1 Сызы›ты› алгебра жЩне аналитикалы› геометрия элементтері Екінші жЩне Їшінші ретті аны›тауыштар Аныктама 1 Екінші ретті аны›тауыш

À›ûðñûç àç øàìàëàðäû ñàëûñòûðó. À›ûðñûç àç æÙíå øàìàëàðû áåð³ëñ³í . Îñû øàìàëàðäû ñàëûñòûðó äåíåì³ç ›àòíàñûíû£ øåã³í òàáó. Á±ë ›àòûíàñ ò¯ð³íäåã³ àíû›òàëìà“àíäû› äåï àòàëàäû.

Аны›тама 5 Егер а›ырсыз жЩне шамалары Їшін:

а) болса, онда шамасы -мен салыстыр“анда жо“ар“ы ретті а›ырсыз аз шама деп аталады, ал шамасы -мен салыстыр“анда тйменгі ретті а›ырсыз аз шама деп аталады.

б) , болса, онда мен бір ретті а›ырсыз аз шамалар деп аталады.

в) болса, онда мен эквивалентті а›ырсыз аз шамалар деп аталады.

Жиі ›олданылатын шектер

– бірінші тамаша шек. (3-теорема ар›ылы дЩлелденеді).

- екінші тамаша шек. (2-теорема ар›ылы дЩлелденеді).

тізбегі Їшін тењсіздігі орындалады. Сонды›тан жо“арыдан шенелген µспелі тізбек.

Демек, екінші теорема бойынша.

шегі бар болады. саныныЈ жуы› мЩні болатыны дєлелденген. Б±л сан Непер саны деп аталады.

2.2 Бір айнымалыдан тЩуелді функция
Егер айнымалысына белгілі бір ереже бойынша, бірмЩнді аны›тал“ан сЩйкестендірілсе, онда айнымалысы тен тЩуелді функциясы деп аталады тЩуелсіз айнымалы немесе функцияныЈ аргументі деп аталады. Ал жиыны функцияныЈ аны›талу облысы, жиыны функцияныЈ йзгеру облысы деп аталады.

Мысал 1 функциясыныЈ аны›талу обласы , ал йзгеру обласы .

Функция Їш тЇрлі тЩсілмен беріледі: 1 Аналитикалы› тЩсіл; я“ни пен арасында“ы байланыс координаттар жЇйесінде формула тЇрінде беріледі.

• Ìûñàëû, , ò.ñ.ñ, ̱íäàƒû àéíûìàëû øàìàëàð.

2. Графиктік тЩсіл; я“ни пен арасында“ы байланыс координаттар жЇйесінде функцияныЈ графигі тЇрінде беріледі.

3. Кестелік тЩсіл. ТЩуелсіз айнымалыныЈ аны›талу облысынан алын“ан кез келген мЩндері мен олар“а сЩйкес функцияныЈ мЩндері кесте тЇрінде беріледі. Мысалы, тригонометриялы›, логарифмдік та“ы да бас›а функциялар мЩндерініЈ кестелері.

ФункцияныЈ жиі кездесетін тЇрлері:

1. Алгебралы› жЩне трансценденттік (алгебралы› емес), функциялар.

Мысалы, - алгебралы›, ал

т.б,– трансценденттік функциялар.

2 Бір мЩнді жЩне кйп мЩнді функциялар. – бір мЩнді, ал – кйп мЩнді функциялар.

3 Кері функция. Берілген функция“а кері функцияныЈ болу шарты:

Егер функциясы аралы“ында бірсарынды жЩне бір мЩнді болып, осы аралы›та аралы“ында бейнеленсе, онда кері функция бар болады жЩне аралы“ында бір мЩнді жєне бірсарынды функция болады.

Мысалы сандар йсінде аны›тал“ан жЩне осы аралы›та йспелі функция. Сонды›тан аралыѓында аны›тал“ан кері функция бір мєнді жєне бірсарынды. Осы функциядаѓы аргументі мен функцияныњ Щдеттегідей деп белгілесек, б±л функция, тЇрінде жазылады. Демек, пен - функциялары йзара кері болады.

ДЩл сол сия›ты жЩне функциялары йзара кері.

4 КЇрделі функция.

функциясы аралы“ында аны›талып йзгеру обласы болсын жєне аралы“ында функциясы аны›талсын. СоЈ“ы теЈдіктегі - ті оныЈ мЩнімен ауыстырып, функциясына келеміз. Б±л жаЈа функция аралы“ында аны›тал“ан. Осы функцияны функциядан функция алу Щдісімен аны›тал“ан кЇрделі функция деп атайды. (Функциялар суперпозициясы).

Мысалы: , , деп алып, - кЇрделі функциясын к±рамыз.

5. Ай›ындал“ан жЩне ай›ындалма“ан функциялар.

тЇрінде берілген фуекция ай›ындал“ан деп аталады. Мысалы, , – ай›ындал“ан функциялар. тЇрінде берілген функция ай›ындылма“ан деп аталады, мысалы, – ай›ындалма“ан функциялар.

6. Элементар жЩне элементар емес функциялар.

Негізгі элементар функциялар“а:

1. 
   дЩрежелік: ;
   
2. 
   кйрсеткіштік: ;
   
3. 
   тригонометриялы›: т.б
   
4. 
   кері тригонометриялы› ;
   
5. 
   логарифмдік функциялар жєне осы функциялардан алгебралы› операциялар мен жЩне олардыЈ суперпозициялары арќылы жасалѓан функциялар жатады.
   

Мысалы, т.с.с.- функциялар, элементар функциялар тобына енеді.

ФункцияныЈ шегі. Бір жа›ты шектер. ФункцияныЈ Їзіліссіздігі: функциясы нЇктесініЈ манайында мЇмкін сол нЇктеніЈ йзінен бас›а аны›талсын.

Аны›тама Егер кішкене саны Їшін, осы саннан тЩуелді санын теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› нЇктелерінде теЈсіздігі орындалатындай етіп табу“а болса, онда саны -тіЈ нЇктесіндегі шегі деп аталады да, деп белгілінеді. Атал“ан шек тЇрінде де жазылады.

1. Мысалы, екенін дЩлелдейік. Кез келген саны Їшін деп алып, болатынын кйреміз. Демек, Я“ни, болса, болады.

2. Шектер туралы теоремалар жЩне оларды шешу тЩсілдері :

Теорема 1 . љосындыныЈ шегі шектердіЈ ›осындысына теЈ.

Теорема 2 . КйбейтіндініЈ шегі шектердіЈ кйбейтіндісіне теЈ.

Теорема 3 , . Егер болса, онда бµлшектіњ шегі алымыныЈ шегін бйлімніЈ шегіне бйлгенге теЈ.

Теорема 4 . Т±ра›ты шаманыЈ шегі сол шаманыЈ йзіне теЈ.

Теорема 5 . Т±ра›ты шаманы шектіЈ сыртына шы“ару“а болады.

Шектерді есептеуге мысалдар:

Мысал 1 Шек астында“ы бйлшекті (х-2)-ге ›ыс›артып




Ескерту: шегі аны›талма“анды“ын, ал жЩне шектері аны›талма“анды“ын ай›ындайды.

Аны›тама функциясыныЈ болып х-тіЈ -ге ±мтыл“анда“ы -ге теЈ шегі осы функцияныЈ сол жа›ты шегі деп аталады да деп белгіленеді, ал болып х-тіЈ -ге ±мтыл“анда“ы -ге теЈ шегі функцияныЈ оЈ жа›ты шегі деп аталады да, деп белгіленеді.

Егер функциясы нЇктесінде жЩне осы нЇктеніЈ маЈайында аны›талып, теЈдігі орындалса, онда функциясы нЇктесінде Їзіліссіз болады.

Егер осы екі теЈдіктіЈ еЈ кемінде біреуі орындалмаса, онда Їзіліс нЇктесі деп аталады. ®зілістіЈ екі тЇрі бар:

1. Секірме Їзіліс, егер болып , немесе , немесе нЇктесінде аны›талмаса. 2. Шексіз Їзіліс.

Мысал 1 функциясы Їшін

,

теЈдіктері орындалады, демек - секірме Їзіліс нЇктесі; секіріс -ге теЈ.

у
3

2

1
-1 0 1 х

Сурет 1.

2.3 ФункцияныЈ туындысы жЩне дифференциалы. Дифференциалдау.

функциясы белгілі бір аралы›та аны›талсын. - осы аралы›тыЈ белгіленіп алын“ан нЇктесі болсын. ге йсімшесін беріп, о“ан сЩйкес функция йсімшесін табайы›: . Функция йсімшесі - тіЈ аргумент йсімшесі - ке ›атнасы осы функцияныЈ кесіндісіндегі орташа йзгеру жылдамды“ын аны›тайды.

ФункцияныЈ нЇктесіндегі йзгеру жылдамды“ын аны›тау Їшін ›атнасыныЈ да“ы шегін табуымыз керек. Егер бар болса, онда б±л шек функцияныЈ нЇктесіндегі йзгеру жылдамды“ын аны›тайды. Кйрсетілген тЩсілмен табыл“ан шекті берілген функциясыныЈ нЇктесіндегі туындысы деп атайды да, немесе белгілейді. Туындыны есептеу амалы дифференциалдау деп аталады, ал нЇктесінде туындысы бар функцияны осы нЇктеде дифференциалданады деп атайды.

Мысал, осы алгоритм бойынша функциясыныЈ туындысын табайы›. Осы ма›сатпен -ке йсемшесін беріп, функцияныЈ йсімшесін табамыз,

Осы йсімшені - ке бйліп, теЈдігіне келеміз. Енді -ті нйлге ±мтылдырып, берілген функцияныЈ туындысын табамыз:

• Òóûíäûëàð êåñòåñ³

1. Äèôôåðåíöèàëäàó åðåæåëåð³:

1. 
   . љосындыныЈ (айырманыЈ) туындысы туындылардыЈ ›осындысына (айырмасына) теЈ.
   
2. 
   . Ережені айтып шы›, жадыЈда са›та.
   
3. 
   . Т±ра›ты шаманы туындыныЈ сыртына шы“ару“а болады.
   
4. 
   . Ережені айтып шы›, жадыЈда са›та.
   

КЇрделі функцияны дифференциалдау ережесі:
кЇрделі функциясы берілсін. Енді деп алса›, берілген функция тЇрінде жазылады. Б±л функциялар йз аны›талу облыстарында дифференциалданаса, онда туындысы,

немесе формуласы бойынша есептеледі.

Мысалы, кЇрделі функцияныЈ туындысын табу Їшін берілген функцияны Їш функцияныЈ суперпозициясы деп ›арастырамыз. , , ал . Сонды›тан, ереже бойынша

• КЇрделі кйрсеткіштік функцияныЈ туындысы:

кЇрделі кйрсеткіштік функция деп аталады, м±нда“ы Белгілі ереже бойынша

Мысалы, функцияныЈ туындысы

.

Параметірлік тЇрде берілген функцияны дифференциалдау:

функциясы тЇрінде берілсін.

М±ндай функцияныЈ туындысы .

я“ни формаласы бойынша есептеледі.
Мысалы, болсын табайы›.
ФункцияныЈ дифференциалы жЩне оныЈ геометриялы› ма“ынасы: функциясыныЈ дифференциалы деп немесе йрнегін атайды. Функция дифференциалы оныЈ графигіне нЇктесінде жЇргізілген жанама ординатасыныЈ ке сЩйкес йсімшесі. (келісім бойынша деп алынады).

Мысалы ФункцияныЈ дифференциалын табайы›. Аныќтама бойынша,

ФункцияныЈ туындысы осы функция графигініЈ нЇктесінде жЇргізілген жанаманыЈ йсініЈ оЈ ба“ытымен жасайтын б±рыштыЈ тангенсіне теЈ, бас›аша айт›анда, осы жанаманыЈ б±рышты› коэффициенті: .

• Æî“àðû ðåòò³ òóûíäûëàð ìåí äèôôåðåíöèàëäàð: Ôóíêöèÿ

туындысы берілген аралы›та Їзіліссіз жЩне дифференциалданатын болса, онда екінші ретті туынды деп бірінші ретті туындыныњ туындысын айтамыз да белгілейміз. Демек,

.

Б±л туынды деп те белгіленеді. Жалпы функциясыныЈ -ші ретті туындысы деп (п-1)-ретті туындыныњ туындысын айтамыз:

Мысалы, функциясын біртіндеп дифференциалдап, оныњ тµмендегі туындыларын табамыз:

Сол сия›ты екінші ретті диференциал т.с.с.
-ші ретті дифференциал:

2.4 Дифференциалды› есептеудіЈ функцияны зерттеуге ›олданылуы

Функцияны йзініЈ туындылары ар›ылы зерттеу тймендегі теоремалар ар›ылы орындалады.

Ферма теоремасы (П.Ферма 1601-1665. Француз математигі).

Егер функциясы интервалында Їзіліссіз болып, осы интервалдыЈ ішкі нЇктесінде йзініЈ еЈ Їлкен (еЈ кіші) мЩнін ›абылдаса жЩне осы нЇктеде туындысы бар болса, онда болады.

Ролль теоремасы (М.Ролль 1652-1719. Француз математигі).

Егер функциясы сегментінде Їзіліссіз болып, осы сегменттіЈ барлы› ішкі нЇктелерінде дифференциалданса жЩне теЈдігі орындалса, онда интервалында осы функция туындысы нйлге теЈ болатын еЈ кемінде бір нЇктесі табылады: .

Лагранж теоремасы (Ж.Лагранж 1736-1813. Француз математигі).

Егер функциясы сегментінде Їзіліссіз болып, осы сегменттіЈ барлы› ішкі нЇктелерінде дифференциалданса, онда интервалында теЈдігі орындалатын еЈ кемінде бір нЇктесі бар болады.

Коши теоремасы (О.Коши 1789-1859. Француз математигі).

Егер жЩне функциялары сегментінде Їзіліссіз болып, осы сегменттіЈ барлы› ішкі нЇктелерінде дифференциалданса жЩне осы нЇктелерде болса, онда интервалында

теЈдігі орындалатын еЈ кемінде бір нЇктесі бар болады.

Аны›тама 1 Егер аралы“ыныЈ кез келген нЇктелерінде болса, онда осы аралы›та йспелі деп аталады, ал болса кемімелі делінеді.

Аны›тама 2 аралы“ында йспелі немесе кемімелі функция бірсарынды деп аталады.
Теорема ( ФункцияныЈ бірсарынды болуыныЈ ›ажетті белгісі)

1 Егер аралы“ында йспелі болса, онда осы аралы›та оныЈ туындысы нйлден кіші болмайды: ;

2 Егер аралы“ында кемімелі болса, онда осы аралы›та оныЈ туындысы нйлден Їлкен болмайды: ;

3 Егер аралы“ында йзгермесе, демек, т±ра›ты болса, онда осы аралы›та оныЈ туындысы нйлге тепе-теЈ болады: .

Теорема (ФункциясыныЈ бірсарынды болуыныЈ жеткілікті белгісі)

1 Егер аралы“ында болса, онда осы аралы›та йспелі болады;

2 Егер аралы“ында болса, онда осы аралы›та кемімелі болады;

3 Егер аралы“ында болса, онда осы аралы›та т±ра›ты болады.

Аны›тама 3 Егер нЇктесініЈ ›андай да болмасын бір маЈайыныЈ барлы› х нЇктелерінде теЈсіздігі орындалса, онда осы функцияныЈ максимум нЇктесі деп аталады, ал теЈсіздігі орындалса, минимум нЇктесі делінеді.

ФункцияныЈ максимум жЩне минимум нЇктелері осы функцияныЈ экстремум нЇктелері деп аталады. Осы нЇктелерде функция йзініЈ экстремал (максималь немесе минималь) мЩндерін ›абылдайды.

Теорема (экстремумныЈ ›ажетті белгісі).

Егер функциясы нЇктесінде экстеремал мЩнін ›абылдаса, онда осы нЇктеде -тіЈ туындысы нйлге теЈ болады ( ) немесе б±л туынды болмайды .

Теорема (экстремумныЈ бірінші жеткілікті белгісі).

Егер -тіЈ экстремал нЇктесі болып, х солдан оЈ“а ›арай осы нЇкте ар›ылы йткенде таЈбасын “+” тен “-” ауыстырса, онда б±л нЇкте -тіЈ максимал нЇктесі, ал “-” тен “+” ке ауыстырса, минимал нЇктесі болады.

Теорема (экстремумныЈ екінші жеткілікті белгісі) жЩне болса, онда болса -минимум нЇктесі, ал болса максимум нЇктесі болады.

Ескерту: ЭкстремумныЈ екінші жеткілікті белгісі тек ›ана йзініЈ экстремал нЇктесінде екі рет Їзіліссіз дифференциалданатын функция Їшін ›олданылады.

Аны›тама 4 изініЈ кез келген ›июшысымен тек ›ана екі нЇктеде ›иылысатын до“а дйЈес деп аталады.

ДйЈес до“а йзініЈ кез келген нЇктесіндегі жанаманыЈ бір жа“ында орналасады. (Шрине, м±ндай жанамалар бар болса).

Келісім бойынша, дйЈесі жо“ары ›арай ба“ыттал“ан до“а дйЈес деп, ал тймен ›арай ба“ыттал“ан до“а ойыс деп аталады.

Аны›тама 5 љисы›тыЈ дйЈес до“асын оныЈ ойыс до“асынан ажыратып т±р“ан нЇкте осы ›исы›тыЈ иреЈ нЇктесі деп аталады.

Теорема (дйЈестіктіЈ жеткілікті белгісі). Егер функциясыныЈ екінші ретті туындысы белгілі бір аралы›та тек ›ана теріс мЩн ›абылдаса, онда сызы“ыныЈ осы аралы››а сЩйкес до“асы дйЈес болады, ал тек ›ана оЈ мЩн ›абылдаса ойыс болады.

Теорема (иреЈ нЇктеніЈ ›ажетті белгісі). Егер сызы“ыныЈ иреЈ нЇктесініЈ абсциссасы болса, онда , немесе б±л нЇктеде бар болмайды.

Теорема (иреЈ нЇктеніЈ жеткілікті белгісі). Егер сызы“ыныЈ иреЈ нЇктесі болып, нЇктесі ар›ылы х солдан оЈ“а ›арай йткенде таЈбасын “-” тен “+” ке ауыстырса, онда сызы›тыЈ дйЈестігі ойысты››а ауысады, ал “+” тен “-” ке ауыстырса, ойысты› дйЈестікке ауысады.

Аны›тама 6 Егер L сызы“ы нЇктелерініЈ Т тЇзуіне дейінгі ›ашы›ты“ы нйлге ±мтылса, онда Т тЇзуі L сызы“ыныЈ ассимптотасы деп аталады.
Асимптотаны табу ережелері:

1 Егер болса онда тЇзуі сызы“ыныЈ вертикаль асиптотасы болады;

2 Егер болса, онда тЇзуі функциясыныЈ горизонталь асимптотасы болады.

3 Егер жЩне болса, онда тЇзуі сызы“ыныЈ кйлбеу асимптотасы болады.

Функцияны зерттеудіЈ жалпы с±лбасы:

функциясы тймендегі с±лба бойынша зерттеледі:

1 а) ФункцияныЈ аны›талу облысы;

Щ) ФункцияныЈ Їзіліссіздік интервалдары мен Їзілісті нЇктелері;

б) ®зілісті нЇктеніЈ маЈайында функцияныЈ йзгеру заЈдылы“ы; вертикаль асимптота;

г) ФункцияныЈ графигініЈ координат µстерімен ›иылысу нЇктелері;

д) ФункцияныЈ ж±пты“ы немесе та›ты“ы.

е) ФункцияныЈ периодтылы“ы.

2 ФункцияныЈ монотонды› интервалдары; экстремум нЇктелері жЩне экстремал мЩндері.

3 ФункцияныЈ дйЈестік жЩне ойысты› интервалдары; иреЈ нЇктелері.

4 ФункцияныЈ шексіздікте йзгеру заЈдылы“ы. Горизонталь, вертикаль жЩне кйлбеу асимптоталары.

Функцияны зерттеу оныЈ графигін сызумен ая›талады.