Решение уравнения tgx=a Введение. График функции y=tgx, x

На уроке рассматривается понятие функции арктангенс, как обратной для  функции тангенс на промежутке .

По теореме о существовании обратной функции прямая функция должна быть непрерывной и монотонной. Функция  непрерывна на любом интервале вида . В точках  функция претерпевает разрыв. Функция  не монотонна на всей своей области определения, поэтому выбираем главную ветвь тангенсоиды на промежутке , где она непрерывна, монотонна и принимает все значения из области значений. Значит, существует обратная функция на этом промежутке, название которой - арктангенс.

 График функции  при приведен на рис. 1.

Рис. 1 .

Определение:

Арктангенсом числа  называется такое число  из интервала , тангенс которого равен числу  

Свойство 1: для любого числа

Примеры:

1)  (по рис. 1 );

2)  (  по рис. 1 ).

3. Некоторые значения арктангенса на единичной окружности с линией тангенсов

Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов. Отметим на окружности точки , найдем соответствующие точки на линии тангенсов (рис. 2).

Рис. 2.

Свойство 2: для любого числа

Решение: построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, отметим на ней точку , найдем соответствующие точки на окружности (рис. 3),  в первой четверти и  в третьей.

Рис. 3.

Объединяем эти решения одной формулой:

Ответ:

1. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точку  на оси абсцисс (оси косинусов) и соответствующие точки  и  на единичной окружности (рис. 4).

Рис. 4.

Отбор корней выполняется по рис. 4:  не подходит, поскольку не удовлетворяет условию  

Ответ:

2. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, отметив точку  на оси ординат (оси синусов) и соответствующие точки  и  на единичной окружности (рис. 5).

Рис. 5.

Ответ:

4. Решить систему:

Решение: составим формулу решений, построив на единичной окружности точки  и , соответствующие точке  на линии котангенсов (рис. 4).

Рис. 6.

Ответ: