени рассматриваются уравнения, но не усваиваются настолько, чтобы без проблем решать их. В итоге некоторые учащиеся овладевают общим умением решать уравнения, а многие встречались с уравнением малознакомого вида, теряются. Учащиеся не анализируют в должной степени решаемые уравнения и не выделяют общие методы и способы их решения, и в лучшем случае решают по образцу. Умение решать уравнения являются одним из показателей уровня развития и глубины освоения учебного материала по математики. И любой экзамен, любая проверка знаний содержит в качестве основной и наиболее трудной части решения задач на уравнение. Курс поможет учащимся систематизировать полученные на уроках знания по решению уравнений, и открыть для себя новые методы их решения. Это будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Данный элективный курс рассчитан на 10 часов. Конечно, научить решать все виды уравнений невозможно, поэтому рассматриваются целые рациональные уравнения и основные методы их решения. И как обычно говорят: надо научить такому подходу к задаче, при котором она выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования и изобретения. Это применимо и для уравнений, к чему обычно сводятся решения многих задач.

№Тема и содержаниеКоличество часов1Введение.

Основные определения.

Равносильные уравнения.

Следствия уравнений.12Целые рациональные уравнения13Решение целых рациональных уравнений методом введения новой переменной.14Решение уравнений. Бином Ньютона.15Решение целых рациональных уравнений методом разложения на множители.16Отыскание рациональных корней. Схема Горнера.27Возвратные уравнения.18Зачетная работа.2Итого:10Методические рекомендации

Уже на первом занятии надо нацелить учащихся на итог изучения данного курса. А итогом будет зачетная работа. Основными формами учебных занятий являются беседы и семинары.

Курс состоит из 8 частей. Где 1-7 части содержат необходимый минимум теории, практическую часть и упражнения для домашней работы. В зависимости от подготовленности учащихся практическую часть и упражнения для домашней работы можно сократить, а при необходимости и увеличить.

Упражнения практической части каждого занятия даны с решениями, а к упражнениям домашней работы даны только ответы.

На протяжении всего курса акцент делится на то, что основными методами решения целых рациональных уравнений являются: метод разложения на множители и метод введения новой переменной.

Применение к решению целых рациональных уравнений бинома Ньютона и схемы Горнера в какой-то мере упрощает решение некоторых уравнений, несмотря на то, что решение становятся более объемным.

Итогом курса является зачетная работа. На ее выполнение отводится 2 часа. Работа состоит из 10 заданий (2 задания на каждую тему). Чтобы получить зачет надо решить 5-7 уравнений.

По окончанию курса учащиеся должны знать основные методы решения целых рациональных уравнений высших степеней, уметь решать целые рациональные уравнения высших степеней известными методами, применять полученные знания при дальнейшем изучении предмета.

Каждая работа должна оцениваться. Для оценки элективных курсов есть свои параметры.
Таблица

Количество балловОбязательные условия0Посещено менее 80% планового числа часов курса.

1Посещено от 80% до 100% планового числа часов, не выполнена зачетная работа.

2Посещено от 80% до 100% планового числа часов, выполнена зачетная работа репродуктивного характера.

3Посещено от 80% до 100% планового числа часов, выполнена зачетная работа творческого характера, в рамках школьного курса.

4(максимальное)Посещено от 80% до 100% планового числа часов, выполнена зачетная работа творческого характера, выходящая за рамки школьного курсаС учетом выполненной зачетной работы, количество баллов может быть таковым

4 балла – решено 6-7 уравнений,

3 балла – решено 5 уравнений,

2 балла – решено 4 уравнения,

1 балл – решено менее 4 уравнений,

0 баллов – посещено менее 80% планового числа часов курса.
И опять же, в зависимости от подготовленности учащихся эти результаты могут быть пересмотрены.

Дидактический материал курса

1.Введение.

Вы уже умеете решать различные уравнения: линейные, квадратные, биквадратные, дробно-рациональные. Вспомним, что же мы знаем об уравнениях?

1. Равенство вида , где и - некоторые функции от x, называется уравнением с одной переменной.

2. Корнем уравнения называют такое значение переменной x = a, если при замене x числом a получается верное числовое равенство .

3. Решить уравнение это значит найти все его корни или доказать, что корней нет. При нахождении корня необходимо знать, среди каких чисел следует искать корни, для этого нужно найти область допустимых значений уравнения (ОДЗ). При решении уравнения надо выполнить различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение заменялось другим имеющим те же корни. Такие уравнения называют равносильными. В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

- Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.

- Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получаем уравнение равносильное данному.

Итак, два уравнения равносильны в том и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого. В этом случае надо выполнить проверку, подставляя в исходное уравнение. Но выявить посторонние корни можно, если найдено ОДЗ исходного уравнения.

Но в процессе решения уравнения может произойти потеря корней. Чтобы этого избежать, надо следить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.

4. При записи ответа можно использовать фигурные скобки – в виде множества, или просто перечислить, полученные значения. Если же уравнение не имеет корней, то можно написать «корней нет» или «пустое множество Ш».

№1. Равносильны ли уравнения: и .

Ответ: да.

№2. Равносильны ли уравнения: и .

ОДЗ: ,

1) ,

2) ,

Ответ: да.

№3. Найдите область допустимых значений уравнения.

Функция в левой части уравнения определена для всех действительных чисел, кроме , . Функция в правой части уравнения определена для всех действительных чисел, кроме .

Значит ОДЗ: .

Ответ: .

№4 Решите уравнение, найдя ОДЗ. .

ОДЗ: ,

,

,

,

Ответ: .

№5 Решите уравнения, найдя ОДЗ.

Ответ: Ш.

Ответ:

№6. Найдите область допустимых значений уравнения.

.
№7. Равносильны ли уравнения:

а) и . Ответ: Да.

б) и . Ответ: Нет.

2. Целые рациональные уравнения.

Если левая и правая части уравнения являются целыми рациональными выражениями с одной переменной x, то такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями.

Целое рациональное уравнение первой степени можно привести к виду , где ; уравнение второй степени можно привести к виду , где ; уравнение третьей степени можно привести к виду , где и т.д.

Поэтому целым рациональным уравнением степени n стандартного вида называют уравнение , где .

Если , то уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением степени n.

Решение целого рационального уравнения стандартного вида сводится к нахождению корней многочлена. Многочлен степени n не может иметь более чем n различных корней, поэтому целое рациональное уравнение степени n имеет не более n корней.

При n=1, один корень ; При n=2, число корней зависит от дискриминанта D = a₁² - 4 a₀ a₂, но имеет не более двух корней, если D > 0, то 2 корня, если D=0, то один корень, D < 0, то действительных корней нет.

При n=3. При решении уравнений третьей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности ученые часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие. Тот кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко побеждать своих соперников, давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнений тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашел способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Сцепина дель Ферро (1465-1526), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джероламо Кардано (1501-1576). Эта формула носит название формулы Кардано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья (ок.1500-1557). С именами этих же математиков связано и открытие способов решения уравнений четвертой степени.

В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более высокой степени. И только почти через три столетия впервые итальянский ученый Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829) доказали, что не существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвертой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчает эту работу.

Упражнения.

№8. Решите уравнение: .

Ответ: .

№9. Решите уравнение: .

,

,

.

это равенство ложное и не зависит от значения x. Это значит, что уравнение не имеет решения.

Ответ: Ш.

№10. Решите уравнение: .

,

D=169, D > 0, и ,

Ответ: .

№11. Решите уравнение: .

Ответ: .

№12. Решите уравнение: .

,

,

, D= 873, D > 0, и.

Ответ: .

№13. Решите уравнение: .

Ответ: .

№14. Решите уравнение: .

Ответ: .

№15. Решите уравнение: .

Ответ: .

3. Решение целых рациональных уравнений методом введения новой переменной.

С методом введения новой переменной уже встречались при решении биквадратных уравнений.

Пусть , тогда , .

Методом введения новой переменной заключается в том,что для решения уравнения вводят новую переменную и выражают через y, получая новое уравнение . Решая уравнение , находят его корни: . После чего получают совокупность n уравнений , из которых находят корни исходного уравнения.

Упражнения.

№16. Решите уравнение:

Пусть , тогда , D=16, D>0, 2 корня.

Ответ: .

№17. Решите уравнение: .

Пусть , тогда

Ответ: .

№18. Решите уравнение: .

,

,

,

Пусть , тогда , D=25, D>0, 2 корня

Ответ: .

№19. Решите уравнение: .

,

,

,

Пусть ,тогда , ,

D=225, D>0, 2 корня.

Ответ: .

№20. Решите уравнение: .

,

Пусть ,тогда

Ответ: .

№21. Решите уравнение: .

Ответ: .

№22. Решите уравнение: .

Ответ: .

№23. Решите уравнение: .

Ответ: .

4. Решение уравнений. Бином Ньютона.

При решении некоторых уравнений применяют бином Ньютона.

где - коэффициенты при a и b к-той степени, которые вычисляются по правилу

Здесь n – степень бинома, а k – обозначает (k+1)-ое слагаемое разложения (k<n).

Но можно иначе.

Составим таблицу коэффициентов разложения в зависимости от степени:

СтепеньКоэффициенты (в n-й степени; (n+1) слагаемых)(a+b)⁰12⁰(a+b)¹112¹(a+b)²1212²(a+b)³13312³(a+b)⁴146412⁴(a+b)⁵151010512⁵(a+b)⁶16152015612⁶(a+b)⁷1721353521712⁷(a+b)⁸182856705628812⁸(a+b)⁹1936841261268436912⁹(a+b)¹⁰11045120210252210120451012¹⁰

Разберем таблицу.

1. 
   Второй столбец – степень двучлена по возрастанию.
   
2. 
   Вторая диагональ – степень двучлена.
   
3. 
   Для того, чтобы найти коэффициент в третьем слагаемом седьмой степени двучлена, необходимо сложить коэффициент при втором и третьем слагаемых шестой степени двучлена. И так можно получить коэффициенты при любом слагаемом n-ой степени разложения.
   
4. 
   Очень интересно, что сумма всех коэффициентов в разложении любой степени равна этой же степени числа двух, т.е. и т.д.
   

№24. Решите уравнение: .

Пусть , тогда x = y – 4.

.

Учитывая распределение коэффициентов, получим (чередование знаков).

Значит ,

Ответ: .

№25. Решите уравнение: .

Пусть , тогда x = y – 1.

Учитывая распределение коэффициентов, получим (чередование знаков).

№26. Решите уравнение: .

Ответ: .

№27. Решите уравнение: .

Ответ: .

5. Решение целых рациональных уравнений методом разложения на множители.

Известно, что произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю.

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений и .

Значит, чтобы решить уравнение n-степени надо разложить левую часть на множители.

То есть:

1. 
   вынести общий множитель за скобки;
   
2. 
   сгруппировать слагаемые;
   
3. 
   применить формулы сокращенного умножения;
   
4. 
   использовать свойства коэффициентов.
   

№28. Решите уравнение: .

Так как 1+7–8=0, значит x=1.

Ответ: .

№29. Решите уравнение: .

Разложим левую часть на множители методом группировки.

Ответ: .

№30. Решите уравнение: .

Чтобы разложить левую часть уравнения на множители, надо представить одно из слагаемых в виде суммы так, чтобы можно было применить группировку.

Ответ: .

№31. Решите уравнение: .

Чтобы разложить левую часть на множители вынесем за скобки общий множитель x².

Чтобы разложить многочлен на множители, проверим коэффициенты.

Так как 1+5–6=0,значит x=1.

,

,

Ответ: .

№32. Решите уравнение: .

Ответ: .

№33. Решите уравнение: .

Ответ: .

№34. Решите уравнение: .

Ответ: .

6. Отыскание рациональных корней. Схема Горнера.

Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

При решении уравнений с использованием делителей свободного члена можно пользоваться схемой Горнера. Английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837) вывел удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной x. Способ состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Упражнения.

№35. Найдите все корни уравнения: .

при x=1; ,

при x= – 1; ,

Значит x₁= –1.

Составляется таблица. В верхней строке – коэффициенты исходного уравнения, вторая строка начинается с найденного корня.

12-6-20-19-6-111-7-13-60Чтобы заполнить вторую строку надо:

1) первый коэффициент снести вниз;

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) .

При заполнении остальных клеток второй строки: найденный корень умножаем на последнее число за ним стоящее и к полученному произведению прибавляем соответствующий коэффициент из первой строки, полученное число вносим в таблицу и т.д.

Полученные числа второй строки являются коэффициентам неполного частного, и уравнение примет вид:

И все сначала, но для уравнения 4-ой степени.

,

при x=1: ,

при x= –1: ,

Значит x₂= –1.

Составим таблицу.

11-7-13-6-110-7-601) ,

2) ,

3) ,

4) ,

Исходное уравнение принимает вид:

И опять сначала, но для уравнения 3-ей степени.

,

при x=1: ,

при x= –1: ,

Значит x₃= –1.

Составим таблицу.

10-7-6-11-1-601) ,

2) ,

3) ,

Исходное уравнение принимает вид: .

Ответ: .

Значит при нахождении корней целого рационального уравнения с помощью схемы Горнера левая часть раскладывается на множители и решение сводится к совокупности уравнений.

№36. Решите уравнение: .

при x=1: ,

при x= –1: ,

Значит x₁= –1.

12-13-38-24-111-14-2401) ,

2) ,

3) ,

4) .

при x=1: ,

при x= –1: ,

при x= 2: ,

при x= –2: ,

Значит x₂= –2.

11-14-24-21-1-1201) ,

2) ,

3) .

,

Ответ: .

№37. Решите уравнение: .

,

при x=1: ,

при x= –1: ,

при x= 2: ,

Значит x₁= –2.

10-2-813-102122-4501) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

при x=1: ,

при x= –1: ,

при x= 5: ,

при x= –2: ,

Значит: корней нет.

Ответ: .

№38. Решите уравнение: .

при x=1: ,

Значит: x₁ =1.

1-510-10411-46-401) ,

2) ,

3) ,

4) .

,

,

при x=1: ,

при x= –1: ,

при x= 2: ,

Значит: x₂ =2.

1-46-421-2201) ,

2) ,

3) ,

Ответ: .

№39. Решите уравнение: .

,

при x=1: ,

Значит: x₁ =1.

1-1-13112110-13-1201) ,

2) ,

3) ,

4) .

,

,

при x=1: ,

при x= –1: ,

Значит: x₂ = –1.

10-13-12-11-1-1201) ,

2) ,

3) ,

,

Ответ: .

№40. Решите уравнение: .

Ответ: .

№41. Решите уравнение: .

Ответ: .

№42. Решите уравнение: .

Ответ: .

7. Возвратные уравнения.

Уравнения вида называется возвратным, если его коэффициенты одинаково удаленные от начала и от конца равны между собой.

Леонард Эйлер (1707-1783) доказал, что любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень (–1) и после деления такого уравнения на (x+1) получается уравнение четной степени, которое также будет возвратным. Им же доказано, что каждое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем x=a содержит корень (следует иметь ввиду, что x=0 не может быть корнем возвратного уравнения). Так как x=0 не может быть корнем уравнения, то при решении уравнения можно обе части уравнения разделить на x², x³ и др., и затем сгруппировать равноотстоящие от концов члены уравнения и ввести новую переменную. Можно просто разложить левую часть уравнения на множители.

Упражнения.

№43. Решите уравнение: .

Это уравнение является возвратным, и наиболее удачным является группировка, чтобы разложить на множители левую часть.

,

Ответ: .

№44. Решите уравнение: .

Это уравнение не явно возвратное.

,

.

Пусть ,тогда и ,

Ответ: .

№45. Решите уравнение: .

Проверим x= –1.

Значит x= –1 корень уравнения.

Пусть , тогда ,

Ответ: .

№46. Решите уравнение: .

Пусть , тогда ,

Ответ: .

№47. Решите уравнение: .

Ответ: .

№48. Решите уравнение: .

Ответ: .

№49. Решите уравнение: .

Ответ: .

8. Зачетная работа.

Рассчитана на 2 часа.

Чтобы работа была зачтена, надо решить 5-7 уравнений.

Решите уравнения введением новой переменной:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

Решите уравнения с помощью бинома Ньютона:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

Решите уравнения методом разложения на множители:

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

Решите возвратные уравнения:

1. .

Ответ: .

Ответ: .

1.Н.Я.Виленкин

Алгебра: учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики . – М.:Просвещение,2005.

2.А.Х.Шахмейстер

Уравнения. Пособие для школьников ,абитуриентов и учителей.

Издательство МГУ,2004.

3.Н.Я.Виленкин

Алгебра для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики.- М.:Просвещение ,1999.

4.М.Л.Галицкий

Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики .- М.:Просвещение,2001.