Аксиоматический метод
жүктеу/скачать 111 Kb.
|
| 2. Пример аксиоматизации. В этом пункте мы разберем пример аксиоматизации математических теорий. Начнем с рассмотрения тех конкретных примеров, изучение которых послужило источником этой аксиоматики. Существуют три вопроса, на первый взгляд не имеющие между собой ничего общего: изучение геометрических преобразований, переводящих в себя данный правильный m-угольник и не меняющих ориентации плоскости, изучение корней т-п степени из единицы и операции над остатками при делении натуральных чисел на т.
Можно сказать, что классы вычетов по т дают числовую модель и для поворотов правильного m-уголышка вокруг центра и для корней т-й степени из единицы. Однако пока что мы имеем лишь сведение одного математического объекта к другому (поворотов и корней к классам вычетов). Существенно, что за всеми тремя разобранными вопросами стоит одна и та же математическая структура, называемая структурой циклической группы порядка т. Эта структура возникает на любом множестве X, состоящем из т элементов, на котором определена ассоциативная алгебраическая операция , причем все элементы из X являются степенями одного из них (порождающего элемента группы) и в X есть элемент, нейтральный относительно операции * (единичный элемент группы). Например, для поворотов правильного m-угольника операцией является композиция поворотов, единичным элементом — тождественное преобразование, а порождающим элементом — поворот на угол — 2π/m. Для корней т-й степени из 1 операцией является умножение, единичным элементом — число 1, а порождающим элементом — число . Наконец, для вычетов по модулю т операцией является сложение, единичным элементом — класс 0, а порождающим элементом — класс 1 (заметим, что в этом, как и в предыдущих примерах, в качестве порождающего элемента можно выбрать любой класс k, такой, что k взаимно просто с т). Замена трех различных множеств с заданными па них операциями их общей математической структурой позволяет, изучая эту структуру, делать выводы о каждом из трех множеств. Эти множества называются моделями данной структуры (или данной системы аксиом). Система аксиом, определяющая структуру циклической группы порядка т {численность множества, ассоциативность операции, наличие порождающего и нейтрального элементов), обладает свойством категоричности: все ее модели изоморфны друг другу. Иными словами, если X и К — две модели этой системы аксиом, то существует биективное отображение f X на Y, такое, что f (х1 * х2) = f (x1) о (х2). (Здесь через о обозначена операция в У.) Структура циклической группы порядка т является частным случаем более общей математической структуры группы. Существует бесконечно много неизоморфных друг другу групп. Оказывается, что понятие циклической группы можно выделить из общего понятия группы условием существования порождающего элемента. Добавляя условие, что число элементов группы равно т, возвращаемся к понятию циклической группы порядка т, с которого начали рассмотрение. Мы видели на разобранном примере, как анализ общих черт в разнородных объектах позволяет подойти к этим объектам аксиоматически, сформулировать систему аксиом, а потом преобразовать ее так, чтобы она охватывала гораздо более широкий класс объектов, чем послужившие исходным пунктом исследования. В то же время переход от этого широкого класса объектов к исходному совершается путем наложения добавочных требований. жүктеу/скачать 111 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|