Основание прямой призмы klmnk1L1M1N1 ромб klmn с углом 60o при вершине K. Точки e и f середины рёбер ll1 и lm призмы
жүктеу/скачать 15.21 Kb.
|
|
Задача 8. Условие: Основание прямой призмы KLMNK1L1M1N1 - ромб KLMN с углом 60o при вершине K . Точки E и F - середины рёбер LL1 и LM призмы. Ребро SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S - вершина) лежит на прямой LN , вершины D и B - на прямых MM1 и EF соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если SA=2AB . Решение: Прямая LN перпендикулярна двум пересекающимся прямым KM и LL1 плоскости MM1K1K , поэтому прямая LN перпендикулярна этой плоскости. Тогда, любая прямая, проходящая через точку P перпендикулярно NL (или совпадающей с ней прямой SA ), лежит в плоскости MM1K1K . Известно, что боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярно, скрещивающейся с ним диагонали основания. Кроме того, если прямая l и плоскость ? перпендикулярны одной и той же прямой, то прямая l либо лежит в плоскости ?, либо параллельна ей. Скрещивающиеся прямые SA и BD перпендикулярны и плоскость MM1K1K перпендикулярна прямой SA , поэтому прямая BD либо лежит в плоскости MM1K1K , либо параллельна ей. Второй случай исключается, т.к. по условию задачи точка D лежит на прямой MM1 , т.е. является общей точкой прямой BD и плоскости MM1K1K . Значит, прямая BD лежит в плоскости MM1K1K . В то же время, точка B лежит в плоскости MM1L1L , т.к. она лежит на прямой EF этой плоскости. Следовательно, точка B лежит на прямой MM1 пересечения плоскостей MM1K1K и MM1L1L . Тогда M - середина диагонали основания ABCD пирамиды. Тогда MP - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA и BD . Обозначим AB=a . Тогда SA=2a, AM = MD=BD = , SM = = =, MP = = = , LP = MP tg LMP = MP tg 30o = · = , SKLMN = KM· LN = · 2MP· 2LP = 2MP· LP = 2· · = . Из равенства треугольников BMF и ELF следует, что EL = MB = MD = , поэтому LL1 = 2EL = a . Пусть V1 и V2 - объёмы призмы KLMNK1L1M1N1 и пирамиды SABCD . Тогда V1=SKLMN· LL1 = · a = , V2 = SABCD· SM = a2· = . Следовательно, = = . Ответ . жүктеу/скачать 15.21 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|