11- дәріс. Мүшелері теріс емес қатарлардың жинақтылығының жеткілікті белгілері: салыстыру белгісі, Даламбер белгісі, Кошидің радикалдық белгісі. Жинақты қатарлардың қасиеттері
№11- дәріс. Мүшелері теріс емес қатарлардың жинақтылығының жеткілікті белгілері: салыстыру белгісі, Даламбер белгісі, Кошидің радикалдық белгісі. Жинақты қатарлардың қасиеттері. 1) Қатардың кез келген ақырлы сан мүшелерін алып тастасаң ол қатардың жинақтылығына әсер етпейді (бірақ оның қосындысына емес).
2) Қатардың барлық мүшелерін нөл емес бірдей бір санға көбейткеннен қатардың жинақтылығы өзгермейді.
3) Егер және қатарлары жинақты болса, онда қатары да жинақты болады және оның қосындысы берілген қатарлардың алгебралық қосындысына тең, яғни
.
Қатардың жинақтылығының қажетті белгісі. Оң таңбалы сандық қатарлардың жинақталу белгілері.
1/ Оң таңбалы сандық қатарлардың жинақталуының қажетті шарты.
Егер қатары жинақты болса, онда . (1)
Мысалы гармониялық қатары жинақсыз, бірақ (1) шарт жинақтылықтың қажетті шарты, бірақ жеткіліксіз.
2/ Қатардың жинақтылығының жеткілікті белгісі.
Егер болса, онда қатары жинақсыз болады. Мысалы жинақсыз, себебі Мүшелері теріс емес 1) 2) қатарлары берілсін.
Ι. Салыстыру белгісі. 1)-қатардың барлық мүшелері шартын қанағаттандырсын, онда 2)-қатардың жинақтылығынан 1)-қатардың жинақтылығы шығады, егер , болса, онда 2)-қатардың жинақсыздығынан 1)-қатардың жинақсыздығы шығады.
Мысалы қатарын жинақтылыққа тексеру керек
Шешуі: Салыстыру белгісі бойынша берілген қатардың әрбір мүшесі қатарының сәйкес мүшелерінен кіші. Ал бұл қатар кемімелі геометриялық прогрессия болғандықтан жинақты. Ендеше берілген қатар да жинақты.
ΙΙ. Шекті салыстыру белгісі. Егер шегі бар болса, онда 1) және 2) қатарлар бір мезгілде жинақты немесе жинақсыз, яғни біреуі жинақты болса екіншісі де жинақты, ал біреуі жинақсыз болса екіншісі де жинақсыз.
Мысалы қатарын жинақтылыққа тексеру керек
Шешуі: Салыстыру белгісі бойынша берілген қатарды гармоникалық қатарымен салыстырамыз. Гармоникалық қатар жинақсыз. Ендеше берілген қатар да жинақcыз.
ΙΙΙ. Даламбер белгісі. Егер 1)-қатардың мүшелерінің шегі бар болса, онда үшін 1)-қатар жинақты, үшін 1)-қатар жинақсыз, ал үшін қосымша зерттеу керек, себебі қатар жинақты немесе жинақсыз болуы мүмкін.
Мысалы қатарын жинақтылыққа тексеру керек
Шешуі : Даламбер белгісі бойынша
демек
Жинақсыз.
ΙV. Коши белгісі (Кошидің радикалдық белгісі). 1)-қатары үшін болсын. Егер болса қатар жинақты, үшін қатар жинақсыз, ал үшін қосымша зерттеу керек.
Мысал қатарын жинақтылыққа тексеру керек
Шешуі : Кошидің радикалдық белгісі бойынша
Жинақсыз.
Бақылау сұрақтар: Оң таңбалы сандық қатарлар түрлері, қасиеттері қандай?
Қатардың жинақталу белгілері қандай?
Коши Даламбер белгілері?
Негізгі әдебиет: [8], 9 тарау, § ң (338-340 беттер).
