Закон распределения случайной величины может быть задан различными способами, в том числе с помощью характеристической функции

1. 
   Определения
   

где ― мнимая единица, ― плотность распределения. Характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности. Она может рассматриваться также как производящая функция моментов случайной величины. Действительно, разложив в ряд Маклорена, из (1) получаем

где ― начальный момент порядка . Характеристической функцией пользуются наряду с плотностью или другими формами представления закона распределения случайной величины.

В некотором смысле аналогом для случайного процесса с дискретным временем служит функция

(3)

где ― коэффициент корреляции порядка , то же самое, что . Использование функции иногда проще приводит к нужным результатам. чем другие формы задания случайного процесса. Полагая , функцию (3) можно представить как производящую функцию автокорреляций

Функция называется спектральной плотностью. В силу четности коэффициентов автокорреляции получаем

Это означает, что величины являются коэффициентами в разложении в ряд Фурье по косинусам.

Умножая (5) на и интегрируя от 0 до , находим

(6)

Соотношения (5) и (6) свидетельствуют о том, что корреляционная функция и спектральная плотность однозначно определяются друг через друга.

График функции называется спектром. Из определения (5) следует, что имеет период и обладает симметрией . Поэтому спектр обычно изображают только на интервале . Часто вместо функции строят .

Еще одной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная функция

2. 
   Интерпретация спектральной плотности
   

Именно поэтому стационарные процессы с дискретным временем описываются более простыми, но зато практически реализуемыми способами:

1. 
   Моментами низких порядков: средним, дисперсией и ковариационной функцией.
   
2. 
   Параметрическим представлением в виде линейной комбинации текущего и предыдущих значений процесса, текущего и предыдущих значений белого шума, то есть в виде модели АРСС и ее частных случаев АР и СС моделей.
   
3. 
   Разложением по гармоникам, то есть с помощью спектральной плотности.
   

Первый из способов не нуждается в комментариях. Кстати, одно из определений стационарности случайного процесса (стационарность в широком смысле) состоит в требовании, чтобы среднее, дисперсия и ковариационная функция не зависели от времени.

Второй способ дает возможность генерировать реализации случайного процесса.

Нам осталось прокомментировать третий способ, то есть объяснить, как следует подходить к интерпретации спектральной плотности процесса.

Выше было показано, что спектральная плотность и ковариационная функция взаимосвязаны: коэффициенты автокорреляции служат коэффициентами Фурье спектральной плотности. Это значит, что коррелограмма и спектральная плотность однозначно определяют друг друга.

Понять, какие свойства случайного процесса характеризует спектральная плотность, помогают следующие выкладки. Рассмотрим функции

Эти функции имеют вид скалярного произведения и характеризуют силу взаимосвязи временного ряда с гармоникой периода .

Введем функцию . Имеем

Здесь ― оценка дисперсии, ― оценка коэффициента автокорреляции порядка , . Если то и в пределе получается

Таким образом, тем больше, чем сильнее взаимосвязь временного ряда с гармоникой периода .

Еще более прозрачную интерпретацию интенсивности можно получить путем следующих рассуждений. Найдем эту функцию для ряда

, (10)

где ― постоянная, ― некоторый стационарный процесс, не коррелированный с гармоническим неслучайным процессом .

Для вычисления функций и нам понадобятся формулы, которые без труда получаются, если воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии :

, . (11)

Построим функцию и рассмотрим ее при малых . Сумма мала по предположению, поэтому члены, содержащие в выражениях для и можно не принимать во внимание. Имеем

В силу формул (11) при все члены в выражениях для и стремятся к нулю за исключением слагаемого . При имеем .

Следовательно, , то есть в точке существует пик функции , высота которого имеет порядок .

Обычно спектр наряду с пиком на основной частоте имеет боковые пики на кратных частотах . Например, если пик спектра отвечает году, то с большой вероятностью будут также пики, отвечающие 6, 4, 3, 2, 1 месяцам.

Таким образом, спектральная плотность характеризует степень взаимосвязи между временным рядом и гармоникой с периодом (частотой ).

3. 
   Спектр марковского процесса
   

Спектр марковского процесса для случая изображен на рис. 1.

Рисунок показывает, что при в спектре преобладают низкие частоты, то есть гармоники с большими периодами.

4. 
   Спектр процесса
   

Для коэффициентов автокорреляции процесса получаем соотношение

Левая часть равенства (13) равна . Правая же часть после деления на записывается как . Отсюда видно, что производящая функция автоковариаций процесса может быть представлена в виде , где ― производящая функция автоковариаций процесса . Полагая в соотношении (13) , получим

Если подставить сюда вместо и их выражения через , , то получим

Следовательно, спектральная плотность процесса (12) равна

Р
исунок 2. Спектр процесса АР(2) при

На рис. 2 изображен спектр процесса (12) при . Из графика видно преобладание частот в области максимума

5. 
   Спектральная плотность процесса
   

Заметим, что производящую функцию автоковариаций этого процесса можно выразить через производящую функцию порождающего процесса . Для этого проведем преобразования

Отсюда видно, что коэффициент при автоковариации порядка ряда равен коэффициенту при в выражении , где ― производящая функция процесса . Это значит, что

Формула (16) дает также возможность построить производящую функцию автоковариаций для процесса в виде

Разделив (17) на и подставив вместо , получим спектральную плотность процесса.

(По этому вопросу см.

Гельфанд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука. 1967.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004.)