Операции над нечеткими числами

3. Операции над нечеткими числами

Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.

• 
  операция "сложения":
  

[a₁, a₂] (+) [b₁, b₂] = [a₁ + b₁, a₂ + b₂], (2.6)

• 
  операция "вычитания":
  

[a₁, a₂] (-) [b₁, b₂] = [a₁ - b₂, a₂ - b₁], (2.7)

• 
  операция "умножения":
  

[a₁, a₂] () [b₁, b₂] = [a₁  b₁, a₂  b₂], (2.8)

• 
  операция "деления":
  

[a₁, a₂] (/) [b₁, b₂] = [a₁ / b₂, a₂ / b₁], (2.9)

• 
  операция "возведения в степень":
  

[a₁, a₂] (^) i = [a₁ⁱ , a₂ⁱ]. (2.10)

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):

• 
  действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;
  
• 
  сумма треугольных чисел есть треугольное число;
  
• 
  треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;
  
• 
  сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;
  
• 
  сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.
  

Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И, если приводимость налицо, тогда операции с треугольными числами сводятся к операциям с абсциссами вершин их функций принадлежности.