Производство энтропии у звезд главной последовательности

Энтропия и ее производство уже более века являются важнейшими величинами не только для неравновесной статистической физики и термодинамики, но и для всего естествознания. Они первостепенны при обсуждении вариационных принципов неравновесной физики, вопросов порядка и беспорядка в природе, возникновения и передачи информации, проблем необратимости и направления времени и т.д █. Начиная с трудов P. Клазиуса с его концепцией тепловой смерти Вселенной и до настоящего времени, работы, связанные с энтропией, всегда находились в центре внимания астрофизики и космологии. В настоящее время эту величину и ее производные привлекают при обсуждении загадок черных дыр █, вопросов связанных с ускоренным расширением Вселенной █, построении и обобщении теорий гравитации █ и т.д. Однако большинство работ, являясь сугубо теоретическими, уделяют первостепенное внимание установлению функциональных связей между переменными с помощью рассмотрения энтропии и ее производства. Количественные расчеты производства энтропии для астрофизических объектов практически не проводятся, в редких случаях используются приблизительные оценки, даже для относительно хорошо изученных объектов, таких как, например, звезды █. Вместе с тем, очевидно, что подобные расчеты являются крайне важными для наших представлений о физике окружающего нас мира. Так, звезды являются самыми распространенными объектами во Вселенной, они сосредотачивают в себе более 97% массы всего видимого нами космического вещества. Звезды бывают различных типов, они рождаются, живут, стареют и умирают; без их существования во Вселенной вряд ли могла возникнуть Жизнь. Но чему равно их производство энтропии, как оно зависит от типа звезды, от времени ее жизни? На эти вопросы нет ответа в современной литературе, несмотря на то, что необходимые для расчета производства энтропии величины известны. Помимо оценок производства энтропии для Солнца¹, никакой другой информации в настоящее время нет. Таким образом, важнейшая с точки зрения неравновесной физики величина – производство энтропии не рассчитывалось и не анализировалось для важнейших и самых распространенных объектов во Вселенной - звезд. Первым шагом в направлении ликвидации этого парадокса и явилась данная работа. В работе рассмотрен лишь наиболее распространенный тип звезд- звезды главной последовательности. Здесь необходимо отметить, что с удовлетворительной точностью, основываясь на наблюдательных данных, эта работа стала возможна совсем недавно, так как, именно в последнее время появились методики, позволяющие с достаточно высокой точностью определять такие важные с точки зрения термодинамики величины звезд, как эффективная температура T_eff и болометрическая поправка BC.

В качестве объекта исследования в работе выбраны звезды, принадлежащие рассеянным звездным скоплениям. Это является очень удобным, так как по современным представлениям звезды одного звездного скопления имеют относительно легко определяемый одинаковый возраст и показатель металличности [Fe/H]. Кроме того, звезды скопления располагаются практически на одинаковом расстоянии от Земли, благодаря чему при преобразовании их фотометрии можно использовать одни и тот же показатель избытка цвета E(B-V) и модуль расстояния (V-Mv). Благодаря достаточной разреженности звезд в рассеянных скоплениях, их можно точнее профотометрировать в отдельности, нежели отдельные звезды шаровых скоплений. Все перечисленные выше причины являются существенным достоинством звезд рассеянных скоплений, позволяя уменьшить погрешности расчета и получить однородные выборки звезд разной массы и известного возраста.

Важность исследования звезд принадлежащих скоплениям связано также с тем, что распределение звезд по массе в них по современным представлениям подобно распределению звезд в Галактике. Поэтому исследуя звезды в ближайших к нам скоплениях, мы получаем представления о звездах принадлежащим существенно большим (галактическим) пространственным масштабам.

Для классификации звезд используют так называемую HR-диаграмму. HR -диаграмма, как правило, строится либо в координатах показатель цвета (B-V)o versus абсолютная звездная величина Mv или эффективная температура T_eff versus светимость L. На H-R diagram звезды образуют отдельные группировки, именуемые последовательностями. Около 90 % наблюдаемых звезд - это звезды Главной последовательности, которая тянется узкой полосой от горячих звезд высокой светимости до холодных звезд-карликов низкой светимости (см. Fig. 2.1). Выделяются также последовательности звезд-гигантов, звезд-сверхгигантов, и некоторые другие. Положение звезды на HR определяется ее массой, возрастом и химическим составом. Чем больше масса звезды, находящаяся на главной последовательности, тем большую светимость и температуру она имеет.

В работе были использованы фотометрические данные по рассеянным звездным скоплениям из базы данных Webda █. Для каждой звезды скопления в Webda приводятся полученные из прямых наблюдений фотометрические данные: видимая звездная величина и показателя цвета , а также показатель металличности [Fe/H], избыток цвета и модуль расстояния . Для расчетов исходные фотометрические данные переводятся в абсолютные величины: абсолютную звездную величину и поправленный показатель цвета по следующим формулам █:

где поправка на межзвездное поглощение, Rv – постоянная величина для данной фотометрической полосы (B-V) █.

Эффективная температура определялась, используя значения , с помощью полуэмпирических зависимостей, предложенных в работах █. В зависимости от класса звезды, который был определен на основании █ и коэффициента металличности Fe/H из █ нами выбирались наиболее современные полуэмпирические зависимости расчета температуры. При этом оказалось, что: (1) для примерно 60% всех звезд оказалась пригодна калибровка █, методика которого учитывает коэффициент [Fe/H] и применима для звезд главной последовательности и субгигантов с существенными ограничениями для диапазона (B-V)₀ и коэффициента [Fe/H]; (2) для примерно 10% звезд оказалась пригодна калибровка █, методика, которого также учитывает [Fe/H] и применима для звезд главной последовательности и гигантов; (3) для примерно 30 % оказалась пригодна калибровка █, методика которого не учитывает показатель [Fe/H], но в то же время не имеет существенных ограничений на (B-V)₀ диапазон и применима практически для всех классов звезд (главной последовательности, субгигантов, гигантов и супергигантов).

Для расчета светимости L использовалась формула Погсона █:

где , -светимость и абсолютная болометрическая звездная величина для Солнца, соответственно █, █, BC - болометрическая поправка, рассчитанная нами в работе на основе при помощи полуэмпирических зависимостей, предложенных в работе █.

Производство энтропии Σ в звезде (в объеме, внутри фотосферы) имеет ряд вкладов, связанных с происходящими термоядерными реакциями, конвекцией, взаимодействием излучения и вещества и т.п. [….]. Примем наиболее распространенное предположение, что фотосфера звезды является в первом приближении абсолютно черным телом. Термодинамика излучения в этом случае является хорошо известной и наиболее простой. Как известно, звезда большую часть времени своей жизни находится в nonequilibrium steady state █, как следствие полное производство энтропии Σ внутри фотосферы звезды будет равно потоку энтропии с поверхности фотосферы █, т.е.:

(2.4)

Помимо полного производства энтропии звезды введем удельное (на единицу объема) производство энтропии Σ_V для звезды радиуса R, как:

или, используя формулу Стефана-Больцмана, Eq.(2.5) можно преобразовать к виду:

, (2.6)

где , - постоянная Стефана-Больцмана.

Величины Σ и Σ_V , как видно из вышеизложенного, удается получить на основе прямых фотометрических измерений. По этой причине только их значения ниже рассчитываются и анализируются. Другая распространенная в неравновесной термодинамике величина, связанная с производством энтропии: удельное на массу производство энтропии Σ_M в настоящей работе не рассматривается. Это связано с тем, что для определения массы звезды необходимо использование той или иной теоретической модели звезд и, как следствие, требуются дополнительные допущения. В результате расчет Σ_M оказывается основанным не только на опытных данных, а комбинированным. Это затрудняет анализ ошибки определения Σ_M.
4. Данные для расчетов, погрешность.

В работе были использованы фотометрические данные по рассеянным звездным скоплениям из базы данных Webda. При отборе скоплений для исследования использовались следующих критерии: 1) наличие всей необходимой фотометрической информации для расчета по Eqs.(2.1)-(2.5); 2) наличие информации о вероятности принадлежности звезд к скоплению (из анализа их собственных движений) и о двойных звездах; 3) скопления должно содержать достаточно большое число звезд и быть расположено примерно на одинаковом расстоянии от Солнца; 4) HR диаграммы скоплений должны хорошо апроксимироваться теоретическими isochrones █ соответствующего ей в базе Webda возраста и металличности.

В результате была получена выборка из 11 скоплений (NGC 884, NGC 869, IC 4725, NGC 2516, NGC 1039, NGC 3532, NGC 2099, NGC 2281, NGC 2506, NGC 2682, NGC 188), содержащих только single звезды с вероятностью членства больше 0.5 с количеством от 56 до 900 звезд в скоплении. Возраст скоплений изменялся в пределах от 12.6 Myr до 6.3 Gyr.

Основываясь на точности, с которой приводятся фотометрические данные и погрешности калибровок █, мы оценили погрешность расчета производства энтропии по используемой нами методике. Относительная ошибка от погрешности калибровок T_eff вне зависимости от класса звезды не превышает 3% для Σ и не превышает 12% для Σ_V. Вместе с тем относительная ошибка производства энтропии от точности фотометрических данных существенно зависит от температуры и светимости звезд. Так, для звезд главной последовательности с температурой до 5000 K ошибка для Σ и Σ_V не превышает, соответственно, 19% и 15%; для звезд главной последовательности с температурой в диапазоне от 5000 К до 10000 К ошибка не превышает, соответственно, 17% и 32%, а для звезд с температурой более 12000 K величина ошибки оказывается выше 23% и 40%, соответственно.

Для удобства расчета температуры, светимости и производства энтропии (и их статистических характеристик) у звезд скоплений по описанному выше алгоритму использовался специально разработанный программный комплекс Star Clusters (SC) █.
5. Результаты и обсуждение

Приводимые ниже данные для удобства анализа нормировались на солнечные величины, которые были рассчитаны на основе Eq.(2.1)-Eq.(2.6) и справочных данных, приведенных в █. Их значения оказались равными: , , , . Эти результаты хорошо согласуются с данными, которые приводятся в литературе █.

Результаты расчета Σ и Σ_V для звезд, принадлежащих главной последовательности, приведены на Fig.5.1-5.3. На основании них можно сделать следующие выводы:

1) Диапазон наиболее вероятных значений производства энтропии существенно шире соответствующего диапазона для значений удельного производства энтропии. Для первого случая диапазон составляет от 0.3 до 400 солнечных единиц (медиана равна 6.3), а для второго 0.5 до 1.8 (медиана равна 0.9) (Fig.5.1).

2) Как видно (Fig.5.2) полное производство энтропии звезд сильно возрастает при увеличении светимости (примерно по закону Σ10 ^L), в то время как значение удельного производства энтропии звезд очень слабо зависит от светимости. Действительно, при увеличении L более чем в 10⁴ раз (от 0.1 до 10³ L_○) увеличение Σ_V составляет всего от 0.4 до 1, и лишь при светимостях более 10³L_○ увеличение становится значительным.

3) Как Σ, так и Σ_V увеличиваются при увеличении температуры примерно по показательному закону, однако скорость увеличения существенно у них разная: Σ(T_eff) увеличивается примерно в 100 раз быстрее чем Σ_V (T_eff) (Fig.5.3).

Выше были приведены данные связанные с производством энтропии звезд разной массы. Как видно Σ_V незначительно меняется для звезд принадлежащих MS. Чтобы подробнее исследовать эту величину рассмотрим распределение Σ_V для звезд, относящихся к одному скоплению. Примеры гистограмм Σ_V, а также график поведения Σ_V от возраста представленные на Fig.5.4(a-c), Fig.5.5. Видно, что вне зависимости от возраста рассеянного звездного скопления распределение удельного производства энтропии практически не меняется как по расположению, так и по типу. Большая часть звезд, принадлежащих к скоплению, имеют очень близкое к солнечному удельное производство энтропии, и это значение практически не зависит от возраста, который изменяется на три порядка. Эти результаты не удивительны. Действительно, как хорошо известно, подавляющая часть звезд в скоплении - это MS звезды. С возрастом уменьшается доля высокотемпературных звезд в скоплении². Однако, доля этих звезд относительно общего числа MS звезд достаточно небольшая, а также значения Σ_V этих уходящих с главной последовательности звезд слабо отличается от Σ_V для оставшихся (см. Fig.5.2 и Fig.5.3). Все это делает результат, представленный на Fig.5.5, прогнозируемым. Однако, согласно проведенным расчетам, с возрастом уменьшается (примерно в три раза) интервал Σ_V в котором распределена большая часть (90%) звезд скопления. Причины этого до конца не ясны и требуют дальнейшего изучения. Возможными объяснениями могут быть как уменьшением ошибки проводимых расчетов (в связи с тем, что с возрастом доля звезд, имеющих большие температуры уменьшается, а для них, как говорилось выше, погрешности расчета исследуемых параметров достаточно велики), так и с какими-то другими более фундаментальными причинами.

Эмпирически обнаруженная слабая зависимость Σ_V от температуры (светимости, массы) звезды на качественном уровне не противоречит известным моделям звезд. Так, согласно работам █:

где и - соответственно, плотность и температура в центре звезды, - число, равное от 4 до 8 в случае термоядерной реакции по pp-циклу и равное от 15 до 16 в случае термоядерной реакции по CNO-циклу. Известно, что pp-цикл является преобладающим для звезд главной последовательности c массами звезд, не сильно превышающими солнечную, в то время как реакции по CNO-механизму преобладает для массивных звезд главной последовательности, гигантов и супергигантов █. С увеличением массы центральная плотность звезд уменьшается, а их central temperature возрастает. При этом, как хорошо известно █, возрастание температуры происходит существенно медленнее, чем уменьшение плотности. Благодаря такому разнонаправленному поведению можно качественно объяснить слабое изменения удельного производства энтропии при изменении массы. Более подробные численные расчеты, проведенные нами, с использованием модели █, подтверждают приведенные приближенные оценки на основе Eq. (4.1).

Наиболее важным результатом работы является обнаруженный достаточно узкий диапазон значений удельного (на объем) производства энтропии от 0.5 до 1.8 солнечных величин (медиана равна 0.9) для звезд, относящихся к главной последовательности. Удивительно, что эта величина слабо изменяется для звезд главной последовательности, при изменении светимости рассматриваемых звезд в ≈10⁴ раз, температуры в ≈ 4 раза, а объема в ≈300 раз.

1 Производства энтропии Солнца █ и █.