40. p,qC. (!)решения уравнения x2+px+q=0 по модулю равны 1
жүктеу/скачать 287 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Напоминание.
- 4 Правильность всех условий не гарантируется!!! .
3. На полке стоят 56 томов полного собрания сочинений В. И. Ленина. Библиотекарь может менять местами любые 2 тома. За какое наименьшее количество операций он заведомо сможет расставить все тома в правильном порядке? 4. Даны 2 непересекающихся круга разных радиусов. (!)Существует инверсия, переводящая один в другой. 5  . х1>0, у1>0, хn+1=(хn+уn)/2, уn+1=хnуn (!)Обе последовательности стремятся к одному и тому же пределу.
6. Дана функция f(x)=arctg 2х-10 Чему равна сумма f(0)+f(1)+…+f(20)? Серия 24. Их с нами нет или тест №2. 1. Отрезки AB, BC, CA - диагонали квадратов К1, К2, К3. (!)ABC - остроугольный он полностью покрывается этими квадратами. 2.(!) a,b,cR 3/4(a4 + b4 + c4 + 1)ab2 + bc2 + ca2. 3. На плоскости дано 2002 вектора, причём среди них есть неколлинеарные. Сумма любых 2001 векторов коллинеарна с вектором, не включённым в сумму. (!)Сумма всех векторов равна нулевому вектору. 4  . Фишка стоит в углу клетчатой доски nхn. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнюю клетку. Нельзя ходить на одну и ту же клетку дважды. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. а)(!)n2 начинающий выигрывает, n 2 второй выигрывает. б)Кто выигрывает, если изначально фишка стоит не в углу, а в соседней с ним клетке?
5. Какова наибольшая длина арифметической прогрессии a1, …, an натуральных чисел с разностью 2, обладающей свойством ak2+1 - простое для k=1, …, n? 6. х, у R, для любых нечётных простых различных p, q xp+yq Q. (!)x, y Q. 7. Р(х) - многочлен нечётной степени. (!)Многочлен Р(Р(х)) имеет не меньше различных действительных корней, чем Р(х). Серия 25. Уравнение Пелля (a2-5b2=1) 1   . а)Q(5)={a+b5|a, bQ} (!)Q(5) - поле относительно сложения и умножения. б)=a+b5=a-b5; N==a2-5b2 (!)=; =; N()=NN в)U+={=a+b5|a, b Z, N=1} (!)U+ - группа по умножению г)(!)0=9+45 U+; (!) в U+ бесконечно много элементов д)(!)U+, >0 a>0; >1 b>0 е)(!)в U+ нет элемента : 1<<0 ж)=a+b5 - решение уравнения Пелля (!)a, b N =0k, kN з)(!) - решения уравнения Пелля имеет вид 0k, k Z
2.(неверная) a-bn (!) 
3. В круге радиуса 1 проведено несколько хорд. Любой диаметр пересекает не более k из них. (!)Сумма длин всех хорд не превосходит k. 4. (!)При аффинном преобразовании окружность переходит в себя это поворот или осевая симметрия. Серия 26. Символ Якоби. Напоминание. Символ Лежандра: 
Опр. Символ Якоби 
1  . а) (!)Символ Якоби мультипликативен по a б)(!)b 2  в)b 2  г)a, b 2 
д) Является ли 74 квадратичным вычетом по модулю 101? А 365 по модулю 1847? 2. (!) sin2 cos6 33/ 44. 3. Найти все f(x)С(R), такие что при любом x f(2x)=f(x). 4 Правильность всех условий не гарантируется!!! . Через точки А и B проведены 3 окружности S1, S2, S3. S1 и S2 касаются некоторой окружности S. S3 перпендикулярна S. (!)угол между S3 и S1 равен углу между S3 и S2. Серия 27. Кубическая. 1. Доказать, что x3a (mod p), pP, (a,p)=1a)имеет 0 или 3 решения, если p=6k+1 б)имеет 1 решение, если p=6k+5. 2. х[0;1] записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получили новую дробь х1, переставив в х1 цифры с 2 по 6, получили х2 и т. д., т. е. хk+1 получается перестановкой в хk цифр с k+1 по k+5. а)(!)как бы не переставляли цифры, получающаяся последовательность имеет предел y. б)Можно ли из рационального x получить иррациональное y? в) придумать число х, такое что описанный процесс всегда приводит к иррациональному числу. 3. Можно ли заполнить плоскость без наложений квадратами со сторонами 1, 2, 4, 8, …, если каждый из них можно использовать не более а)10 раз, б)1 раза. 4. Из вершины А треугольника ABC опущены перпендикуляры AM и AN на биссектрисы внешних углов B и C. (!)MN равно полупериметру. 5. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает BC в K, а CD в L. (!) центр окружности KCL лежит на окружности BCD. 6. (!) x-y+z=1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах, причём произведение любых двух из этих чисел делится на третье и все числа различны. Серия 28. Совершенно идеальная. 1. а)(!)Простых чисел вида 6k-1 бесконечно много. б)(!)Простых чисел вида 6k+1 бесконечно много. 2. MQ, M, 1)a, bM a+bM, abM; 2)rQ либо rM, либо -rM, либо r=0 (выполняется ровно одно из трёх условий) (!)M=Q+ 3. а)IZ, I, 1)a, bI a+bI 2)rZ, aI raI (!)k: I={nZ: nk} (такое множество называется идеалом) б)(!)Для многочленов с целыми коэффициентами это неверно. 4. а)(!)Основания биссектрис внешних углов неравнобедренного треугольника лежат на одной прямой. б)(!)Эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружности треугольника. 5) На клетчатой бумаге красным карандашом обведён контур прямоугольника 5х2001. Костя и Миша по очереди проводят красные отрезки, соединяющие противоположные стороны прямоугольника. Проигрывает тот, после чьего хода образуется красный квадратик 1х1. Кто выиграет? 6) В выпуклом пятиугольнике выбраны 2 точки. (!)Можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника, такой что в него попадут обе выбранные точки. Серия 29. Первообразно-геометрическая. 1. pP, p2. a)g первообразный корень по модулю pn. (!)g - первообразный корень по mod pn-1. б)g - первообразный корень по mod pсреди вычетов g+pt, где t=0,…,p-1, есть первообразный корень по модулю p2. 2.(a, b, c, d)=1 (!)(an+b, cn+d)=1 n pP, ad-bcp, a, cp. 3. Решить в натуральных числах: 
4. Окружность с центром О проходит через вершины Aи B и центр I, вневписанной окружности, касающейся стороны BC. а)(!) ABCO - вписанный четырехугольник. б)C, O, I лежат на одной прямой.. 5. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Прямые p и q, проходящие через A, пересекают окружности в точках P1, Q1, P2, Q2. (!) угол между прямыми P1Q1 и P2Q2 равен углу между окружностями. 6. Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание AD. Длины всех оснований различны. (!)Точки пересечения прямых AB и CD, AP и DQ, BP и CQ лежат на одной прямой. 7. На сторонах треугольника АВС внешним образом построены попарно подобные треугольники AC1B, BA1C, CB1A (буквы именно в таком порядке). (!)Точки пересечения медиан треугольников АВС и А1В1С1 совпадают. Серия 30. Последняя. 1. 2t+1=p - простое. (!)3 - первообразный корень по модулю р. 2. (!)a, b, cZ k, l: (k, l)=1, ak+blc 3. Учащиеся изучают n3 предметов. По любому предмету отличниками являются ровно трое; для любых двух предметов ровно один ученик является отличником по обоим. При каком наименьшем n можно утверждать, что некоторый ученик является отличником по всем предметам? 4. АА1, ВВ1, СС1 - чевианы треугольника, пересекающиеся в точке М. В1С1 пересекает АА1 в точке N. (!)A1N/NA=2A1M/MA 5. а)A, B, C, D - точки плоскости. (!)  б)(!)высоты треугольника пересекаются в одной точкежүктеу/скачать 287 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|