В. И. Арнольд «Жесткие» и«мягкие» математические модели Москва

В. И. Арнольд
«Жесткие» и «мягкие»
математические модели
Москва
Издательство МЦНМО
2004

УДК 51.001.8
А84
Арнольд В. И.
А84
«Жесткие» и «мягкие» математические модели. | М.:
МЦНМО, 2004. | 32 с.: ил.
ISBN 5-94057-134-4
Эта брошюра представляет собой текст доклада, сделанного академи-
ком В. И. Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском совете РФ.
В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных уравнений
в таких науках, как экология, экономика и социология.
Владимир Игоревич Арнольд
«ЖЕСТКИЕ» И «МЯГКИЕ» МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Лицензия ИД Ђ 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 25.12.2003 г.
Формат 60×90
1
/
16
. Печать офсетная. Печ. л. 2. Тираж 1000 экз. Заказ Ђ
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-72-85.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».
ISBN 5-94057-134-4
c
Арнольд В. И.
c
МЦНМО

Содержание
1. Модель войны или сражения
4
2. Оптимизация как путь к катастрофе
7
3. Жесткие модели как путь к ошибочным
предсказаниям
15
4. Опасность многоступенчатого управления
17
5. Математические модели перестройки
20
6. Статистика первых цифр степеней двойки
и передел мира
22
7. Математика и математическое образование
в современном мире
26
3

Примером жесткой модели является таблица умножения. Про-
стейший пример мягкой модели | принцип «чем дальше в лес,
тем больше дров». Возможность полезной математической тео-
рии мягких моделей открыта относительно недавно. В докладе
на простейших примерах будет показано, как эта теория может
применяться в экономических, экологических и социологических
моделях.
1. Модель войны или сражения
В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух
армий) | модели Ланкастера | состояние системы описывается
точкой (x; y) положительного квадранта плоскости. Координа-
ты этой точки, x и y | это численности противостоящих армий.
Модель имеет вид
( _x = −by;
_y = −ax:
Здесь a | мощность оружия армии x, а b | армии y. Попросту
говоря, предполагается, что каждый солдат армии x убивает за
единицу времени a солдат армии y (и, соответственно, каждый
солдат армии y убивает b солдат армии x). Точка над буквой
здесь и далее означает производную по времени t, то есть ско-
рость изменения обозначенной буквой величины.
Это | жесткая модель, которая допускает точное решение
dx
dy
=
by
ax
;
ax dx = by dy;
ax
2
−
by
2
= const:
Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль ги-
перболы, заданной этим уравнением (рис.
1
). По какой именно
гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.
Эти гиперболы разделены прямой
√
ax =
√
by. Если начальная
точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис.
1
), то гипербо-
ла выходит на ось y. Это значит, что в ходе войны численность
армии x уменьшается до нуля (за конечное время). Армия y вы-
игрывает, противник уничтожен.
4

x
y
1
2
Рис. 1. Жесткая модель войны
Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрыва-
ет армия y. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой)
война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблени-
ем обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время:
конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обесси-
лены.
Вывод модели таков: для борьбы с вдвое более многочислен-
ным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с
втрое более многочисленным | в девять раз и т. д. (на это ука-
зывают квадратные корни в уравнении прямой).
Ясно, однако, что наша людоедская модель сильно идеали-
зирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной си-
туации. Возникнет вопрос | как изменится вывод, если модель
будет несколько иной. Например, коэффициенты a и b могут быть
не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от x и от y.
И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.
В этом случае речь идет о системе
( _x = −b(x; y)y;
_y = −a(x; y)x;
которая уже не решается явно.
Однако в математике разработаны методы, позволяющие сде-
лать выводы общего характера, и не зная точно явного вида
функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой мо-
дели | модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функ-
ций a и b в нашем примере).
5

x
y
1
2
Рис. 2. Мягкая модель войны.
Общий вывод в данном случае есть утверждение о структур-
ной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b
изменит описывающие ход военных действий кривые на плоско-
сти (x; y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их
прямой), но это изменение не затрагивает основного качествен-
ного вывода.
Вывод этот состоял в том, что положения «x выигрывает» и
«y выигрывает» разделены нейтральной линией «обе армии уни-
чтожают друг друга за бесконечное время».
Математики говорят, что топологический тип системы на
плоскости (x; y) не меняется при изменении функций a и b: оно
приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис.
2
).
Этот математический вывод не самоочевиден. Можно пред-
ставить себе и другую ситуацию, например, изображенную
на рис.
3
. Математическая теория структурной устойчивости
утверждает, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае
для не слишком патологических функций a и b (скажем, она не
реализуется, если это | положительные в нуле многочлены).
Мы можем сделать вывод о качественной применимости про-
стейшей модели войны для приближенного описания событий в
целом классе моделей, причем для этого даже не нужно знать
точного вида жесткой модели: выводы справедливы для мягкой
модели. На самом деле простейшая модель дает даже полезное
количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной
прямой в нуле определяется формулой
√
ax =
√
by, где a и b |
значения коэффициентов в нуле.
6

x
y
Рис. 3. Нереализуемая модель войны.
То есть принцип «если противников вдвое больше, то надо
иметь в четыре раза более мощное оружие» справедлив на ко-
нечном этапе взаимного истребления, в то время как на началь-
ном этапе войны число 4 нужно, быть может, откорректировать
(учитывая вид коэффициентов a и b). Для этой корректировки
в математике мягких моделей тоже разработаны эффективные
методы (несмотря на то, что явная формула для решения уравне-
ний модели не только неизвестна, но и | это строго доказано |
не существует вовсе).
Можно думать, что описанная модель отчасти объясняет как
неудачи Наполеона и Гитлера, так и успех Батыя и надежды му-
сульманских фундаменталистов.
2. Оптимизация как путь к катастрофе
Простейшая модель роста _x = kx предложена Мальтусом (для
роста населения Земли). Она ведет, как хорошо известно, к экспо-
ненциальному (т. е. очень быстрому) росту населения x с течени-
ем времени. Эта жесткая модель применима (разумеется, с ого-
ворками), например, к развитию науки в 1700 { 1950 годах (изме-
ряемому, скажем, числом научных статей) (рис.
4
). Продолжение
экспоненциального роста науки в следующий век быстро привело
бы к исчерпанию бумаги и чернил, причем число ученых должно
было бы достичь половины населения земного шара.
Ясно, что общество (во всех странах) не может этого допу-
7

1700
1800
1900
2000 t
ln x
x ∼ e
kt
ÄÁ×ÌÅÎÉÅ
Рис. 4. Рост науки.
стить, и следовательно развитие науки должно быть подавлено
(что мы и наблюдаем во многих странах; в России реформиро-
вание академической науки происходит как раз сейчас).
Аналогичные явления насыщения происходят в любой попу-
ляции (и, вероятно, вскоре произойдут с человечеством в це-
лом): когда население становится слишком большим, мальтусов-
ская жесткая модель с постоянным коэффициентом роста k пе-
рестает быть применимой. Естественно, при слишком больших x
конкуренция за ресурсы (пищу, гранты и т. д.) приводит к умень-
шению k, и жесткая модель Мальтуса должна быть заменена мяг-
кой моделью
_x = k(x)x
с зависящим от населения коэффициентом размножения. Про-
стейшим примером является выбор k(x) = a − bx, что приводит
к так называемой логистической модели (рис.
5
):
_x = ax − bx
2
; например, _x = x − x
2
:
Выбором системы единиц x и t можно превратить коэффици-
енты a и b в 1. Подчеркну, однако, что выводы, которые будут
8

A
B
x
k(x)x
A
B
x
A
B
x
t
Экспоненциальная
кривая
Рис. 5. Логистическая модель.
сделаны ниже, остаются (с точностью до числовых значений кон-
стант) справедливыми и при любых значениях коэффициентов a
и b и даже для широкого класса моделей с различными (убываю-
щими с x) функциями k(x). Иными словами, дальнейшие выводы
относятся ко всей мягкой модели, а не к специальной жесткой
логистической модели.
На рис.
5
слева изображен график функции k(x)x, положи-
тельной между точками A и B. В центре изображено векторное
поле
1
на изображающей всевозможные состояния системы оси x.
Оно указывает скорость эволюции состояния. В точках A и B
скорость равна нулю: это стационарные состояния. Между A и B
скорость положительна (население растет), а за точкой B | от-
рицательна (население убывает). Справа изображена результиру-
ющая зависимость населения от времени при разных начальных
условиях.
Модель предсказывает, что с течением времени устанавлива-
ется стационарный режим B, который устойчив: большее насе-
ление уменьшается, меньшее | увеличивается.
Логистическая модель удовлетворительно описывает много-
численные явления насыщения. Вблизи A, когда население мало,
1
Именно, в каждой точке, изображающей состояния, приложен вектор ско-
рости изменения этого состояния, т. е. _x. См., например [10], с. 32.
9

она очень близка к мальтузианской модели. Но при достаточ-
но больших x (порядка 1=2 при нашем выборе коэффициентов)
наблюдается резкое отличие от мальтузианского роста (обозна-
ченного на рис.
5
пунктиром): вместо ухода x на бесконечность
население приближается к стационарному значению B. Населе-
ние Земли сейчас приближается к 6 миллиардам. Стационарное
значение (по разным оценкам) 16 { 20 миллиардов человек.
Логистическая модель является обычной в экологии. Можно
себе представить, например, что x | это количество рыб в озере
или в мировом океане. Посмотрим теперь, как скажется на судьбе
этих рыб рыболовство с интенсивностью c:
_x = x − x
2
−
c:
Вычисления показывают, что ответ резко меняется при некото-
ром критическом значении квоты вылова, c. Для нашей жесткой
модели это критическое значение есть c = 1=4, но аналогичные
явления имеют место и для мягкой модели
_x = x − k(x)x − c
(критическое значение с в этом случае максимум функции k(x)x).
Ход эволюции числа рыб x с течением времени t изображен
на рис.
6
. Если квота c мала, то изменения (по сравнению со
свободной популяцией, для которой c = 0) состоят в следующем.
Система имеет два равновесных состояния, A и B. Состоя-
ние B устойчиво: популяция в этом случае несколько меньше,
чем необлавливаемая, но она восстанавливается при малых от-
клонениях x от равновесного значения B.
Состояние A неустойчиво: если вследствие каких-либо причин
(скажем, браконьерства или мора) размер популяции упадет хоть
немного ниже уровня A, то в дальнейшем популяция (хотя и мед-
ленно, если отличие от A невелико) будет уничтожена полностью
за конечное время.
По моему мнению, состояние науки в России в настоящее вре-
мя описывается примерно точкой A: оно еще стационарно, но, как
говорят физики, квазистационарно в том смысле, что небольшое
10

x
k(x)x
(Á)
A
B
A
B
x
c < 1=4
A
B
x
t
x
k(x)x
(Â)
x
x
t
c > 1=4
x
k(x)x
(×)
x
A
B
c = 1=4
x
t
Рис. 6. Недолов (а), перелов (б), и оптимизация (в) рыболовства.
11

встряхивание может легко привести к необратимому уничтоже-
нию.
При больших критической квотах вылова c популяция x уни-
чтожается за конечное время, как бы велика она ни была в на-
чальный момент.
Это | судьба мамонтов, бизонов, многих китов: экологи под-
считали, сколько видов погибает ежедневно под влиянием дея-
тельности человека, и эти цифры ужасают. Модели этого рода
описывают также банкротство фирм, концернов и государств.
Опасность уничтожения в нашей модели появляется тогда, когда
неустойчивое состояние A приближается к устойчивому состоя-
нию B, т. е. когда величина x опускается примерно до половины
исходной стационарной величины необлавливаемой популяции.
Население России, мне кажется, еще не понизилось до этого
смертельно опасного уровня, но, по-видимому, движется к нему.
Наука же в России находится в настоящее время именно в таких
условиях «перелова». Например, заработная плата главного на-
учного сотрудника в Математическом институте им. Стеклова
РАН (каковым я являюсь) составляет менее 100 долларов в ме-
сяц. Это раз в сто меньше зарплаты моих коллег в США (и раз
в 50 меньше, чем во Франции). Понятно, что в таких условиях
величина c (скорость убыли числа ученых в России) ограничива-
ется в основном дискриминационными мерами, принимаемыми
Западом (например, США) для охраны своих рабочих мест от
наплыва лучше подготовленных иностранных аспирантов и док-
торантов (в основном из Китая и из России).
Из сказанного видно, что выбор значения параметра c явля-
ется чрезвычайно важным моментом управления эксплуатацией
популяции x. Стремясь к увеличению квоты эксплуатации c, ра-
зумная планирующая организация не должна превосходить кри-
тический уровень (в нашем случае c 6 1=4). Оптимизация при-
водит к выбору именно критического значения c = 1=4, при
котором эксплуатируемая популяция еще не уничтожается, но
доход от эксплуатации за единицу времени достигает максималь-
но возможного значения c = 1=4 (больший доход в нашей по-
пуляции в течение длительного времени невозможен, так как
12

максимальная скорость прироста даже и неэксплуатируемой по-
пуляции есть 1=4).
Из нижней части рис.
6
мы видим, что произойдет при таком
«оптимальном» выборе, c = 1=4. Какова бы ни была начальная
популяция x > 1=2, с течением времени она выйдет на стаци-
онарный режим A = B = 1=2. Эта стационарная популяция,
однако, неустойчива. Небольшое случайное уменьшение x при-
водит к полному уничтожению популяции за конечное время.
Следовательно, оптимизация параметров плана может при-
водить (и приводит во многих случаях, из которых наша мо-
дель | лишь простейший пример) к полному уничтожению пла-
нируемой системы вследствие возникающей из-за оптимизации
неустойчивости.
Наша мягкая модель, при всей своей очевидной примитив-
ности, позволяет, однако, предъявить способ борьбы с указан-
ным злом. Оказывается, устойчивость восстанавливается, если
заменить жесткое планирование обратной связью. Иными слова-
ми, решение о величине эксплуатации (квоты вылова, налогового
пресса и т. д.) следует принимать не директивно (c = const), а в
зависимости от достигнутого состояния системы:
c = kx;
где параметр k («дифференциальная квота») подлежит выбору.
В этом случае модель принимает вид (рис.
7
)
_x = x − x
2
−
kx:
При k < 1 с течением времени устанавливается стационарное
состояние B, которое устойчиво. Средний многолетний «доход»
c = kx в этом состоянии оптимален, когда прямая y = kx про-
ходит через вершину параболы y = x − x
2
, т. е. при k = 1=2.
При этом выборе дифференциальной квоты k средний «доход»
c = 1=4 достигает максимального возможного в нашей системе
значения. Но, в отличие от жестко планируемой системы, система
с обратной связью устойчива и при оптимальном значении коэф-
фициента k (небольшое случайное уменьшение по отношению к
13

x
y
A
B c
y = x − x
2
y = kx
x − x
2
−
kx
x
B
A
x
B
A
t
Рис. 7. Устойчивая система с обратной связью.
стационарному уровню x = B приводит к автоматическому вос-
становлению стационарного уровня силами самой системы).
Более того, небольшое отклонение коэффициента от опти-
мального значения k = 1=2 приводит не к самоуничтожению си-
стемы (как это было при небольшом отклонении от оптимального
жесткого плана c), а лишь к небольшому уменьшению «дохода».
Итак, введение обратной связи (т. е. зависимости прини-
маемых решений от реального состояния дел, а не только от
планов) стабилизирует систему, которая без обратной связи
разрушилась бы при оптимизации параметров.
Все сказанное выше останется справедливым и для мягкой мо-
дели (с соответствующим пересчетом коэффициентов). Следует
подчеркнуть, что именно эта независимость от деталей жесткой
модели (которые, как правило, не слишком хорошо известны) де-
лает выводы мягкого моделирования полезными.
Попытки заменить мягкое моделирование жестким обычно
приводят к иерархии все более сложных и громоздких математи-
ческих построений, исследование которых доставляет прекрас-
ный материал для большого количества диссертаций, но реальная
ценность которых зачастую не превосходит в сущности простых
(хотя без математики и не очевидных) выводов, основанных на
анализе именно простейших моделей, подобных описанной выше.
14

x
y
(ÝÕËÉ)
(ËÁÒÁÓÉ)
A
B
Рис. 8. Эволюция популяций карасей и щук в модели Лотка-Воль-
терра.
3. Жесткие модели как путь к ошибочным
предсказаниям
Важно, чтобы простейшая модель была структурно устойчивой,
т. е. чтобы выводы выдерживали малое изменение параметров и
функций, описывающих модель. Описанная выше модель облада-
ет этим свойством структурной устойчивости. Пример модели,
не обладающей этим свойством, | знаменитая модель Лотка {
Вольтерра борьбы за существование (рис.
8
),
_x = ax − cxy;
_y = −by + dxy:
В этой модели x | число карасей, y | число щук (желающие мо-
гут считать, что x | трудящиеся, а y | организованные преступ-
ники). Коэффициент a описывает скорость естественного приро-
ста числа карасей в отсутствие щук, b | естественное вымирание
щук, лишенных карасей. Вероятность взаимодействия карася и
щуки считается пропорциональной как количеству карасей, так
и числу щук (xy). Каждый акт взаимодействия уменьшает по-
пуляцию карасей, но способствует увеличению популяции щук
(члены −cxy и dxy в правой части уравнения).
Математический анализ этой (жесткой) модели показывает,
что имеется стационарное состояние (A на рис.
8
), всякое же дру-
15

A
x
y
(1)
A
x
y
(2)
A
x
y
(3)
Рис. 9. Мягкая структурно устойчивая модель борьбы за суще-
ствование
гое начальное состояние (B) приводит к периодическому колеба-
нию численности как карасей, так и щук, так что по прошествии
некоторого времени система возвращается в состояние B.
При малом изменении модели
_x = ax − cxy + "f(x; y);
_y = −by + dxy + "g(x; y);
"  1;
к правым частям добавляются малые члены (учитывающие, на-
пример, конкуренцию карасей за пищу и щук за карасей). В ре-
зультате вывод о периодичности (возвращении системы в исход-
ное состояние B), справедливый для жесткой системы Лотка {
Вольтерра, теряет силу. В зависимости от вида малых попра-
вок f и g возможны, например, сценарии 1 { 3 рис.
9
(которые
уже структурно устойчивы).
В случае 1 равновесное состояние A устойчиво. При любых
других начальных условиях через большое время устанавливает-
ся именно оно.
В случае 2 система «идет в разнос». Стационарное состоя-
ние неустойчиво. Эволюция приводит то к резкому увеличению
числа бандитов, то к их почти полному вымиранию (вследствие
того, что они настолько ограбили трудящихся, что взять уже не-
чего). Такая система в конце концов попадает в область столь
больших или столь малых значений x и y, что модель перестает
быть применимой: происходит изменение законов эволюции, т. е.
16

революция.
В случае 3 в системе с неустойчивым стационарным состоя-
нием A устанавливается с течением времени периодический ре-
жим C (в котором, скажем, радикалы и консерваторы периодиче-
ски сменяют друг друга). В отличие от исходной жесткой модели
Лотка { Вольтерра, в этой модели установившийся периодиче-
ский режим не зависит от начального условия. Первоначально
незначительное отклонение от стационарного состояния A при-
водит не к малым колебаниям около A, как в модели Лотка {
Вольтерра, а к колебаниям вполне определенной (и не зависящей
от малости отклонения) амплитуды. Возможны и другие струк-
турно устойчивые сценарии (например, с несколькими периоди-
ческими режимами).
Вывод: жесткую модель всегда надлежит исследовать на
структурную устойчивость полученных при ее изучении резуль-
татов по отношению к малым изменениям модели (делающим
ее мягкой).
В случае модели Лотка { Вольтерра для суждения о том, ка-
кой же из сценариев 1 { 3 (или иных возможных) реализуется в
данной системе, совершенно необходима дополнительная инфор-
мация о системе (о виде малых поправок f и g в нашей формуле).
Математическая теория мягких моделей указывает, какую имен-
но информацию для этого нужно иметь. Без этой информации
жесткая модель может привести к качественно ошибочным пред-
сказаниям. Доверять выводам, сделанным на основании жесткой
модели, можно лишь тогда, когда они подтверждаются исследо-
ванием их структурной устойчивости.
4. Опасность многоступенчатого управления
Явление, описываемое в этом разделе, хорошо известно в теории
управления техническими системами. Оно наблюдается в чрез-
вычайно общей ситуации, но здесь я опишу его в самой простой
модели, заменяя лишь технические термины человеческими.
Пусть производство какого-либо продукта x управляется не-
которым руководителем, принимающим решение о скорости про-
17

изводства:
_x = y:
В свою очередь, поведение руководителя Õ управляется руково-
дителем второго ранга, принимающим решение о том, как нужно
менять скорость производства:
_y = z:
В свою очередь, поведение руководителя второго ранга z упра-
вляется руководителем третьего ранга, и т. д. вплоть до гене-
рального руководителя (ранга n).
Генеральный руководитель в нашей модели реализует обрат-
ную связь: его решение основывается не на желании выполнить
приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а
на интересах дела. Например, он может желать достичь уров-
ня X величины x и будет влиять на руководителя предыдущего
ранга в положительную сторону, если уровень x не достигнут, и
в отрицательную | если он превзойден.
Например, для n = 3 простейшая модель этого рода имеет
вид





_x = y;
_y = z;
_z = −k(x − X);
k > 0:
Эту систему можно переписать в виде линейного дифференци-
ального уравнения порядка n:
x
(n)
= −k(x − X):
Уравнения этой (жесткой) модели легко решаются в явном виде.
Устойчивость желаемого стационарного состояния (x = X, y =
= z = : : : = 0) определяется тем, отрицательны ли вещественные
части корней  характеристического уравнения

n
= −k:
18

Re 
Im 

n = 1
Re 
Im 

1

2
n = 2
Re 
Im 

1

2

3
n > 3
Рис. 10. Неустойчивость многоступенчатого управления.
Эти корни | комплексные числа, изображенные на рис.
10
.
Эти корни образуют на плоскости комплексного переменного 
вершины правильного n-угольника. Если n > 3, некоторые вер-
шины обязательно лежат в (неустойчивой) правой полуплоскости
(Re  > 0). При n = 1 корень  = −k лежит в устойчивой по-
луплоскости, а при n = 2 корни 
1;2
= ±i
√
k лежат на границе
устойчивости.
Вывод. Многоступенчатое управление, описываемое нашей
моделью при n > 3, неустойчиво. Двухступенчатое управление
приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает ката-
строфического нарастания колебаний, происходящего при трех-
и более ступенчатом управлении.
Настоящую устойчивость обеспечивает только односту-
пенчатое управление, при котором управляющее лицо более
заинтересовано в интересах дела, чем в поощрении со стороны
начальства.
Эти выводы, сделанные выше на основании анализа простей-
шей жесткой модели, на самом деле выдерживают проверку на
структурную устойчивость, исключая лишь случай n = 2: двух-
ступенчатое управление может оказаться как устойчивым, так
и неустойчивым, в зависимости от деталей организации дела,
которыми мы выше пренебрегли при составлении нашей самой
простой модели.
Длительное и, по-видимому, устойчивое функционирование
системы многоступенчатого управления в СССР объяснялось, ве-
19

роятно, неисполнением директивных указаний и существованием
«теневой» системы заинтересовывания управляющих различных
рангов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности
(которая в современных условиях уже не обязательно обеспечи-
вается коррупцией) многоступенчатое управление всегда ведет к
разрухе.
К счастью, необходимость в независимости Центробанка
уже хорошо понята, но многоступенчатое («административное»)
управление сохраняется во многих других случаях.
5. Математические модели перестройки
Самые простые и самые общие математические модели этой
сильно нелинейной ситуации приводят здесь к выводам, которые
могут показаться неожиданными для управленцев, привыкших
иметь дело с линейными системами, в которых результаты про-
порциональны усилиям.
Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего из-
дания моей книжки «Теория катастроф» (М., Наука, 1990) (в
предыдущих изданиях эти выводы поместить не удавалось по
причинам, исчезнувшим | надеюсь, не только временно | вслед-
ствие самой перестройки).
Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установив-
шемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в
пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устой-
чивое состояние системы
2
(рис.
11
).
Вот некоторые простейшие выводы:
1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу
же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномер-
ном движении к лучшему состоянию увеличивается.
2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопро-
тивление системы изменению ее состояния растет.
2
Сама по себе рыночная экономика | не панацея: согласно знаменитой
теореме Дебрё она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к
любому хаосу.
20

Административная
система
Предприимчивость
Рыночная экономика
Благосостояние
Рис. 11. Перестройка с точки зрения теории перестроек.
3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое
плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения
лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивле-
ния состояние продолжает ухудшаться.
4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути
перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, на-
чинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние прой-
дено, не только полностью исчезает, но система начинает притя-
гиваться к лучшему состоянию.
5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее
состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивает-
ся по мере совершенствования системы. Слабо развитая система
может пройти в лучшее состояние почти без предварительно-
го ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей
устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение не-
способна.
6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, пе-
ревести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к
хорошему, то дальше она будет сама собой эволюционировать в
сторону хорошего состояния.
С этими объективными законами функционирования нели-
нейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь
простейшие качественные выводы. Теория доставляет также ко-
21

личественные модели, но качественные выводы представляются
более важными и в то же время более надежными: они мало зави-
сят от деталей функционирования системы, устройство которой
и численные параметры могут быть недостаточно известными.
Наполеон критиковал Лапласа за «попытку ввести в управле-
ние дух бесконечно малых»
3
. Математическая теория перестро-
ек | это та часть современного анализа бесконечно малых, без
которой сознательное управление сложными и плохо известными
нелинейными системами практически невозможно.
Теория мягкого моделирования | это искусство получать от-
носительно надежные выводы из анализа малонадежных моделей.
Ниже приведена еще одна модель, объясняющая довольно неожи-
данные наблюденные законы.
6. Статистика первых цифр степеней двойки
и передел мира
Первая цифра числа 2
n
бывает единицей примерно в 6 раз ча-
ще, чем девяткой. Так же распределены первые цифры населения
и площади стран мира. (Я предполагаю, что и первые цифры,
скажем, численностей или капиталов компаний подчиняются то-
му же распределению, но не располагаю нужными для проверки
данными).
Предлагаемое ниже объяснение превращается в теорему при
фиксации простейшей жесткой модели (такие теоремы можно,
по-видимому, доказать и для широкого класса других жестких
моделей, так что вся теория, видимо, оправдывается и при мяг-
ком моделировании).
Последовательность первых цифр первых чисел 2
n
(n =
= 0; 1; 2; : : : ):
1; 2; 4; 8; 1; 3; 6; 1; 2; 5; 1; : : :
содержит очень много единиц. Можно проверить, продолжив вы-
числение, что единицы составляют асимптотически около 30%
3
Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром,
требовал, чтобы все счета сходились до копейки.
22

x
2x
3x
0
Рис. 12. К теореме Вейля.
членов этой последовательности. Этот результат следует из те-
оремы Г. Вейля (доказанной около ста лет назад), согласно ко-
торой последовательность дробных долей {nx} чисел nx, где x
иррационально, равномерно распределена на отрезке от 0 до 1.
(Дробная доля числа a | это разность {a} = a − [a] между a и
наибольшим целым числом [a], не превосходящим a.)
Теорема Вейля означает, что если точка прыгает по окруж-
ности длины 1 шагами, несоизмеримыми с ее длиной (рис.
12
),
то доля времени, проводимого прыгающей точкой в каждой ду-
ге, пропорциональна длине дуги (и не зависит от расположения
дуги на окружности).
Первая цифра i числа определяется тем, в какой из отрезков
между точками lg i и lg(i+1) попадает дробная часть (мантисса)
его логарифма (здесь и далее логарифмы десятичные).
Поскольку lg 2
n
= n lg 2, а число x = lg 2 иррационально, тео-
рема Вейля доставляет равномерное распределение точек {lg 2
n
}
на отрезке от 0 до 1. Следовательно, доля чисел 2
n
, имеющих
первой цифрой десятичного разложения i, составляет длину p
i
отрезка от lg i до lg(i + 1). Мы получаем таким образом следую-
щую статистику первых цифр чисел 2
n
(в процентах):
i
1
2
3
4 5 6 7 8 9
100p
i
30 17 12 10 8 7 6 5 5
Например, доля единиц составляет p
1
= lg 2 ≈ 0;30103 : : :, что
примерно в 6 раз больше доли девяток.
23

Такое же распределение имеют первые цифры членов любой
геометрической прогрессии (например, 3
n
). Исключение соста-
вляют, конечно, прогрессии 10
n
, (
√
10)
n
,. . . и вообще прогрессии
со знаменателями 10
p=q
, где p и q целые.
Лет двадцать назад Н. Н. Константинов обратил мое внима-
ние на то, что первые цифры населения стран мира подчиняют-
ся тому же странному распределению: единиц примерно вшесте-
ро больше, чем девяток. Вот мое тогдашнее объяснение этого
явления. Рассмотрим последовательность, образованную числен-
ностями населения фиксированной страны в последовательные
годы. Согласно теории Мальтуса, эти числа образуют геоме-
трическую прогрессию. Согласно теореме Вейля, первые цифры
распределены так же как первые цифры степеней двойки. Перей-
дем теперь к статистике населения разных стран в один и тот
же год. Согласно «эргодическому принципу» временные средние
можно заметить пространственными: статистика первых цифр
должна оказаться такой же, как для одной страны.
(Эргодический принцип | то же самое соображение, согласно
которому для исследования эволюции дерева в лесу нет необхо-
димости ждать, когда оно вырастет из семени и умрет, а можно
просто посмотреть на деревья разных возрастов. Здесь мы при-
менили этот принцип в обратную сторону, вычисляя статистику
по странам на основании знаний об эволюции одной страны.)
Для контроля я сравнил числа страниц в книгах на полке в
моей библиотеке, длины рек и высоты гор. Во всех этих случаях
доли единиц и доли девяток среди первых цифр полученных чисел
оказались близкими. Книги, горы и реки не растут в геометриче-
ской прогрессии, теория Мальтуса к ним неприменима. Поэтому
различие статистик первых цифр в числах, выражающих числен-
ности населения и, скажем, длины рек, служат своеобразным
подтверждением формулы Мальтуса (согласно которой населе-
ние либо растет в геометрической прогрессии, либо убывает, как
мы это сейчас наблюдаем в России).
Однако лет десять назад М. Б. Севрюк обнаружил, что не
только население, но и площади стран мира подчиняются такому
же странному закону распределения первых цифр, как степени
24

двойки
4
. К площадям теория Мальтуса, по-видимому, неприме-
нима, так что возникает вопрос | как объяснить это поведение
площадей:
i
1
2
3
4 5 6 7 8 9
100p
i
29 21 10 11 6 6 8 3 6
Оказывается, целый ряд моделей передела мира приводит именно
к такому распределению. Простейшая модель (для которой уста-
новление указанного распределения | теорема) такова: за еди-
ницу времени страна с вероятностью 50% делится пополам, а с
вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же пло-
щади.
Эта жесткая модель допускает точное математическое иссле-
дование, показывающее, что доля времени, в течение которого
первая цифра площади страны будет единицей (соответствен-
но, i) составляет lg 2 ≈ 0;3 : : : (соответственно, lg(i + 1) − lg i).
Компьютерные эксперименты (проведенные М. В. Хесиной в
Торонто и Ф. Аикарди в Триесте летом 1997 года) показывают,
что такое же распределение устанавливается в большом числе
других моделей. Например, можно предположить, что за едини-
цу времени любая из стран (с площадями x
k
) с вероятностью 1=2
объединяется со случайно выбранной другой (образуя страну
площади x
k
+ x
l
), а с вероятностью половина делится на две
равные части.
Начиная с сотни стран площадей, скажем, x
k
= k, можно
уже через сотню шагов получить хорошее приближение к нашему
стандартному распределению.
Деление на равные части можно заменить делением на ча-
сти площадей px
k
и (1 − p)È
k
(Квебек, Украина,. . . ), вероятности
объединения и деления можно сделать различными | результа-
ты численного эксперимента малочувствительны к этим измене-
ниям модели. Можно даже ввести в рассмотрение географиче-
4
Это распределение может показаться менее странным, если заметить,
что это | единственное распределение, не зависящее от того, в каких едини-
цах измеряются площади (будь то квадратные километры, квадратные мили,
квадратные футы, квадратные дюймы и т. д.).
25

ское положение стран, разрешив объединение лишь с соседями
(пренебрегая существованием в свое время Восточной Пруссии,
а ныне | Калининградской области). Численные эксперименты
приводят к тому же распределению (будем ли мы моделировать
географию земного шара окружностью, или сферой, отрезком
или прямоугольником).
Таким образом, наше распределение является, по-видимому,
свойством мягкой модели, но доказательство того, что оно уста-
навливается в ее конкретных реализациях в виде жестких моде-
лей | трудная и далеко не решенная математическая задача.
Математика, подобно физике, | экспериментальная наука,
отличающаяся от физики лишь тем, что в математике экспери-
менты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения
математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических
отделений (а, следовательно, производительность наших матема-
тиков в соответствующее число раз выше).
7. Математика и математическое образование
в современном мире
«No star wars | no mathematics», | говорят американцы. Тот
прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного
противостояния математика, как и все фундаментальные науки,
перестала финансироваться, является позором для современной
цивилизации, признающей только «прикладные» науки
5
, ведущей
себя совершенно подобно свинье под дубом.
На самом деле никаких прикладных наук не существует и ни-
когда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи
Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных
человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения
науки.
Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными
5
Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде
парапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (в
1997 году зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет
своего объяснения.
26

правителям и военачальникам XVIII века. Но именно они изме-
нили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали
уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фунда-
ментальной науки окупили все затраты человечества на нее на
сотни лет вперед. Отказ современных правителей платить по это-
му счету | удивительно недальновидная политика, за которую
соответствующие страны, несомненно, будут наказаны техноло-
гической и следовательно экономической (а также и военной)
отсталостью.
Человечество в целом (перед которым ведь стоит тяжелейшая
задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) долж-
но будет заплатить тяжелую цену за близоруко-эгоистическую
политику составляющих его стран.
Математическое сообщество несет свою долю ответствен-
ности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны пра-
вительств и общества в целом, направленное на уничтожение
математической культуры как части культурного багажа каждо-
го человека и в особенности на уничтожение математического
образования.
Выхолощенное и формализованное преподавание математики
на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли це-
лые поколения профессиональных математиков и преподавателей
математики, умеющих только это и не представляющих себе воз-
можности какого-либо другого преподавания математики.
Наиболее характерными приметами формализованного пре-
подавания является изобилие немотивированных определений и
непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. От-
сутствие примеров, отсутствие анализа предельных случаев и
предела применимости математических теорий, отсутствие чер-
тежей и рисунков | столь же постоянный недостаток математи-
ческих текстов, как и отсутствие внематематических приложе-
ний и мотивировок понятий математики.
Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить
дробям | разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко.
При любом другом способе обучения (аксиоматическом или ал-
гебраическом) школьники предпочитают складывать числители
27

с числителями, а знаменатели | со знаменателями.
Математика является экспериментальной наукой | частью
теоретической физики и членом семейства естественных наук.
Основные принципы построения и преподавания всех этих наук
применимы и к математике. Искусство строгого логического
рассуждения и возможность получать этим способом надежные
выводы не должно оставаться привилегией Шерлока Холмса |
каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение со-
ставлять адекватные математические модели реальных ситуа-
ций должно составлять неотъемлемую часть математического
образования. Успех приносит не столько применение готовых
рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к
явлениям реального мира. При всем огромном социальном зна-
чении вычислений (и computer science), сила математики не в
них, и преподавание математики не должно сводиться к вычи-
слительным рецептам.
В истории России был премьер-министр с математическим
образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет
по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разни-
цу между мягким и жестким математическим моделированием
6
:
Между математиками есть двоякого рода люди:
1) математики-философы, т. е. математики высшей
математической мысли, для которых цифры и ис-
числения есть ремесло; для этого рода математиков
цифры и исчисления не имеют никакого значения,
их увлекают не цифры и исчисления, а сами мате-
матические идеи. Одним словом, это математики,
так сказать, чистой философской математики; 2) на-
против, есть такие математики, которых философия
математики, математические идеи не трогают, ко-
торые всю суть математики видят в исчислениях,
цифрах и формулах. . .
Математики-философы, к которым принадлежу и
я, относятся всегда с презрением к математикам-ис-
6
С. Ю. Витте. Воспоминания, т. 3, гл. 5.
28

числителям, а математики-исчислители, среди кото-
рых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят
на математиков-философов как на людей в известном
смысле «тронутых».
Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют фи-
зиологическое происхождение. Наш мозг состоит из двух полу-
шарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шах-
маты, интриги и последовательности силлогизмов, а правое | за
пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в
реальной жизни. У «математиков-исчислителей» по терминологии
Витте гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недо-
развития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним
«Защиту Лужина» Набокова). Но доминирование математиков
этого типа и привело к тому засилью аксиоматическо-схоласти-
ческой математики, особенно в преподавании (в том числе и в
средней школе), на которое общество естественно и законно ре-
агирует резко отрицательно. Результатом явилось повсеместно
наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех пра-
вителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изни-
чтожением.
Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих
полушарий мозга. После окончания университета Витте не нашел
работы по специальности и принял предложение частной компа-
нии стать начальником дистанции на Юго-Западной железной
дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе проста-
жироваться в должности каждого из своих подчиненных (стре-
лочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного
кассира, кочегара, машиниста, начальника станции. . . ) | неоце-
нимый опыт для будущего премьер-министра.
Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен
по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение
Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу
своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следую-
щую, уже не подчинявшуюся Витте, дистанцию, скорость была,
естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов
29

и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил
имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен
министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и
премьер-министром. С его именем связана вся грандиозная эпоха
«развития капитализма в России», в том числе | строительство
действующей и сейчас сети железных дорог.
Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в про-
блемах экономики и техники, чем в политических интригах (к
которым больший талант имеют люди левополушарные). С при-
ходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в от-
ставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации крити-
ческих ситуаций, созданных политиками (русско-японская война,
революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте
оставался руководителем России в течение следующего десяти-
летия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни
мировой войны, ни революции и мы жили бы сейчас, как Фин-
ляндия или Швеция. . .
Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении
какой-либо математики («исчисления»), а в том способе мышле-
ния, который он называет «математикой-философией» и который
заставляет человека с математическим образованием думать о
всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или
бессознательного) мягкого математического моделирования.
Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в
любой экономической или производственной деятельности (ис-
ключая, быть может, политические интриги) была хорошо понята
уже сто лет назад
7
:
Не пользующаяся математическими символами чело-
веческая логика зачастую запутывается в словесных
определениях и делает вследствие этого ошибочные
выводы | и вскрыть эту ошибку за музыкою слов ино-
гда стоит огромного труда и бесконечных, часто бес-
плодных, споров.
7
В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса, изд. Распопова,
1904, 113 с., с. 5.
30

К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика
математической экономики Парето
8
:
Экономисты, не знающие математики, находятся в по-
ложении людей, желающих решить систему уравне-
ний, не зная ни того, что она из себя представляет,
ни того даже, что представляет из себя каждое вхо-
дящее в нее единичное уравнение.
Выводы: планируемое во всех странах подавление фундамен-
тальной науки и, в частности, математики (по американским
данным на это им потребуется лет 10 { 15) принесет человечеству
(и отдельным странам) вред, сравнимый со вредом, который при-
несли западной цивилизации (и Испании) костры инквизиции.
Математическое образование должно составлять неотъемле-
мую часть культурного багажа каждого школьника. Но оно не
должно никоим образом сводиться к рецептурам (будь то табли-
ца умножения или Windows 95).
Основной целью математического образования должно быть
воспитание умения математически исследовать явления реально-
го мира, умения, так хорошо описанного Витте в его характе-
ристике «математики-философии» и так блестяще использован-
ного им в вовсе не математической деятельности. Искусство со-
ставлять и исследовать мягкие математические модели является
важнейшей составной частью этого умения.
Литература
[1] В. И. Арнольд. Теория катастроф. М.: Наука, 1990, 128 с.
[2] Т. Постон, И. Стюарт. Теория катастроф и ее приложения.
М.: Мир, 1980, 608 с.
[3] Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариаци-
онное исчисление. Изд. 2-е. М.: Наука, 1969, 424 с.
8
V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf National-okonimie. Encyclopedie
der Mathematischen Wissenschaften, Band I, Heft 7, S. 1114.
31

[4] Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные урав-
нения. Изд. 5-е. М.: Наука, 1982, 331 с.
[5] Р. С. Гутер, А. Р. Янпольский. Дифференциальные уравне-
ния. Изд. 2-е. М.: Высшая школа, 1976, 304 с.
[6] М. В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. Изд. 2-е. М.: Наука, 1985, 448 с.
[7] В. В. Амелькин. Дифференциальные уравнения в приложе-
ниях. М.: Наука, 1987, 160 с.
[8] Н. П. Векуа. Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений и приложения в механике. М.: Наука, 1987, 256 с.
[9] И. Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Изд. 6-е. М.: Наука, 1970, 279 с.
[10] Д. Эрроусмит, К. Плейс. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с
англ. под ред. Н. Х. Розова. М.: Мир, 1986, 240 с.
[11] В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. М.: Наука, 1971, 240 с.
Автор благодарит Д. С. Шмерлинга за пополнение списка ли-
тературы.
32