Реферат по математике «индийская математика» ученица 11а класса Шлема Екатерина Проверила

Выполнила:

ученица 11а класса

Шлема Екатерина

Севостьянова Вера Михайловна

Санкт-Петербург

2011г

начальные формы математических теорий возникают в математике около VI—V вв. до н. э.

Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. _{В результате длительного исторического развития из повсе­дневной практической деятельности людей сформировались такие математические понятия как: площади, объемы и другие абстракции пространственных свойств предметов.}например, понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. Следы этого сохранились в названии математических исчислений: напри­мер, calculus в переводе с латинского означает счет камешками. [1]

Можно выделить несколько этапов развития математики: египетский, вавилонский, китайский, индийский, греческий… каждый из которых имеет свои особенности и достижения.

В своём реферате я хочу подробнее рассмотреть индийский период математики.

Глава II. Особенности индийской математики.
Индийский период математики – один из самых древних периодов развития этой науки. Особенностью его является то, что научные труды написаны на санскрите в стихотворной форме.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?» [3]

Кроме стихотворных задач были ещё и задачи, связывающие алгебру с астрономbей, биологией.

Пятая часть пчелиного роя села на цветок кадамба, треть — на цветок силиндха. Утроенная разность последних двух чисел пчел направилась к цветам кутая и осталась еще одна маленькая пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная ароматом жасмина и пандуса. Спрашивается, сколько всего пчел.

Два светила находятся на данном расстоянии (d) друг от друга, движутся одно к другому с данными скоростями и . Определить точку их встречи. [4]

То реальные задачи, основанные на жизненных ситуациях. Соответствует о том, что индийцы не просто решали их, а применяли науку в практической жизни.

Особое внимание индийцы уделяли алгебре, их символика гораздо богаче греческой. Геометрия по каким-то причинам уходила у них на второй план, хотя нельзя сказать, что не изучалась совсем, все доказательства теорем состояли из чертежей и слов: «см. формулу…» [2]. Из геометрии индийские математики подробно изучали сферическую тригонометрию.
Глава III. Достижения индийской математики.
Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Самым великим достижением было открытие десятичной позиционной системы записи чисел, а также 0, которая с некоторыми изменениями используется в наше время.

Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков.

Индийцы заложили основы комбинаторики и многих тригонометрических расчётов, а также действия с дробями, извлечение корней, рациональные приближения для корней (сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово «мула» имело 2 значения: «основание» и «корень растения», переводчики выбрали ошибочное значение), решения неопределённых, линейных и квадратных уравнений, систем неопределённых уравнений первой степени, суммирование геометрической и арифметической прогрессии, способы нахождения первого члена прогрессий, а также их разности (1), теорема Пифагора и точные и приближенные формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма и трапеции, объёма цилиндра, призмы и усечённой призмы. Индийские математики первыми открыли связь биномиальных коэффициентов с биномом Ньютона.

Но не только в математике индийцы добились многого, большое количество научных трудов свидетельствует об их осведомлённости в астрономии, астрологии, многие математические открытия использовались ими именно в этих науках.

Современником Бхаскары I был Брахмагупта, автор двух сочинений, -- "Брахма-спхута-сиддханта" [89] и "Кхандакхадьяка" [90]. Первое сочинение, написанное 30-летним Брахмагуптой в 628 г., испытало значительное влияние идей Ариабхаты. Достаточно отметить, что, следуя Ариабхате, Брахмагупта включил в свой в основном астрономический трактат две математические главы, содержащие ряд новых правил. Астрономическая часть "Ариабхатии" была подвергнута острой критике. Второе сочинение Брахмагупта написал в 67-летнем возрасте в 665 г.

В 1881 г. вблизи деревни Бахшали на северо-западе Индии была найдена анонимная рукопись по арифметике и алгебре, время составления которой ученые относят к VI--VIII вв. н.э. [132]. В этом сочинении, получившем название "Бахшалийская рукопись", излагаются правила арифметических действий с целыми числами и дробями, способы решения линейных и квадратных уравнений, а также системы неопределенных уравнений первой степени. Наибольший интерес представляет алгебраическая символика и разнообразные формы записи чисел.

В VII веке работал другой известный математик Брахмагупта. Начиная с него, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты по-прежнему отвергались. Брахмагупта, как и Ариабхата, применял непрерывные дроби, теория которых отсутствовала у греков.

В XI – XII вв. происходит захват мусульманами северной Индии, культурные центры переносятся в южную Индию. Из

значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару. Он дал решение уравнения Пелля и других Диофантовых уравнений, продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию.

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса, косинуса и арксинуса. Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа (1)

В VIII веке в Багдаде появляется великий математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, который в своем знаменитом трактате использовал знание индийской десятичной системы.

Три века спустя после своего создания он был переведен на латинский язык и распространился по всей Западной Европе. Аделард де Бат, английский ученый XII в., перевел другой труд Хорезми под названием «Книга алгоритмов индийских чисел». Имя арабского автора осталось в слове «алгоритм», а название его главного труда «Хисаб ал-Джабр» породило слово «алгебра». Хотя Аделард вполне осознавал, что Хорезми многим обязан индийской науке, алгоритмическая система была приписана арабам, как и десятичная система цифр. Между тем мусульмане помнят о ее происхождении и обычно еще называют алгоритм словом «хиндизат» — «индийское искусство». К тому же если арабский буквенный текст читается справа налево, то числа всегда пишутся слева направо — как в индийских записях.

Только в конце XVIII в. наука Древней Индии стала известна западному миру. С этого времени начался своеобразный заговор молчания, который длится по сей день и мешает приписать Индии заслугу изобретения десятичной системы. В течение долгого времени ее необоснованно считали арабским достижением. Возникает вопрос: присутствовал ли ноль в первых примерах использования новой системы? Действительно, в них не было знака ноля, но позиции цифр, разумеется, имели значение. Самая древняя запись, содержащая ноль, изображенный в виде замкнутого круга, датируется второй половиной IX в., между тем в камбоджийской записи конца VII в. он представлен в виде точки, вероятно, так же он записывался изначально в Индии, поскольку в арабской системе ноль тоже представлен точкой.

Завоевание Синда арабами в 712 г. способствовало распространению индийской математики в расширяющемся тогда арабском мире. Приблизительно столетие спустя в Багдаде появляется великий математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, который в своем знаменитом трактате использовал знание индийской десятичной системы. Возможно, здесь мы можем говорить о влиянии, которое оказал на дальнейшее развитие науки чисел этот выдающийся математический труд: три века спустя после своего создания он был переведен на латинский язык и распространился по всей Западной Европе. Аделард де Бат, английский ученый XII в., перевел другой труд Хорезми под названием «Книга алгоритмов индийских чисел». Имя арабского автора осталось в слове «алгоритм», а название его главного труда «Хисаб ал-Джабр» породило слово «алгебра». Хотя Аделард вполне осознавал, что Хорезми многим обязан индийской науке, алгоритмическая система была приписана арабам, как и десятичная система цифр. Между тем мусульмане помнят о ее происхождении и обычно еще называют алгоритм словом «хиндизат» — «индийское искусство». К тому же если арабский буквенный текст читается справа налево, то числа всегда пишутся слева направо — как в индийских записях.

Средневековые индийские математики, такие как Брахмагупта (VII в.), Махавира (IX в.), Бхаскара (XII в.), в свою очередь, сделали открытия, которые стали известны в Европе только в эпоху Ренессанса и позднее. Они оперировали положительными и отрицательными величинами, изобрели изящные способы извлечения квадратного и кубического корней, они умели решать квадратные уравнения и некоторые типы неопределенных уравнений. Арь-ябхата вычислил приблизительное значение числа л, которым пользуются и сегодня и которое является выражением дроби 62832/20000, т. е. 3,1416. Это значение, гораздо более точное, чем вычисленное греками, доведено индийскими математиками до девятого десятичного знака. Они сделали ряд открытий в тригонометрии, сферической геометрии и исчислении бесконечно малых, в основном связанных с астрономией. Брахмагупта дошел в изучении неопределенных уравнений дальше того, что Европа узнала к XVIII в. В средневековой Индий прекрасно понимали математическую взаимосвязанность ноля (шунья) и бесконечности. Бхаскара, опровергая своих предшественников, утверждавших, что х : 0 = х, доказал, что результат — бесконечность. (2)

Сринивая Рамануджан Айенгар (22 декабря 1878 г.) - гений индийской математики. Его биография и достижения поразили меня до глубины души. Приведу только некоторые из них.

Уже в четвёртом классе средней школы Рамануджан самостоятельно изучил полный курс тригонометрии по двухтомному руководству Лони (Loney), которое он одолжил у знакомого студента Мадрасского университета. Этот студент, как рассказывают, был поражён знаниями школьника по тригонометрии и часто обращался к Рамануджану за помощью в решении задач. В пятом классе Рамануджан самостоятельно открыл формулы Эйлера, выражающие синус и косинус через показательную функцию мнимого аргумента, но, узнав, что они уже известны, спрятал свои записи на чердаке дома. Это было его первое столкновение с западной математикой, из которого он понял, что учебник Лони содержит далеко не все известные математические факты.

В 1903 г., когда Рамануджан был в шестом классе средней школы, ему удалось при помощи одного знакомого получить единственную книгу по высшей математике, имевшуюся в Кумбаконаме. Это была книга Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики». Он обладал исключительной памятью и с лёгкостью цитировал полный список санскритских корней (atmanepada и parasmepada); он знал громадное число знаков в разложениях V2, п, e и других чисел в десятичные дроби...».
Сначала он обратился к методам построения магических квадратов. Затем его внимание привлекла к себе геометрия; пытаясь решить задачу о квадратуре круга, он нашёл исключительно хорошую приближённую формулу для длины окружности, по которой длина земного экватора может быть вычислена с точностью до нескольких футов (1-2 метров.

Потом, шаг за шагом, он открыл эллиптические интегралы и гипергеометрические ряды и теорию расходящихся рядов, которая ещё не была объявлена миру

кембриджские математики были изумлены как глубиной его знаний в одних вопросах, так и его полной неосведомлённостью в других. Вспоминая начало кембриджской карьеры Рамануджана, Харди писал: «Перед нами был человек, который

мог оперировать с модулярными уравнениями и теоремами комплексного умножения неслыханно высоких порядков, чьё мастерство в области цепных дробей, во всяком случае с формальной стороны, было непревзойдённым, человек, самостоятельно открывший функциональное уравнение дзета-функции и главные члены асимптотики многих важнейших теоретико-числовых функций; в то же время он ничего не слышал о двояко-периодических функциях, не знал о существовании теоремы Коши и, вообще, имел только самое слабое представление о том, что такое функция комплексного переменного.

26 ноября 1918 г. он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным этих почестей.
последним его открытием были симулирующими тета-функциями.

26 апреля 1920 г. Рамануджан умер в Чэтпуте — одном из предместий Мадраса.

2. http://www.indua.ru/scientific/scientific4.html

3. http://lib.repetitors.eu/matematika/104-2009-12-19-19-08-30/313-2009-12-19-19-09-52

4. http://www.ankolpakov.ru/2011/07/04/o-matematike-v-drevnej-indii/

5. mathshkola.ru

6. http://www.indostan.ru/indiya/80_1970_0.html

8. http://lib.mexmat.ru/books/3338

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

2. Уравнения Пелля

Представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля - задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.

В математике, уравнение Пелля — диофантово уравнение вида:

x2 − ny2 = 1, где n — натуральное число, не являющееся квадратом. 3 непрерывные дроби.

где a₀ есть целое число и все остальные a_n натуральные числа (то есть неотрицательные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.