Статистический анализ длин теней гномона в "Альмагесте" К. Птолемея

в “Альмагесте” К. Птолемея

Для этого, зная широты климатов и наклон эклиптики к экватору на эпоху Птолемея, найдем расчетные длины теней гномона для каждого климата и сравним их с данными “Альмагеста”. Для этого вычислим невязки теней и построим их в зависимости от расчетной длины тени , рис. 1.

В таблице 1 вычислены значения средних невязок и соответствующие им среднеквадратичные отклонения (СКО). Во втором и третьем столбцах представлены результаты расчета, полученные по всей выборке данных, в четвертом и пятом столбцах приведены результаты с отфильтрованными выбросами.

Таблица 1

Наблюдения	Среднее (все данные)	СКО (все данные)	Среднее (2σ)	СКО (2σ)
Летнее солнцестояние	–0.022	0.091	–0.006	0.049
Равноденствие	0.021	0.064	0.027	0.056
Зимнее солнцестояние	–0.030	0.578	0.077	0.215

Отсюда можно сделать два важных заключения. Во-первых, усредненные невязки для летних солнцестояний и равноденствий примерно одинаковы по величине, среднеквадратичному отклонению, и соответствуют друг другу в пределах погрешности. Невязка СКО, вычисленная для зимних солнцестояний, превышает невязки СКО летних солнцестояний и равноденствий более чем в 4 раза, что требует объяснения. Во-вторых, с точки зрения анализа, важной величиной является оценка СКО для невязок равноденствий, поскольку именно она позволяет дать ответ на вопрос являются ли данные Птолемея результатами наблюдений или результатами расчетов.

Оценка СКО для равноденствий позволяет получить теоретическую оценку точности, с которой наблюдатель должен уметь определять момент наступления равноденствия. Известно, что в день равноденствия склонение Солнца изменяется примерно на одну минуту дуги за один час. Поэтому погрешность определения момента равноденствия ± n часов приводит к вариации склонения ±n угловых минут. Из-за вариации склонения длина тени гномона в момент измерения окажется чуть меньше или чуть больше длины его тени в момент равноденствия. Следовательно, мы можем исследовать зависимость поведения невязок от погрешности определения момента равноденствия. Считая, что ошибка определения момента наступления равноденствия подчиняется распределению Гаусса с параметрами , смоделируем эту ошибку и вычислим, какие при этом получатся невязки теней гномона для всех 24 климатов. Повторим эту процедуру по методу Монте-Карло 30 раз и получим 720 значений невязок, для которых вычислим среднее значение и теоретическое СКО. Проведя такую процедуру для разных значений n, построим зависимость теоретического СКО от величины ошибки определения момента равноденствия. Результаты расчетов представлены на рис. 2.

В случае реальных измерений величина ошибки будет больше, по сравнению с теоретически вычисленными значениями СКО, поскольку расчет не учитывает погрешность измерения длины тени. Полученная зависимость позволяет провести обратную оценку, когда из вычисленного значения СКО можно найти погрешность определения момента равноденствия. Если воспользоваться значением СКО из таблицы 1 для равноденствий, то получим оценку погрешности времени ~ 1 часа. Иначе говоря, для того чтобы получить значение СКО ~0.05 необходимо уметь определять момент наступления равноденствия с точностью не хуже 1 часа. Кроме того, потребуется провести селекцию наблюдений, когда из всего множества должны быть отобраны только те наблюдения, в которых момент равноденствия совпадает с моментом прохождения Солнца через местный меридиан. Такая задача вполне разрешима. В работе [2] показано, что наблюдения равноденствий, выполненные греческими астрономами Метоном, Эвктемоном и Гиппархом, имеют ошибку около 7.5 часов, чему соответствует теоретическое значение СКО ~0.25. Очевидно, что при такой погрешности невозможно даже близко получить значения СКО, которые приведены в таблице 1. Следовательно, длины теней гномона являются результатом вычислений, а не измерений.

В дополнении к сказанному заметим, что данные Птолемея по наблюдению равноденствий имеют значительно большие значения ошибок по сравнению с его предшественниками. Это дает основание считать, что Птолемей не наблюдал сам моменты равноденствий, а вычислял их. Причина расхождения состоит в неправильно принятой величине скорости прецессии 1 градус в 100 лет, поэтому мы не будем далее рассматривать наблюдения Птолемея, для которых теоретические значения СКО должны быть от 0.7 и выше.

Таким образом, с помощью статистического анализа было показано, что длины теней гномона являются вычисленными величинами. Этому выводу можно найти косвенное подтверждение, если обратить внимание на то, что часть климатов и соответствующих им широт связана с протяженными объектами, например, “Страны Нижнего Египта”(№ 9), ”Середина Финикии”(№ 10), “Середина Понта” (№ 15), “Юг Британии”(№ 19)”, ”середина Британии” (№ 23). К точно локализуемым объектам относится лишь часть климатов, например, Напату (№ 6), Сиена (№ 7), Геллеспонт (№ 13). Широты самых северных климатов № 21÷№ 25, которые так же являются протяженными объектами, переданы целыми числами. По всей видимости, этим климатам широта была априорно приписана из каких-то соображений, после чего Птолемей для них вычислил продолжительность светового дня и длины теней гномона.

Другим не менее важным вопросом к данным Птолемея является проблема невязок для зимних солнцестояний, у которых СКО оказывается в 4 раза больше величины СКО для летних солнцестояний и равноденствий. Основная причина отличия заключается в аномально высоких значениях невязок, которые соответствуют климатам № 12÷№ 20, рис. 1. Значение невязки, усредненное по первым двенадцати климатам, составляет при величине среднеквадратичного отклонения . Хотя значение СКО примерно в 1.5 раза превышает величины СКО из таблицы 1, оно было получено на выборке вдвое меньшего объема. Если из данных по летним солнцестояниям и равноденствиям делать случайные выборки из двенадцати элементов, то получим аналогичные величины СКО. Это говорит о том, что длины теней гномона, соответствующие летним солнцестояниям, равноденствиям и первым двенадцати климатам зимних солнцестояний имеют одинаковую статистическую точность. Длина тени гномона во время зимних солнцестояний для климатов № 12÷№ 18 и № 20 имеет среднее значение и , что значимо отличается от всех предыдущих результатов, рис. 3.

Из рис. 3 следует, что для этих же климатов, невязки соответствующие летним солнцестояниям и равноденствиям имеют значение СКО ~0.08. Это означает, что проблема высоких значений СКО для зимних солнцестояний не может являться следствием в ошибке широты. Кроме того, проверка показала отсутствие ошибок в таблице хорд (или синусов двойного угла) у Птолемея, поэтому высокие значения СКО соответствующие зимним солнцестояниям не могут быть связаны с систематической ошибкой в вычислениях.

Наиболее вероятным объяснением наблюдающейся картины является предположение о том, что длины теней гномонов, приведенные в “Альмагесте”, принадлежат как минимум двум разным исследователям. Первоначально длины теней гномонов были получены в результате реальных измерений или не очень точных теоретических расчетов. В последствии, они были заменены более точным расчетом, но не полностью. Такое объяснение вполне соответствует представлениям о компилятивном характере знаний, собранных в “Альмагесте” Птолемея.

Литература

2) Р. Ньютон. Преступление Клавдия Птолемея. М.:, “Наука”, 1985.