Подбор формул по графику. Линия тренда Подбор формул со многими неизвестными Расчет стоимости недвижимости Оценка эффективности рекламы Подбор формул по графику. Линия тренда

Процесс подбора эмпирической формулы P(x) для опытной зависимости F(x) называется аппроксимацией (сглаживанием). Для зависимостей с одним неизвестным в Excel используются графики, а для зависимостей со многими неизвестными – пары функций из группы Статистические ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ, ЛГРФПРИБЛ и РОСТ.

1. 
   Линейная – y=cx+b. Это простейшая функция, отражающая рост и убывание данных с постоянной скоростью.
   
2. 
   Полиномиальная – y=c₀+c₁x+c₂x²+…+c₆x⁶. Функция описывает попеременно возрастающие и убывающие данные. Полином 2-ой степени может иметь один экстремум (min или max), 3-ей степени – до 2-х экстремумов, 4-ой степени – до 3-х и т.д.
   
3. 
   Логарифмическая – y=clnx+b. Эта функция описывает быстро возрастающие (убывающие) данные, которые затем стабилизируются.
   
4. 
   Степенная – y=cx^b, (х>0 и y>0). Функция отражает данные с постоянно увеличивающейся (убывающей) скоростью роста.
   
5. 
   Экспоненциальная – y=ce^bx, (e – основание натурального логарифма). Функция описывает быстро растущие (убывающие) данные, которые затем стабилизируются.
   

Необходимо построить функцию, наилучшим образом отражающую эту зависимость. Кроме того, необходимо оценить продажи для рекламных вложений в 6 тыс. руб.

Приступим к решению: в первую очередь введите эти данные в Excel и постройте график, как на рис. 2.48. Как видно, график построен на основании диапазона B2:J2. Далее, щелкнув правой кнопкой мыши по графику, добавьте линию тренда, как показано на рис. 2.48.

В открывшемся окне настройки (рис. 2.49), в закладке Тип выберите для аппроксимации логарифмическую линию тренда (по виду графика). В закладке Параметры установите флажки, отображающие на графике уравнение и коэффициент детерминации.

После нажатия ОК Вы получите результат, как на рис. 2.50. Коэффициент детерминации R²=0.9846, что является неплохой степенью близости. Для подтверждения правильности выбранной функции (поскольку других теоретических соображений нет) спрогнозируйте развитие продаж на 10 периодов вперед. Для этого щелкните правой кнопкой по линии тренда – измените формат – после этого в поле Прогноз: вперед на: (рис. 2.49) установите значение 10.



Рис. 2.48


Рис. 2.49


Рис. 2.50
После установки прогноза Вы увидите изменение кривой графика на 10 периодов наблюдения вперед, как на рис. 2.51. Он с большой долей вероятности отражает дальнейшее увеличение продаж с увеличением рекламных вложений.


Рис. 2.51
Теперь вернитесь к состоянию рис. 2.50, нажав кнопку Отменить на Панели инструментов. Попробуйте изменить формат линии тренда – установите полиномиальную линию тренда полиномом 2-ой степени – получите рис. 2.52.


Рис. 2.52
Как видно, полученная формула аппроксимирует исходную зависимость (на отрезке B2:J2) с большей степенью близости, т.к. R²=0.9973. В то же время, если сделать прогноз на 10 периодов вперед, то он будет не совсем верно отражать реальность: продажи не могут уменьшаться с увеличением рекламных вложений. Убедитесь в этом: сделайте прогноз на 10 периодов наблюдения вперед и получите график.

Опять вернитесь к состоянию рис. 2.50, нажав кнопку Отменить. Для вычисления продаж при рекламе в 6 тыс. руб. запишите в ячейку К2 формулу =23,796*LN(K1)+0,5961: должно получиться 43,2 тыс. штук.

1. 
   Постройте функцию, наилучшим образом отражающую зависимость и спрогнозируйте значения для следующего периода наблюдения со значением 5, основываясь на следующих данных:
   

2. 
   Концентрация ядовитого вещества в водоеме изменялась во времени согласно таблице:
   

Определите вид зависимости концентрации от времени и расчетную концентрацию в момент выброса.

В настоящем разделе рассматривается аппроксимация экспериментальных данных с помощью функций ЛИНЕЙН, ТЕНДЕНЦИЯ, ЛГРФПРИБЛ и РОСТ. Функции ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ применяют для восстановления линейных зависимостей вида y=b+a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n, а функции ЛГРФПРИБЛ и РОСТ - для нелинейных (показательных) зависимостей вида y=ba₁^X1a₂^X2…a_n^Xn.

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ возвращают массив с т.н. регрессионной статистикой, в котором содержатся вычисленные значения параметров (b,a₁,a₂,…a_n), коэффициент детерминации R² и другие данные, характеризующие аппроксимирующую функцию. Формат функций ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБЛ и их применение поясним на примере.

Расчет стоимости недвижимости
Агентство недвижимости оценивает однокомнатные квартиры по трем переменным: х1 – общая площадь, х2 – площадь кухни, х3 – этаж квартиры, предполагая, что между каждой переменной х1, х2, х3 и зависимой переменной y (стоимость) существует линейная зависимость. Подобрать формулу для вычисления стоимости однокомнатных квартир и вычислить стоимость квартиры с данными: х1=42кв.м, х2=11кв.м, х3=5эт. Собранные рекламные данные занесены в приведенную ниже таблицу.


Последовательность действий для решения задачи следующая:

1. 
   Заведите приведенную таблицу в Excel, в ячейки A1:D14.
   
2. 
   Выделите диапазон ячеек B17:E21 (рис. 2.54) для сохранения результатов вычислений функции ЛИНЕЙН – массива регрессионной статистики.
   
3. 
   Вызовите мастер функций, выберите статистическую функцию ЛИНЕЙН и заполните параметры функции как на рис. 2.53. Параметр Изв_знач_y содержит диапазон D2:D14, т.е. известные значения y. Параметр Изв_знач_х содержит диапазон A2:C14, т.е. известные значения х. Параметр Стат=1, поскольку мы хотим получить дополнительную статистику.
   

4. 
   После нажатия ОК встаньте на строку формул и нажмите Ctrl+Shift+Enter. В результате должен получиться массив значений, показанный на рис. 2.54. Интересующие нас коэффициенты выделены на рисунке (подробнее см. справку F1). Коэффициент детерминации R²=0.9725 вполне удовлетворителен. Таким образом, искомая формула имеет вид:
   

Y = 1,36*х1 + 0,1*х2 – 0,21*х3 – 19,27

5. 
   После подбора формулы осталось вычислить стоимость при х1=42, х2=11, х3=5. В любую ячейку запишите выражение =1,36*42+0,1*11–0,21*5–19,27. В результате получится y=37.9 тыс. $.
   

Использование функции ТЕНДЕНЦИЯ покажем на этом же примере для расчета стоимостей различных вариантов квартир, как показано на рис. 2.55.

Кроме этого, надо вычислить процент увеличения оборота в прессе при затратах 2 тыс.$ и на телевидении при затратах в 22 тыс.$. Дополнительно вычислите проценты для всех масс-медиа при затратах 2, 17 и 25 тыс.$.

Для решения задачи в первую очередь следует правильно разместить данные – рис. 2.57.


Рис. 2.57
Затем вычислите массив с регрессионной статистикой функцией ЛИНЕЙН: выделите диапазон ячеек F2:H6 и проделайте известные из предыдущего примера действия. В итоге должен получиться массив:

Как видно, коэффициент детерминации R²=0.8757 не удовлетворителен. Поэтому выполните подбор формулы с помощью функции для нелинейных зависимостей ЛГРФПРИБЛ: выделите диапазон ячеек F2:H6 и проделайте известные из предыдущего примера действия. В итоге должен получиться массив:

В этом случае коэффициент детерминации R²=0.989 вполне удовлетворителен и можно записать искомую аппроксимирующую формулу показательного типа (т.к. использована функция ЛГРФПРИБЛ):

Y = 0,44 * 0,46^х1 * 1,08^х2

В заключении, вычислите проценты для всех масс-медиа при затратах 2, 17 и 25 тыс.$. Подготовьте данные, колонки J и K, как на рис. 2.58.

1. 
   Источник радиоактивного излучения помещен в жидкость. Датчик расположен на расстоянии (х1) 20, 50 и 100 см от источника. Измерения интенсивности излучения (y, мРн) проводились через 1, 5 и 10 суток (х2) после установки источника. Необходимо подобрать аппроксимирующее уравнение. Результаты измерений приведены в таблице:
   

2. 
   В бассейне проводится ежедневная частичная смена воды. Необходимо подобрать формулу для вычисления уровня воды в бассейне, которая зависит от двух переменных: х1 – длительность впуска воды, х2 – длительность выпуска воды. Кроме этого, необходимо вычислить значения уровня воды для х1[90;140] с шагом 10 и х2[10;30] с шагом 5. Исходные данные - результаты наблюдений за неделю приведены в таблице: