40. p,qC. (!)решения уравнения x2+px+q=0 по модулю равны 1


Опр: f(x)g(x) (mod p), если все соответствующие коэффициенты сравнимы по mod p



жүктеу/скачать 287 Kb.
бет2/4
Дата23.07.2016
өлшемі287 Kb.
#215880
1   2   3   4

Опр: f(x)g(x) (mod p), если все соответствующие коэффициенты сравнимы по mod p.


72. а)-корень f(x) mod pg(x)Z[x]: f(x)(x-)g(x) (mod p) б)(!)1,…k – корни f(x) mod pg(x)Z[x]:
f(x)(x-1)…(x-k)g(x) (mod p) в) (!) многочлен степени n имеет не более n корней по mod p г)(!)xp-1-1(x-1)(x-2)…(x-p+1) (mod p) д)вывести из г) теорему Вильсона (p-1)!-1(mod p)

73. AB и CD – перпендикулярные диаметры окружности, E-точка на окружности: EA пересекает CD в K, CK:KD=2:1 (!)BL:LA=1:3

74. В множестве Х выбрано 50 подмножеств, каждое из которых содержит более половины элементов. (!)можно выбрать 5 элементов: в каждом из подмножеств содержится хотя бы один из них.

75. Дан выпуклый 4-угольник ABCD, Р-точка, K,L,M,N – точки на сторонах: РК-биссектриса APB, РL-биссектриса BPC, РM-биссектриса CPD, РN-биссектриса APD а)Найти Р: KLMN – параллелограмм. б)Найти все такие Р.

76. Юля и Тарас играют в игру. Сначала Тарас пишет ненулевую цифру, потом Юля приписывает к ней слева или справа ненулевую цифру и т.д. Юля хочет получить точный квадрат. (!)Тарас выиграет.

77. (!)n 1/32+1/52+…+1/(2n+1)2 < ¼

Д12. Играют двое. На доске написано число 2. За 1 ход разрешается добавить к числу на доске делитель, отличный от него самого. Проигрывает тот, кто получит число >1000. Кто выигрывает?

Д13. Играют двое. Из кучки в 25 спичек каждый берёт за ход 1,2 или 3 спички. Проигрывает тот, у кого окажется нечётное число спичек. Кто выиграет?

Д14. В углу доски nxn (n4) стоит фигура. Первый игрок за свой ход может сделать два хода обычного коня. Второй игрок может сделать 1 удлинённый (3х1) ход конём. Первый игрок хочет поставить фигуру в противоположный угол. Кто выиграет?

Д15. Фишка стоит в углу доски nxn. Каждый из двух играющих передвигает фишку на соседнюю по стороне клетку. Ходить дважды на одно поле нельзя. а)(!)n2выигрывает первый, иначе – второй. б)Кто выигрывает, если изначально фишка стояла не в угловой клетке, а в соседней с ней?

Д16. Двое играют в морской бой на доске nxn. Первый ставит несколько кораблей 1хn. Второй наносит 1 удар, но сразу по нескольким клеткам, и узнаёт, в какие клетки попал, а в какие промазал. Найти минимальное количество выстрелов, при котором второй может узнать расположение кораблей.

Д17. Играют двое. Первый называет натуральное число от 2 до 9, второй также называет число от 2 до 9 и перемножает его с первым и т.д. Выигрывает тот, кто получит число >10000. Кто выиграет?

Д18. Один из двух игроков ставит на клетку шахматной доски коня, затем второй им ходит, затем первый им ходит и т.д. Дважды на одну клетку ходить нельзя. Кто выигрывает, если доска а)8х8 б)nxn

Д19. Играют двое. Имеется кучка из m спичек и бумага с написанным на ней числом m. За один ход можно либо взять из кучки, либо положить в кучку от 1 до k спичек, после чего количество спичек в кучке записывается. На бумаге не может быть записано двух одинаковых чисел. Сначала у игроков спичек нет. Проигрывает тот, кто не может походить. Кто выиграет? а)k=2 б)k=5

Л3. М— n-элементное множество. Сколько на нём существует отношений: а)рефлексивных, б)симметричных?

Л4. HG, (G:H)=2 (!)HG

У1. (!)2 левых смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются.

Опр:a принадлежит к показателю d (mod m), если d – минимальное натуральное число, такое, что ad1(mod m).

78. а)а принадлежит к показателю d(mod m) (!)ak принадлежит к некоторому делителю d (mod m) б)pP a принадлежит к d (mod p)

(!)все вычеты, принадлежащие к делителям d (mod p), находятся среди вычетов 1,a,a2,…,ad-1 в)(!)вычетов, принадлежащих к показателю d (mod p), имеется либо 0, либо (d) г)(!)  d – делителя р-1 имеется (d) вычетов, принадлежащих к d (mod p)



79. Окружность, построенная на стороне AC остроугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и ВС в точках K и L. Касательные к этой окружности, проведённые в точках К и L, пересекаются в точке М. (!)ВМ – высота треугольника.

80. В связном графе с 1999 вершинами степень всех вершин 19. (!)Вершины этого графа можно правильно раскрасить в 19 цветов.

81. 15 волейбольных команд сыграли турнир в 1 круг. команда одержала 7 побед. Найдите количество троек команд, таких, что в тройке каждая из команд выиграла ровно 1 раз.

8



2. Сколько существует способов расставить 1 в клетках таблицы 10х10 так, чтобы произведения чисел в каждой строке и каждом столбце были равны 1.

83. Найдите сумму: а) б)

84. 4 прямые при пересечении образуют 4 треугольника. (!)описанные окружности этих треугольников пересекаются в одной точке.
85. (!)|x|+|y|+|z||x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|

86. В вершинах 25-угольника расставлены 1. Каждую секунду к каждому числу прибавляется следующее за ним по часовой стрелке. (!)через 100 секунд будет число, по модулю большее 1020

87. pP решить в целых числах: x3+py3+p2z3=0

На отрезке АВ взята точка М. P,Q – вершины равнобедренных


прямоугольных треугольников, О – середина PQ. Найдите ГМТ(O).

8

9. (!) Все натуральные числа можно покрасить в 2 цвета так, чтобы отношение двух чисел одного цвета не было равно с (с=const).

90. (!)

Д20. (Прямая Симсона) а)(!)Основания перпендикуляров лежат на одной прямой. б)Доказать обратное.

Д21. (Теорема Птолемея) ABCD-4-четырехугольник.

а)ABCD-вписанный. (!)|AB||CD|+|BC||AD|=|BD||AC| б) (!)|AB||CD|+|BC||AD||BD||AC|

Д22. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке А. Р – точка на окружности. PA1ВС, РВ1АС, РС1АВ.

(!)|PA1|2=|PB1||PC1|



Д23. АВС – равносторонний треугольник, P – любая точка. (!)|PA||PB|+|PC|

Д24. АВСD – квадрат, Р – точка на дуге DC описанной окружности. (!)PA(PA+PC)=PB(PB+PD)

Д25. ABCD – параллелограмм, окружность с центром в А пересекает АВ в точке Р, АС – в R, AD – в Q. (!)APAB+AQAD=ARAC

91. a,b,cN 1/a+1/b+1/c<1 (!)1/a+1/b+1/c41/42

92. (!)Среди любых 1023 чисел найдутся 512 таких, что их сумма 512

93. Р-точка внутри треугольника, А1 лежит на ВС, В1 – на АС, С1 – на АВ, АВ||РА1, ВС||РВ1, АС||РС1 (!)РА1/AB+PB1/BC+PC1/AC=1

94. (!)на вещественной оси существует отрезок  длины /3 такой, что x,y выполнено неравенство

sin(x+200)sin(y-1100)|sin(x+y)|



95. a,bR, a,b>0, ab (!)ab<(a-b)/(ln a-ln b)<(a+b)/2

96. Окружность покрыта конечным числом дуг. (!)из них можно выбрать несколько суммарной длины 7200 таких, что они покрывают всю окружность.

97. Вневписанная окружность АВС со стороны АС касается стороны АС в точке К, продолжений сторон ВА и ВС – в точках

L и М. (!)АМ, CL и BK пересекаются в одной точке.



Опр.: Медианта дробей a/b и c/d – дробь (a+c)/(b+d)

Опр.: Если записать дроби 0/1 и 1/1 и после этого между каждыми двумя дробями, сумма знаменателей которых n, записывать их медианты, то получится n-ый ряд Фарея (Фn)

98. а) (!) Для любых двух дробей, стоящих рядом в Фn, |ad-bc|=1 б) (!) в Фn все дроби несократимы. в) (!) Фn – последовательность расположенных по возрастанию всех несократимых дробей вида a/b, где 0abn

99. a/b
1

00. Дан треугольник АВС, О–точка пересечения медиан, M,N,P–точки на сторонах АВ,ВС,СА, такие, что AM:MB=BN:NC=CP:PA а) (!) О–точка пересечения медиан MNP б) (!) О–точка пересечения медиан , образованного прямыми AN,BP,CM




101. (!) <2 102. (!)
103. ABCD–выпуклый четырёхугольник, [AD) и [BC) пересекаются в ()F, [DC) и [AB) пересекаются в ()E.
(!)ABCD–описанныйа)AE+CF=AF+CE б) BE+BF=DE+DF

104. 64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расставлены в клетки квадрата 8х8. Оказалось, что сумма чисел, стоящих на обеих диагоналях, равна 112, а числа, расположенные симметрично относительно любой из диагоналей, равны. (!)Сумма чисел в каждой строке <518.

105. pP p=4k+1 а)(!)  x,y,m N : m
2+y2=mp б)(!) в пункте а) m>1 x1,y1,k k12+y12=km в)(!) в пункте а) m>1 

x2,y2,m1N: m122+y22=m1p г)(!) p представляется в виде суммы двух квадратов.



  1. f

    (x)R[x] xR f(x)>0 (!)g,h R[x]: f=g2+h2

  2. Найдите номер наибольшего члена последовательности ak=k2/(1,01)k

  3. >1  (!)lnln   ln /ln  109. Найдите сумму:

  1. (!) в  выпуклый многоугольник площадью 1 можно поместить треугольник площадью а) 1/4 б)3/8

111. а)(!) ортоцентр, точка пересечения медиан и центр описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). б) (!)точка пересечения медиан делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1 в)(!)центр окружности 9 точек лежит на прямой Эйлера и является серединой отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

112. a,b,c – стороны треугольника периметра 1. (!) (1+a)/(1-2a)+(1+b)/(1-2b)+(1+c)/(1-2c)12.

113. Чевианы AA1,BB1,CC1 пересекаются в точке О. Два из четырёхугольников BA1OC1, CB1OA1, AC1OB1 – описанные. (!)третий четырёхугольник – тоже описанный.

114. Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точке А. М – середина О1О2. (!)Эти две окружности высекают равные хорды на прямой, проходящей через А и перпендикулярной АМ.

115. Все точки прямой раскрашены в 2 цвета. (!)Найдётся правильный  со стороной 1 или 3.

116. В ABC BC=1/2(AB+AC) a)(!)биссектриса угла А перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей. б)(!) А, середины сторон АВ и АС, центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности.

117. Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. (!)Можно выбрать 3 прямоугольника А,В,С:АВС.

118. a,b,c>0, из отрезков с длинами an,bn,cn можно составить треугольник nвсе треугольники – равнобедренные.

119. На клетчатой плоскости стоят фишки. За ход одна из фишек может перепрыгнуть через другую (только на пустую клетку). Фишка, через которую перепрыгнули, снимается. Сначала фишки стояли в виде прямоугольника mхn (m,n2). Какое минимальное количество фишек останется в конце?
120. а) ax+by=m, cx+dy=n, a,b,c,d,m,nR Найти, когда система уравнений будет иметь корни. б) a,b,c,d Z (!)система имеет целые корни |ad-bc|=1.

121. Есть 2 вектора u(a,b) и v(c,d) a,b,c,d Z. На них строится параллелограмм. а)Найти площадь этого параллелограмма. б)(!)внутри этого параллелограмма нет точек с целыми координатами |ad-bc|=1.

122. Решить уравнение x3+x2+x=-1/3.

123. Даны две непересекающиеся окружности. (!)отрезок общей касательной, заключённой между двумя внутренними касательными, равен внутренней касательной.

124. На плоскости нарисован 13-угольник. (!)Найдётся прямая, содержащая ровно одну сторону.

125. x,y,z R (!)sin x cos ysin z+cos xsin ycos z1
126. В компании из 30 людей каждому нравятся ровно k других. При каком минимальном k обязательно найдутся 2 человека, которые нравятся друг другу?

1

27. Решить систему в N: x3-y3-z3=3xyz; x2=2y+2z

128. (!)Число +1-простое оно не является разностью пятых степеней натуральных чисел.

129. В квадрате 1х1 расположено 170 точек. (!)Среди них найдутся 2 на расстоянии а)2/13 б)1/10

130. a,b,c – цифры, b2-4ac – точный квадрат. (!)Число abc – составное.

131. Найти ГМТ Х: |XA|/|XB|=k, k1, A,B-данные точки.

151. Найти минимальное х>0 такое, что [x]{x}3

152. f,g – квадратные трёхчлены с одинаковыми старшими коэффициентами, у них по 2 корня, сумма всех 4 корней равна 0. (!)У f+g есть 2 корня  их сумма равна 0.

153. Из чисел 1,2,…,1000 выбрали 860. (!)Найдутся 2 выбранных числа, произведение которых делится на 21.

154. M – точка внутри остроугольного треугольника АВС, MKAB, MLBC, KL||AC, O – центр описанной окружности. (!)В,М,О лежат на одной прямой.

155. В таблице 100х100 расставлены числа, в строке можно выбрать 10 различных чисел, в  2 соседних строках нельзя выбрать >15 различных чисел. (!)В таблице 505 различных чисел.

156. Из прямоугольника на клетчатой бумаге можно вырезать 360 квадратиков 2х2 (по клеткам). (!)Можно вырезать 200 прямоугольников 1х7 (по клеткам).
157. За круглым столом сидят 7 гномов, перед каждым стоит кружка. В некоторые из кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко остальным поровну. Затем его сосед справа делает то же самое и т.д. После того, как седьмой гном вылил своё молоко, во всех кружках оказалось первоначальное количество молока. Всего было 3л молока. В какой кружке какое количество молока было?

158. В множестве 12 элементов. Из них составлена 1000 различных подмножеств, любые 2 из которых пересекаются. (!)Можно составить ещё одно подмножество с соблюдением этих условий.

159. Играют двое. На доске написано число 2. За 1 ход разрешается добавить к числу на доске делитель, отличный от него самого. Проигрывает тот, кто получит число >1000. Кто выигрывает?

160. P(x),Q(x) R[x], P(Q(x))=Q(P(x)), P(x)-Q(x) не имеет вещественных корней. (!)P(P(x))-Q(Q(x)) тоже не имеет вещественных корней.

161. Множество Т рациональных чисел называется полным, если для любой дроби p/q Т дроби p/(p+q) и q/(p+q) тоже Т. Найдите все rR: rполное множество, содержащее r, содержит и все рациональные числа (0;1).

162. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площадью S опустили перпендикуляры на 2 другие стороны. Найдите площадь 6-угольника, ограниченного этими перпендикулярами.

163. Композиция 3 гомотетий является тождественным преобразованием. (!)Центры гомотетий лежат на одной прямой.

164. Окружность S2 касается внутренним образом окружности S1 в точке К и хорды АВ окружности S1 в точке L. Прямая KL вторично пересекает S1 в точке М. (!)АМ=МВ.
165. а) В таблице 2nx2n стоят 3n звёздочек. (!)Можно вычеркнуть n столбцов и n строчек так, чтобы не осталось ни одной звёздочки. б)(!)Можно расставить 3n+1 звёздочку так, чтобы так вычеркнуть было бы нельзя.

166. В марсианском языке 62 буквы. Словарный запас кого-то состоит из 1996 слов 2-буквенных. (!)Можно выбрать 32 слова так, чтобы никакие 2 ни в каком разряде не совпадали.

167. На каждом ребре связного плоского графа поставлена стрелка так, что из каждой вершины ребро выходит и в каждую входит. (!) 2 области, такие, что каждую можно обойти по стрелкам.

168. a, b, c-стороны треугольника, x, y, z-расстояния от точки внутри до вершин. (!)ax/2R, by/2R, cz/2R – стороны педального .

169. ABCDEF – вписанный. (!)AD, BE, CF пересекаются в одной точке  ABCDEF=BCDEFA

170. X – точка, такая, что k1|A1X|2+k2|A2X|2+…+kn|AnX|2=c а)(!)k1+…+kn0ГМТ(Х) – окружность или пустое множество. б)(!)k1+…+kn=0ГМТ(Х) – прямая, плоскость или пустое множество.

171. nN а)(!)4n+3=p, p P,p2||nn=x2+y2 б)n=x2+y2p=4k+3 P pn2

172. mk2, m N (!)n N: m=[n+n+0,5]
Д26. На плоскости проведено n прямых (n>2), делящих плоскость на несколько областей. Некоторые из этих областей окрашены, причём никакие 2 окрашенные области не могут соприкасаться по границе. (!)число окрашенных областей 

Д27. В одном государстве король хочет построить n городов и n-1 дорог между ними так, чтобы из каждого города можно было проехать в любой другой. Король хочет, чтобы кратчайшие расстояния по сети дорог между парами городов равнялись соответственно 1, 2,…,n(n-1)/2 км. Возможно ли это, если а)n=6 б)n=1986?

Д28. Внутри выпуклого 12-угольника даны две точки, расположенные на расстоянии 10см друг от друга.. Для каждой из этих точек нашли сумму расстояний от неё до вершин 12-угольника. (!)полученные суммы различаются менее, чем на 1м.

Д29. 2 игрока по очереди выписывают на доске натуральные числа p. Запрещено писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков выигрывает при а)р=10 б)р=1000?

Д30. Дядька Черномор каждый вечер из 33 богатырей назначает на дежурство 9 или 10. Через какое наименьшее число дней может оказаться, что каждый из богатырей выходил на дежурство одинаковое число раз?

Д31. Написан многочлен х10+*х9+*х8+…+*х+1. Двое играют в игру: сначала первый заменяет любую из звёздочек некоторым числом, затем второй и т.д. Если у получившегося многочлена не будет вещественных корней, то выигрывает первый игрок, иначе – второй. Может ли второй игрок выиграть?

173. В графе 100 вершин, степень каждой 1. (!)можно выкинуть несколько рёбер так, что степень всех вершин будет 1 и найдутся 67 вершин степени 1.

174. На арене цирка в ряд стоят 25 слонов, каждый из которых весит целое число килограмм. Если к весу любого (кроме самого правого) слона прибавить вес его соседа справа, то получится 6т. Сколько весит каждый слон?

175. AR, xA2x2-1A. Может ли А состоять ровно из 100 чисел?

176. Даны 9 натуральных чисел, каждое из которых не делится на 3, 5 и 7. (!)можно выбрать 2 числа, сумма которых не делится на 3, 5 и 7. 177. (!) 1+2n+4nPn=3k

178. В выпуклом 6-угольнике ABCDEF все стороны равны, а сумма углов А, С, Е равна 360. (!)противоположные углы равны.

179. (!)точка, симметричная центру описанной окружности треугольника относительно середины медианы, лежит на его высоте.
180. Длина самой длинной простой цепочки в графе равна k. (!)вершины этого графа можно раскрасить правильным образом в k+1 цвет.

181. В полном графе с n вершинами выбрали дерево с n вершинами и покрасили его рёбра в 2 цвета. (!)остальные рёбра графа можно докрасить в те же цвета так, что в любом треугольнике будет нечётное число рёбер цвета 1.

182. (!)a,n N, a>1 (an-1)n

183. a,b,c,d,A N, a2+A=b2, c2+A=d2 (!)2(a+b)(c+d)(ac+bd-A) – квадрат натурального числа.

Опр: Точка Нагеля – точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей.

184. (!)центр вписанной окружности совпадает с точкой Нагеля его серединного треугольника.

185. Отрезок, соединяющий середины дуг AB и AC окружности, описанной вокруг треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках D и К. (!)А,D,К,I, где I – центр вписанной окружности АВС, образуют вершины ромба.

186. а)(Теорема Птолемея) ABCD-вписанный 4-угольник. (!)|AB||CD|+|BC||AD|=|BD||AC| б)(неравенство Птолемея) (!)Р не лежит на дуге СА описанной окружности АВС|AB||CP|+|BC||AP|>|BP||AC|
11. 20 волейбольных команд разыграли турнир в один круг. (!)Из них нельзя выбрать 331 тройку команд, имеющих во встречах друг с другом по одной победе.

14. Можно ли прямоугольник 5х7 покрыть уголками из трёх клеток, не выходящими за его пределы, так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Серия 2. Кладоискатели и повороты.

1. (!)граф G- двудольный  все простые циклы в нём чётны.

2. Витя нарисовал на доске связный граф и раскрасил рёбра в 2 цвета. Андрей заметил, что он может ориентировать рёбра цвета 1 так, что граф останется связным. Саша заметил, что можно так ориентировать и рёбра цвета 2. (!)Витя может ориентировать все рёбра.

3. Инструкция по отысканию клада гласит: «Для того, чтобы найти клад, нужно встать под берёзой лицом к линии, соединяющей дуб и сосну. При этом дуб должен быть справа, а сосна – слева. Затем нужно пойти к дубу, считая шаги. Потом нужно повернуть под прямым углом направо, пройти столько же шагов и поставить там знак. После этого вернуться к берёзе, пойти, считая шаги, к сосне, повернуть налево, пройти столько же шагов и поставить второй знак. Клад зарыт точно посередине между двумя знаками.» Кладоискатель, прибыв на место, обнаружил, что дуб и сосна есть, а от берёзы ничего не осталось. Как найти клад?

4. Инструкция по отысканию клада гласит: «Встать под пальмой 1 лицом к пальме 2, пройти 1/2 расстояния между пальмами, повернуться к пальме 3, пройти 1/3 расстояния, повернуться к пальме 4 и т.д. На последнем этапе нужно пройти 1/2002 расстояния до пальмы 2002. Там будет зарыт клад.» Прибыв на место, кладоискатель обнаружил, что все номера стёрлись. За какое минимальное количество попыток можно найти клад?

5. На сторонах АВ,ВС,СА взяты точки P,Q,R. (!)Центры описанных окружностей треугольников APR,BPQ,CQR являются вершинами треугольника, подобного АВС.

6. a,b(a,b)=1, ab=1 (!)am+bman+bn mn

7. (!) n(n-1)/2=k2 имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

8. Тарас и Юля играют в игру на полоске 1х2000. Они по очереди ставят в её клетки буквы А и Г. Любой из них может поставить любую букву. Выигрывает получивший слово АГА. Кто выиграет при правильной игре?
Задачи с районной олимпиады.

Р.8.1. В таблице 3х3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1, а в каждом квадрате 2х2 равно 2. Какое число стоит в центре?

Р.8.2. ABCD – выпуклый четырёхугольник, CBD=CAB, ACD=BDA (!)ABC=ADC

Р.8.3. На какое максимальное количество нулей может оканчиваться произведение трёх натуральных чисел, если их сумма равна 407?

Р.8.4. При проверке диктанта в 91 классе оказалось, что грубые ошибки составляют более ¼ всех ошибок. Если бы каждый ученик сделал в 3 раза больше грубых и на 2 больше негрубых, то число грубых ошибок стало бы ровно в 5 раз меньше числа негрубых. (!)Хотя бы 1/3 класса написала диктант без ошибок.

Р.8.5. В ряд выписано 40 различных чисел из интервала (0;1). Сумма чисел, стоящих на местах с чётными номерами, на 1 больше, чем сумма чисел, стоящих на местах с нечётными номерами. (!)В ряду найдётся число, меньшее обоих своих соседей.

Р.9.1. Сумма двух делителей числа 160000 равна 1025. Найти эти делители.

Р.9.2. У ослика Иа-Иа есть 100 палочек. (!)Он может составить из них прямоугольник, сломав не более двух палочек.

Р.9.3. ABCD – параллелограмм, AB+CD=AC, К – точка на стороне ВС, такая, что ADB=BDK. Найти ВК:КС.

Р.9.4. Доказать для a,b,c [0;1]: a17-a10b7+b17-b10c7+c17-c10a71

Р.9.5. На координатной плоскости отмечены точки A(0;0), B(1;0), C(3;0), D(4;0), E(-2;5), F(-1;5), G(8;5), H(9;5). Может ли график некоторого квадратного трёхчлена пересекать каждый из отрезков AB, CD, EF, GH?

Р.10.1. У квадратного трёхчлена f(x)=x2+ax+b есть 2 корня, ровно один из которых принадлежит интервалу (0;1). (!)f(b)0

Р.10.2. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О, описанные окружности треугольников АОВ и COD пересекаются на AD. (!)AO>AB.

Р.10.3. х>0, [x]{x}=100. Чему равно [x2]-[x]2 ?

Р.10.4. Конструктор “Ёлки-палки” состоит из палок длиной 8см и 9см, причём есть палки обеих длин. Сумма всех палок равна 18м. (!)Из всех палок можно составить равносторонний треугольник.

Р.10.5. В ряд выписано 40 2-значных чисел. Сумма чисел с чётными номерами на 72 больше суммы чисел с нечётными номерами. (!)В ряду найдётся число,  обоим соседям.

Р.11.1. У Саши есть несколько палочек по 5 и 6см, суммарная длина которых равна 6м. (!)Из этих палочек можно сложить правильный 10-угольник.

Р.11.2. f(x)=lg[x] + lg{x}, f(a)=2, где а R. (!)f(a2)>4

Р.11.3. В таблице 11х11 расставлены числа. Произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1, а в каждом квадрате 3х3 равно 2. Найдите произведение чисел в первой и второй клетках третьей строки.

Р.11.4. На сторонах АВ и АС треугольника АВС выбраны точки С1 и В1 соответственно. ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. На плоскости взята точка D, такая, что АВ1DС1 – параллелограмм. (!)D лежит внутри АВС  S(АВ1ОС1)
Р

.11.5. Последовательность {xn}: (!)n N xn<100


Серия 3. Теорема Холла и учёт посещаемости.

1. (Лемма о девушках/Теорема Холла) На вечере собралось несколько юношей и девушек. Если выбрать любую группу юношей, то число девушек, знакомых хотя бы с одним из этих юношей, будет не меньше количества юношей в этой группе. (!)Все юноши могут одновременно танцевать, каждый в паре со знакомой девушкой.

2. В вершинах правильного 2000-угольника расставлены а)натуральные, б)положительные числа. (!) вершина, такая, что для любой проходящей через неё прямой, не проходящей через другие вершины, суммы чисел по разные стороны от прямой различны.

3. Для лучшего учёта посещаемости детьми занятий Фёдор Львович повесил рядом с дверью 2 доски. Каждый ребёнок должен записывать количество детей в классе на первой доске, когда входит в класс, и на второй доске, когда выходит из класса. (!)Наборы чисел, которые появится на обеих досках к закрытию школы, совпадут.

4. На плоскости даны 3 попарно непересекающиеся окружности разных радиусов. Для любых двух из них рассмотрели точки пересечения внешних касательных. (!)Все три точки лежат на одной прямой.

5. На плоскости даны 3 точки. Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний до данных точек минимальна.

6. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. На отрезках АО и DO выбраны точки M и N соответственно, такие, что BMD=ANC. (!)B, M, N, C лежат на одной окружности.

7. Два многочлена с вещественными коэффициентами принимают целые значения в одних и тех же точках. (!)Либо их сумма, либо их разность – константа.

8. (!)Уравнение sin(sin x + x2 + 1)+(sin x + x2+ 1)2=x-1 не имеет вещественных корней.
Серия 4. Гауссовы числа и теорема Блихфельдта.

1. а)(!)множество Z[i]={a+bi | a,b Z} – коммутативное кольцо с единицей (кольцо гауссовых чисел). б)(!)   Z[i]   Z[i]: в)(!)  четыре гауссовых числа, делящих единицу. Опр:  - ассоциированные числа, если и .  - простое гауссово число, если 1 и не имеет делителей, кроме ассоциированных с ним и единицей. г)(!) - ассоциированы  они отличаются домножением на делитель единицы. д)(!)всякое гауссово число раскладывается в произведение простых гауссовых чисел единственным образом с точностью до перестановки сомножителей и замены их ассоциированными.

2. (Теорема Блихфельдта) (!)Расположенную на плоскости с целочисленной решёткой фигуру площади S можно параллельно перенести так, чтобы внутрь фигуры попало а)[S] узлов б)[S] узлов (если S Z, то S+1)

3. В некотором государстве 101 город. а)Каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением, причём в каждый город входит 50 дорог и из каждого выходит 50 дорог. (!)Из любого города можно проехать в любой другой, причём не более чем по двум дорогам. б)Некоторые города соединены дорогами с односторонним движением, причём из каждого выходит и в каждый входит по 40 дорог. (!)Из каждого города можно добраться до любого другого, причём не более чем по трём дорогам.

4. Трапеция ABCD такова, что круги, построенные на её боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. (!)В неё можно вписать окружность.

5. В графе 3 вершины. Для любых трёх вершин А, В, С  путь из А в В, не проходящий через С. (!)Из любой вершины в любую другую ведёт 2 пути.

6. На двух чевианах треугольника как на диаметрах построили 2 окружности. (!)Их точки пересечения и ортоцентр лежат на одной прямой.

7. (!)  степень двойки, начинающаяся с 20002001.
Серия 5. Задача Иосифа Флавия.

1. Дикие зулусы захватили в плен а)2002 б)n белых натуралистов. Натуралистов пронумеровали и поставили по кругу по возрастанию номеров. Отправляясь от номера 1, вождь двигается в сторону увеличения номеров и отправляет на кухню каждого второго. Из последнего оставшегося делают тамтам. Какой номер будет на тамтаме?

2. Мудрое руководство кружка наняло надсмотрщика с зарплатой 2 рублей в день. Так как монеты такого достоинства не существует, каждый день платится 1 или 2 рубля, причём сумма всех полученных за n дней денег должна отличаться от n2 менее чем на 1 рубль. (!)Последовательность выплат непериодична.

3. С натуральным числом A разрешается выполнять следующую операцию: разбить на 2 натуральных слагаемых, больших 1, и заменить А на их произведение. (!)Из любого числа >4 можно получить степень 10.

4. В компании из k>3 человек у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. (!)За 2k-4 разговора они смогут все новости.

5. В окружности провели пересекающиеся хорды, образующих в пересечении треугольник АВС. В криволинейные треугольники, образованные хордами и дугами, вписали окружности, касающиеся большой окружности в точках А1, В1, С1. (!) АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке.

6. Биссектриса АА1 треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке Х. Из А1 опустили перпендикуляры А1Y и A1Z на стороны АВ и АС треугольника. (!)SAYXZ=SABC 7.  - углы треугольника. (!) cos  + cos  + cos  1/8

8. а)На плоскости даны n точек, являющихся серединами сторон n-угольника. Постройте вершины n-угольника. б)Постройте
n-угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого
n-угольника и имеющих углы 1,…,n при вершинах, если 1+…+n=2k.
Серия 6. Много старых полезных идей.

1

. (!)Все простые делители чисел Мерсена (т.е. чисел вида 2р-1) имеют вид 2kp+1, где k N.

2. (!)Все простые делители чисел Ферма (т.е. вида +1) имеют вид а)2n+1k+1 б)2n+2k+1, k Z

3. Дан связный граф, в котором хотя бы 2n вершин. (!)граф n-связен  двух непересекающихся множеств V1, V2, в каждом из которых 2n вершин, найдутся n непересекающихся (даже по концевым вершинам) путей из V1 в V2.

4. В шахматном турнире участвовало 11 человек. В настоящее время среди любых трёх двое не сыграли друг с другом. (!)Сыграно 30 партий.

5. Р – произвольная точка плоскости, АВС – равносторонний треугольник. (!)|PA| |PB|+|PC|

6. АС – ось симметрии 4-угольника ABCD. К и С лежат по одну сторону от АВ, точки М и А – по разные стороны от ВС, АКВ и ВСМ – правильные треугольники. (!)D, K, М лежат на одной прямой.

7

. Р(х) имеет 1 корень, Р(Р(х)) не имеет корней. (!)Все корни Р(х) одного знака.

8. Доказать:

Серия 7.

1. В какое наименьшее количество цветов можно раскрасить клетки бесконечной клетчатой плоскости, чтобы в любой фигурке вида все клетки были разного цвета.

2. Каждая клетка клетчатого листа бумаги размера 100х100 закрашена в чёрный или белый цвет. Количество чёрных и белых клеток одинаково. (!)Квадрат можно разрезать по линиям сетки на 2 многоугольника так, чтобы в них было равное количество чёрных и белых клеток.

3. Клетки доски 8х8 раскрашены в 2 цвета. На какую бы клетку не поставили ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (ладья бьёт клетку, на которой стоит). (!)В любой строке и столбце поровну чёрных и белых клеток.

4. АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы треугольника АВС, С1В1 и АА1 пересекаются в точке L, А1В1 и СС1 пересекаются в точке К.
(!)ВВ1 – биссектриса угла LBK.

5. У окружности проведены диаметр АВ и перпендикулярная ему хорда CD. Меньшая окружность касается CD и дуги DBC. (!)Касательная, проведённая к этой окружности из А, равна АС.

6. (Формула Мечина) (!)/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239)

7. {an} – последовательность, n Z+ а2n=аn, a4n+1=1, a4n+3=0. (!)У этой последовательности нет периода.
С
В

А

жүктеу/скачать 287 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4



©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет