§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности



жүктеу 39.95 Kb.
Дата11.07.2016
өлшемі39.95 Kb.
§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности.

Пусть и - гладкие поверхности, - биекция. Если - криволинейные координаты на , - криволинейные координаты на , то биекция задается функциями , . Рассмотрим - линию () на поверхности . Биекция переведет ее в линию на поверхности . Будем называть эту линию - линией поверхности . Аналогично вводится понятие - линии поверхности . Таким образом, на поверхности мы имеем две параметризации и . Будем предполагать, что замена старой параметризации на новую является допустимой.

Параметризацию поверхностей и с помощью локальных координат будем называть общей относительно биекции .

Заметим, что , то в общей относительно параметризации.


Гладкие поверхности и называются изометричными, если существует биекция , сохраняющая длину любой гладкой кривой . Биекция называется изометрией.

Теорема (основная). Две гладкие поверхности изометричны тогда и только тогда, когда они допускают такие параметризации, при которых в соответствующих точках равны коэффициенты их первых квадратичных форм.

† Пусть и изометричны, то есть существует изометрия . Пусть общая относительно параметризация. Рассмотрим кривую , . Относительно общей параметризации она задается такими же уравнениями. Пусть . Тогда для любых . Следовательно, .



Пусть и допускают общую параметризацию такую, что в соответствующих точках и равны коэффициенты первых квадратичных форм . Рассмотрим биекцию . Тогда для любой кривой и ее образа имеет место равенство , следовательно, длины их равны, следовательно, изометрия. †

Следствие. Если поверхности и изометричны, то соответствующие точки этих поверхностей имеют одинаковый тип (эллиптические, гиперболические, параболические) и полную кривизну.

† Полная кривизна выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, следовательно, если в соответствующих точках эти коэффициенты равны, то равны и полные кривизны. Далее, так как полная кривизна , знак выражения совпадает со знаком полной кривизны. Из того, что следует , что в соответствующие точки имеют соответствующий тип. †

Пример. 1. ; , . Очевидно, это гладкие поверхности. Поверхность - круговой цилиндр, поверхность - часть плоскости . Найдем ; , следовательно, эти поверхности изометричны.

2. - коническая поверхность вращения, - часть плоскости. Аналогично доказывается, что эти поверхности также изометричны.


Введем понятие изгибания поверхности. Пусть существует однопараметрическое семейство попарно изометричных поверхностей, непрерывно зависящих от параметра . Тогда говорят, что каждая из поверхностей этого семейства получена из другой поверхности этого семейства изгибанием или что каждая из них наложима на другую.

Поверхность называется изгибаемой, если она наложима на другую поверхность.

Можно показать, что гладкие поверхности изгибаемы "в малом", то есть любая точка поверхности имеет изгибаемую окрестность, но существуют поверхности не ихгибаемые "в целом", например, сфера.

Если поверхность получена изгибанием поверхности , то они изометричны, то есть допускают параметризации, в которых для соответствующих точек коэффициенты первых квадратичных форм равны. Тогда имеют место свойства:



  1. При изгибании сохраняется длина гладкой кривой на поверхности.

  2. При изгибании сохраняются углы между линиями на поверхности и площадь поверхности.

  3. При изгибании сохраняется полная кривизна поверхности.

  4. При изгибании сохраняется геодезическая кривизна кривой на поверхности.


Пример изгибания поверхности.

Пусть - семейство поверхностей касательных. Пусть - гладкая кривая, заданная уравнением , где натуральный параметр и кривизна кривой в каждой точке отлична от нуля. Тогда поверхность касательных имеет уравнение . Будет ли такая поверхность гладкой? Найдем , . Тогда . Таким образом, - гладкая поверхность. Поверхность называется поверхностью касательных, кривая называется ребром возврата этой поверхности.

Вычислим . Заметим, что в эти выражения не входит кручение. Значит, если взять две кривые, у которых в соответствующих точках кривизны равны, а кручения разные, то поверхности касательных данных кривых будут изометричны.

Возьмем функции , где - параметр, изменяющийся в некотором промежутке . При непрерывном изменении получим семейство поверхностей изометричных между собой. Следовательно, поверхность касательных изгибаема. Пусть функция при (например, при ). Тогда в пределе получим плоскую линию (). Ее касательные лежат в плоскости и образуют некоторую плоскую фигуру.



Итак, поверхность касательных изометрична некоторой фигуре на плоскости. Другими словами, поверхность касательных наложима на часть плоскости.

Как мы доказали выше, такими эе свойствами обладают цилиндрическая и коническая поверхности вращения. Можно доказать, что и любые цилиндрические и конические поверхности обладают этим же свойством.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет