Об аберрации света. Д. Г. Стокс, М. А., член Пемброкского колледжа, Кембридж. Перевод

Об аберрации света.

Предмет настоящей публикации – попытка дать объяснение причин аберрации, согласующееся с волновой теорией. Я делаю предположение, что Земля и другие планеты увлекают часть эфира так, что эфир, примыкающий к их поверхности, неподвижен относительно этой поверхности и что его скорость меняется по мере удаления

(стр.10 оригинала) от поверхности, и уже на небольшом расстоянии он неподвижен относительно пространства. Согласно волновой теории направление, в котором видно небесное тело, перпендикулярно фронту исходящих от него волн, достигающих окрестности наблюдателя. Полагаем, что эфир вблизи наблюдателя неподвижен относительно него. В случае, когда эфир покоится относительно пространства и фронт световой волны задан в какой-нибудь фиксированный момент, положение фронта волны в любой последующий момент можно найти методом, изложенным в трактатах Эйри. Если бы эфир двигался, и скорость распространения света была бы бесконечно мала, то фронт световой волны смещался бы как поверхность из частиц эфира. Однако, ни одно из этих предположений не является верным, т.к. во время прохождения через него световой волны эфир движется. В последующем исследовании я полагаю, что смещение фронта волны за достаточно малый промежуток времени определяется двумя только что рассмотренными и действующими независимо причинами.

Пусть: u,v,w – компоненты разложения по осям прямоугольной системы координат x,y,z скорости точки эфира, имеющей координаты x,y,z; V – скорость света в покоящемся эфире. Вследствие удаленности от небесных тел совершенно излишне рассматривать, если отвлечься от искажений из-за движения эфира, какие-либо волны, кроме плоских. Пусть ось z направлена в, или почти в направлении распространения рассматриваемой волны. Тогда уравнение фронта волны в произвольный момент имеет вид

где С – константа, t – время, -- малая по величине функция x,y,t. Поскольку, u,v,w и того же порядка, что и аберрация, их квадратами и произведениями можно пренебречь.

Обозначая через углы между нормалью к фронту волны в точке (x,y,z) и координатными осями, для аппроксимации первого порядка имеем
(2)

(Во времена Стокса обозначения частной и полной производной, видимо, не отличались. Прим. переводчика). Отложим от точки (x,y,z) вдоль нормали отрезок длиной Vdt, тогда координаты его другого конца будут:

Если бы эфир покоился, геометрическое место этих точек и было бы фронтом волны в момент t+dt, но, поскольку, он движется, то координаты концов надо увеличить на udt, vdt, wdt. Обозначая затем через x’,y’,z’ координаты точки фронта волны, соответствующей в момент t+dt

(стр. 11) точке (x,y,z) фронта в момент t, имеем

исключая из этих уравнений и из (1) x,y,z и обозначая ς через f(x,y,t), для уравнения фронта волны в момент t+dt, получаем

или, разлагая f в окрестности (x’,y’,t), пренебрегая , квадратами аберрации и опуская штрихи при x,y,z ,

Но из определения ς следует, что уравнение фронта волны в момент t+dt получается заменой в (1) t на t+dt, так, что это уравнение должно иметь вид

Из этого уравнения следует, что Но, ввиду малости величины ς, в качестве параметра системы поверхностей, образуемой последовательными положениями фронта волны, вместо t можно взять приближенное значение z, задаваемое уравнением z = C + Vt .

Но тогда можно заменить на и уравнение (1) преобразуется в

Подставляя найденную величину ς в (2) получаем в качестве первого приближения уравнения

которые легко можно получить и непосредственно из геометрических соображений.

Уравнения, описывающие аберрацию, при произвольном значении u,v, и w будут достаточно сложными.

(стр.12) В случае же, если u,v,w таковы, что – полный дифференциал,

и поэтому, обозначая индексами 1, 2 величины переменных на нижнем и верхнем пределах соответственно, получаем

Если движение эфира таково, что - полный дифференциал в какой-нибудь прямоугольной системе координат, то заменой переменных нетрудно показать, что это свойство сохраняется и в любой другой прямоугольной системе координат. Следовательно, формула (6) справедлива для света, распространяющегося не только в ранее рассмотренном направлении, но и в любом другом. Надо лишь в каждом случае направление распространения брать в качестве оси z.

Если предположить, что - полный дифференциал для составляющей движения эфира, вызванной поступательным движением Земли и планет, то из этого не следует, что то же справедливо для составляющей, зависящей от их вращательного движения. Более того, суточная аберрация слишком мала, чтобы её можно было обнаружить наблюдениями или сколь-нибудь точно измерить, поэтому в дальнейшем я ею пренебрегаю.

Не трудно показать, что формулы (6) приводят к известному закону аберрации. В случае света, излучаемого звездой, точку, от которой начинается интегрирование уравнений (5), можно взять настолько удаленной от Земли, что движение эфира и вызванное им изменение направления распространения света ещё не ощутимы в ней. Поэтому и, если ещё ось x выбрать так, чтобы направление движения Земли лежало в плоскости xz , то будем иметь

и, согласно (6),

Таким образом, звезда будет казаться смещенной в направлении движения Земли на угол, равный отношению скорости Земли к скорости света, умноженному на синус угла между направлением движения Земли и прямой, соединяющей Землю и звезду.

При рассмотрении аберрации планет путь интегрирования уравнений (5) следует разделить на три промежутка: сначала интегрировать от точки на планете до точки, расположенной на таком расстоянии от неё, что движением

(стр.13) эфира можно пренебречь; затем - до точки вблизи Земли, где движением эфира ещё можно пренебречь; и, наконец, - до точки на поверхности Земли, из которой наблюдается планета. Для первого промежутка имеем и - компоненты разложения скорости планеты. Приращения и на первом промежутке будут поэтому . На втором промежутке и не изменяются, а не третьем их приращения, как и в случае звезды, равны , где -- компоненты разложения скорости Земли.

На рис.1 показано, как мы представляем себе это явление. Р -положение планеты в момент, когда световая волна стартует от её поверхности; Е – положение Земли в момент, когда свет достигает её; линии ab, cd и т.д. – последовательные положения малых участков фронта световой волны; стрелки показывают направление движения Р и Е . Ширину ab полагаем сравнимой с диаметром телескопа. На рис.2 : pmne -- траектория, ортогональная к поверхностям ab, cd и т.д. ; p – точка планеты, из которой свет стартует; e – точка Земли, в которую он приходит. Траекторию pmne можно считать прямой за исключением концевых участков от p до m и от n до e , где она слегка искривлена. Кривизна в точке e так же сказывается на кажущемся положении планеты, как сказывалось бы на кажущемся положении звезды, находящейся в том же направлении. Что касается искривления участка pm, то из-за него кажется, что точка p находится в основании q перпендикуляра, опущенного из p на прямую, проходящую через mn. Далее, угол между касательными в точках p и m -- это как раз тот , на который для наблюдателя в точке p звезда, находящаяся в направлении e, смещалась бы вследствие аберрации . Поскольку

Чтобы дать представление о порядке величин, которыми мы пренебрегаем, не учитывая участок pq , предположим, что pm равно диаметру P и кривизна на участке pm постоянна. Пусть: r – радиус P , v – её скорость и R -- расстояние от P до E . Наибольшим возможным значением угла между касательными в точках p и m является . В этом случае , где D -- видимый с E полудиаметр P. Поэтому угол peq для Луны много больше, чем для любого другого тела солнечной системы, т.к. в случае других планет v не превосходит удвоенной скорости Земли или Луны, в то время как их диск очень мал по сравнению с Луной. В случае Солнца, хотя его диск почти такой же, как и у Луны, его скорость вокруг центра тяжести солнечной системы очень мала. В действительности было бы правильнее центр Солнца считать абсолютно покоящимся, поскольку все наши измерения отнесены к нему, а не к центру тяжести солнечной системы. Проведем поэтому расчет для Луны. Полагая , получим, что угол peq приблизительно -ая секунды, т.е. величина практически не воспринимаемая. (во время Стокса. Прим. переводчика)