Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками

1. 
   Теоретическая часть.
   

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (см. рис.). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Охуz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М₁, М₂ и М₃ точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат (см. рис.). Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х = ОМ₁, если М₁ точка положительной полуоси; х = -ОМ₁, если М₁ точка отрицательной полуоси; х = 0, если М₁ совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки М₂ определяется вторая координата (ордината) y точки М, а с помощью точки М₃ третья координата (аппликата) z точки М. Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z), причем первой указывают абсциссу, второй ординату, третьей – аппликату.

Например

А (9; 5; 10)

В (4; -3; 6)

С (9; 0; 0)

Е (4; 0; 5)

Е (0; 3; 0)

F (0; 0; -3).

Если точка М (х; у; z) лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если М ϵ Оху, то аппликата точки М равна нулю: z = 0. Аналогично если М ϵ Охz, то у = 0, а если М ϵ Оуz, то х = 0. Если М ϵ Ох, то ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и z = 0 (например, у точки С на рисунке). Если М ϵ Оу, то х = 0 и z = 0; если М ϵ Оz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты начала координат равны нулю: 0 (0; 0; 0).

Рассмотрим точки А₁(х₁; у₁; z₁) и А₂(х₂; у₂; z₂) и найдем расстояние между ними:

Например. Найдите расстояние между точками А(2; 5;6) и В(7;3;2).

2. 
   Практическая часть.
   

1. 
   Найти координаты точек:
   

2. 
   Работа с учебником: выполнить задание 776, 796, 797.
   

3. 
   Домашнее задание.