Аксиомы стереометрии и их следствия
жүктеу/скачать 261.1 Kb.
|
| Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Иллюстрация теоремы 2. (Рис. 5.) Рис. 5. Решение задачи 1 Задача 1. Даны две прямые, которые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости (Рис. 6.). Рис. 6. Решение: Нам даны две прямые а и b, которые пересекаются в некоторой точке М. Возьмем произвольную прямую с, которая не проходит через точку М, но пересекает исходные прямые а и b в точках А, В, соответственно. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, согласно 2 теореме. Значит через пересекающиеся прямые а и b проходит единственная плоскость, обозначим ее . Две разные точки А и В прямой с принадлежат плоскости . А из того, что две точки прямой принадлежат плоскости, вытекает, что все точки прямой принадлежат плоскости, т.е. вся прямая лежит в плоскости. Значит, прямая с принадлежит этой плоскости. Таким образом, мы доказали, что все прямые, пересекающие А и В, но не проходящие через М, лежат в одной плоскости. Решение задачи 2 Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости. Решение: Пусть нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости (Рис. 7.). Рис. 7. Если точка С лежит на прямой АВ, то ответ очевиден. Предположим, что точка С не принадлежит прямой АВ. Тогда через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу аксиомы 1. Обозначим эту плоскость Прямая АВ целиком лежит в плоскости , потому что две ее точки лежат в этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости . Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости , потому что две ее точки В и С лежат в плоскости , значит, и отрезок ВС лежит в плоскости . И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости . Что и требовалось доказать. Решение задачи 3 Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли 2 другие вершины параллелограмма в плоскости ? Решение: Рис. 8.
Через три точки А, В и О проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость . Прямая АО целиком лежит в этой плоскости, потому что две ее точки лежат в плоскости. Значит, точка С, точка прямой АО, лежит в плоскости . Аналогично, прямая ВО целиком лежит в плоскости , значит, точка D этой прямой тоже лежит в плоскости . Ответ: Да, вершины С и D лежат в плоскости . Решение задачи 4 Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Рис. 9. Решение: Нам дана прямая а и некоторая точка М, которая не лежит на этой прямой. Нам нужно доказать, что все прямые, которые проходят через точку М и пересекают прямую а лежат в некоторой единственной плоскости. Мы знаем, что в силу 1 теоремы через прямую а и точку М проходит единственная плоскость, обозначим через . Теперь возьмем произвольную прямую, которая проходит через точку М и пересекает прямую а, например, в точке А. Прямая МА лежит в плоскости , потому что две ее точки М и А, лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая лежит в плоскости , в силу 2 аксиомы. Итак, мы взяли произвольную прямую, которая удовлетворяет условиям задачи, и доказали, что она лежит в плоскости . Значит, все прямые, проходящие через точку М и пересекающие прямую а лежат в плоскости , что и требовалось доказать. Решение задачи 5 Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? Рис. 10. жүктеу/скачать 261.1 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|