Бірінші теЈдеуді дифференциалдаймыз

Бірінші теЈдеуді дифференциалдаймыз

Мына системаны

›±рамыз. Осы системадан айнымалысын шы“арып тастайы›. Ол Їшін бірінші теЈдеуді 5–ке кйбейтіп, екіншіге ›осамыз. Сонда:

теЈдеуін аламыз. Табыл“ан теЈдеу т±ра›ты коэффициентті екінші ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеу. Оны шы“аруды білеміз. Ол Їшін:

Сипаттаушы теЈдеуініЈ тЇбірлерін табамыз

ТеЈдеудіЈ жалпы шешімі: болады.

Осы тЩсілмен - ді шы“арып тастап - ге ›ара“анда екінші ретті дифференциалды› теЈдеуді алып, - ні табу“а болады, немесе берілген системаныЈ бірінші теЈдеуімен - ні мен оныЈ туындысы ар›ылы йрнектеп шы“ару“а да болады:

сонымен, берілген системаныЈ шешімі:

тЇрінде аны›талады.

4–ке кйбейтіп, бірінші теЈдеуге ›осамыз, сонда: шы“ады.

Енді берілген системаныЈ бірінші теЈдеуінен - ні табу“а болады:

СоЈында, берілген системаныЈ жалпы шешімін

тЇрінде аламыз.

1.

2.

3.

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

1. 
   Сызы›ты шекаралы› есептер Їшін арнаулы функциялар жЩне олардыЈ ай›ындалу тЇрлері.
   
2. 
   Грин функциясы. Штурм-Лиувилл есебі.
   

1. 
   Сызы›ты шекаралы› есептер Їшін арнаулы функциялар жЩне олардыЈ ай›ындалу тЇрлері.
   

Екі нЇктелік сызы›ты шекаралы› есеп ›арастырамыз.

Екінші ретті сызы›ты дифференциалды› теЈдеу.

(1)

М±нда“ы:

Б±л теЈдеу Їшін ›ойылатын сызы›ты шекаралы› шарт жалпы тЇрде былай жазылады:

(2)

М±нда“ы берілген на›ты сандар. ОлардыЈ кейбіреулері нйлге теЈ болуы мЇмкін, біра›

Егер болса, онда шекаралы› шарт біртекті емес деп аталады. Ал егерде шекаралы› шарт біртекті деп аталады. Егер жЩне болса шекаралы› есеп біртекті,ал ›ал“ан жа“дайларда біртекті емес деп аталады.

Жо“арыда“ы (1),(2) біртекті емес деп аталады Їшін тймендегі Їш жа“дайдыЈ кез-келгені орындалуы мЇмкін:

1. 
   оныЈ шешімі жо›;
   
2. 
   шешімі бар жЩне жал“ыз
   
3. 
   бірнеше немесе а›ырсыз кйп шешімі бар.
   

ТеЈдеудіЈ жалпы шешімін

шекаралы› шарт›а ›оялы›

Я“ни бірінші шарттан шы“ады , ал екінші шарттан алынады.Б±л мЇмкін емес , демек есептіЈ шешімі жо› .

теЈдеудіЈ жалпы шешімін шарттар“а ›ойса›

теЈдіктерін аламыз.Сонды›тан есептіЈ шешімі бар жЩне жал“ыз.

СЩйкес біртекті теЈдеудіЈ жалпы шешімі функциясы.

Сызы›ты біртекті емес теЈдеудіЈ йзініЈ дербес шешімі бар. Онда теЈдеудіЈ жалпы шешімі функциясы.

Оны шарт›а ›ойса›

Системасы алынады. Одан

Сонды›тан берілген есептіЈ жал“ыз шешімі

1. 
   Грин функциясы. Штурм-Лиувилл есебі.
   

Осы екінші ретті теЈдеуге мынадай шарт ›ояйы›

(2) шарт

Грин функциясы деп , келесі тйрт шартты ›ана“аттандыратын функцияны атайды.

1)

- бойынша біртекті теЈдеуді ›ана“аттандырады.

2) функциясы(2) біртекті шектелген шартты ›ана“аттандырады.

3) , 43-3

4) бірінші текті функция.



Мысал

(*) ›арастырамыз шартты ›ана“аттандыратын

М±нда“ы -кез-келген сан =1 дербес шешімі .

(**)›арастырамыз

- дербес шешімі.

Енді жЩне табу керек. Ол Їшін (3) жЩне (4) формуланы пайдаланайы›. Онда деп алып

1.

2.

3.

4.
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

1. 
   , -Коши есебін шеш. (жауап: )
   
2. 
   , -Коши есебін шы“ар. (жауап: )
   
3. 
   теЈдеуініЈ жалпы шешімін тап. (жауап: )
   
4. 
   теЈдеуін шеш. (жауап: жЩне )
   
5. 
   теЈдеуініЈ барлы› шшімдерін жЩне бастап›ы шартын ›ана“аттандыратын шешімін тап. (жауап: жЩне )
   

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№2 Практикалы› саба›.

1) Берілген функциялардыЈ ›айсысы біртектес жЩне олардыЈ біртектестік дЩрежесін кйрсет.

2) ТеЈдеуді шеш:

2.1. (жауап: )

2. 
   (жауап: )
   
3. 
   (жауап: )
   
4. 
   (жауап: )
   
5. 
   (жауап: )
   

4)ТеЈдеуді шеш.

4. 
   4.1 у'= (жауап: x²- y2-2ху+4у+8х=C);
   

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№3 Практикалы› саба›.

1. ТеЈдеулердіЈ жалпы шешімдерін тап.

1.1. (1+x²)y'-2xy=(1+x²)² (жауап: у=(1+x²)(C+x))

1.2. y'-3x²y=x⁵+x² (жауап: )

1.3. y'+2xy= (жауап: )

1.4. y'+2xy=2x³y³ (жауап: )

2 .Коши есептерін шеш

2.1. y'+ycosx=sinx·cosx (жауап: y=3e^-sinx+sinx-1).

2.2. y'+x²y=x² (жауап: y=1)

2. 
   , (жауап: )
   

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№4. Практикалы› саба›.

1. Тймендегі теЈдеулердіЈ толы› дифференциал теЈдеу екенін тексеріп, олардыЈ жалпы шешімін табу керек.

2. 
   (3x ²+6x y² )dx +( 6 x² y + 4 y³ )dy=0 (жауап: x³+3 x² y² + y⁴ =C)
   
3. 
   (x³ + 3 x y² )dx+ (y³+3 x² y) dy =0 (жауап: x⁴ + 6 x² y² + y⁴ =C)
   
4. 
   ( 1+e^x/y)dx + (1- )e^x/y dy=0 (жауап: x+ye^x/y =C)
   
5. 
   (3 x² y – 4 y²)dx+(x³-4 x² y+12 y3) dy=0 (жауап: x³ y-2 x² y² +3 y⁴ =C)
   
2. 
   Коши есебiн шы“ар
   
   2. 
      x dx+ y dy + =0 жауап: x ²+ y² + 2 arctg =1)
      

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№6-7. Практикалы› саба›.

1. y₁=sinx жЩне y₂=cosx функциялары теЈдеуініЈ сызы›ты тЩуелсіз шешімі екенін тексер.

2. Осындай тексеруді y₁=e^2x,y₂=e^3x функциялары жЩне теЈдеулері Їшін де жЇргіз.

3. y₁=x функциясы теЈдеуініЈ дербес шешімі болатынын тексер жЩне осы теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап.

[Жауап: y=c₁x+c₂(

4. y₁=x функциясы теЈдеуініЈ дербес шешімі екенін тексер жЩне оныЈ жалпы шешімін тап.

[Жауап: y=c₁x²+c₂x].

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№8. Практикалы› саба›.

тймендегі теЈдеулердіЈ жалпы шешімін т±ра›тыны вариациялау Щдісімен табу керек.

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№9-10. Практикалы› саба›

Тймендегі теЈдеулердіЈ жалпы шешімін табыЈдар. (ескерту:дербес шешімдердіЈ “ана жауабы берілген).

1. ( )

2.

3.

4 .

5.

6.

7.

8.

9.

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№11-12. Практикалы› саба›.

1. Жауап:
2. Жауап:
3. Жауап:
4. . Жауап:
5. . Жауап:
Тймендегі системаны т±ра›тыны вариациялау Щдісімен шеш.

1. 
   Жауап:
   

1. 
   Жауап:
   

Системаны айнымалыны шы“ару Щдісімен шеш.

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

№13-14. Практикалы› саба›.

1. ; бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын біртектес теЈдеуініЈ шешімін тап

2. ; бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

3. , бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

4. , бастап›ы шартты ›ана“аттандыраты дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

5. , бастап›ы шартты ›ана“аттандыраты дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

6. Коши есебін шеш

7. , , бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

[1.7], §1, №1-7, 26-29, 37-43, §8, №241,245,251,267,287

[1.7], §2№51-60. §8, №241,245,251,267,287

[1.7], §4, №101-120 (ж±п нймірлер)

[2.3],§5, №108-115, 101-107.

[1.7], §5,№136-160 (ж±п нймірлер), §6 195-200, §10, №421-427.

[1.7], §11, №511-548 (та› нймірлер), 551-560, §14, №786-845 (та› н»мірлер).

[1.7], §15, № 899, 907, 915, 923, 932-936,949-951.

[1.7], §1, №8-15, 30, 47, §8, №242,246-249,269,288

[1.7], §2№61-70. §8, №242,246,253,269,289

[1.7], §4, №101-120 (та› нймірлер)

[1.7], §6, №212-220

[1.7], §7, №222-223

[1.7], §8, №251-253, 273-275, 288-292.

[1.7], §9, №301-330 (та› нймірлер)

[1.7], §9, №331-361(ж±п нймірлер)

[1.7], §10 №421-450

[1.7], §11 №521-551, 557-565.

[1.7], §11 №575-578, 582-586, 588.

[1.7], §14 №786-796, 813-815, 830-833, 850.

[1.7], §14 №851-866 (та› нймірлер)

[1.7], §15 №902, 909, 917, 926, 960.

1 . љай теЈдеу бірінші ретті дифференциалды› теЈдеу болады

A.

B.

C.

D.

E.

2 . љай функция теЈдеуініЈ шешімі

A.

B.

C.

D.

E.

3 . љай функция теЈдеуініЈ жалпы шешімі

A.

B.

C.

D.

E.

4. љай теЈдеу айнымалысы бйлінетін дифференциалды› теЈдеу

A.

B.

C.

D.

E.

5. Дифференциалды› теЈдеуді шеш

A.

B.

C.

D.

E.

6. Характеристикалы› теЈдеуініЈ тЇбірлері болатын сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеуді кйрсет.

А.

В.

D.

7. Толы› дифференциал теЈдеуі ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

8. жалпы шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E.

9. теЈдеуді шеш

A.

B.

C.

D.

E.

10. 2-ші ретті біртектес сызы›ты› дифференциалды› теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E

11. дифференциалды› теЈдеуініЈ характеристикалы› теЈдеуін тап

A.

B.

C.

D.

E.

12. дифференциалды› теЈдеуініЈ характеристикалы› теЈдеуініЈ тЇбірлерін тап

A.

B.

C.

D.

E. ,

13. Характеристикалы› теЈдеуі болатын сызы›ты› біртектес теЈдеуді кйрсет.

А.

В.

D.

14. Характеристикалы› теЈдеуі :болатын сызы›ты› біртектес теЈдеуді кйрсет.

А.

В.

D.

15. Характеристикалы› теЈдеуініЈ тЇбірлері болатын сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеуді кйрсет

А.

В.

D.

16. Сызы›ты› біртектес теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

17. Сызы›ты› емес біртектес теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

18. Т±ра›ты коэффициентті сызы›ты› теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

19. характеристикалы› теЈдеуін тап

A.

B.

C.

D.

E.

20. характеристикалы› теЈдеуініЈ тЇбірлерін тап

A.

B.

C.

D. ,

E. ,

21. 2-ші ретті дифференциалды› теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

22. шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E.

23. жалпы шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E.

24. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E.

25. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

A.

B.

D.

E.
№2. Тапсырмалары.
26. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E)

27. Бірінші ретті біртектес дифференциалды› теЈдеу ›айсы?

A.

B.

C.

D.

E.

28. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E.

29. Фундаментальды жЇйесі берілген сызы›ты› біртектес теЈдеуді кйрсет.

А.

С.

E.

В.

D.

31. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

А.

В.

С.

D.

E.

32. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап

А.

В.

С.

А.

В.

С.

D.

E.

35. Коши есебін шеш

А.

В.

С.

D.

Е.

36. дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

A. ,

B. ,

C. ,

D. ,

E. ,

37. , бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап

A.

B.

C.

D.

E

38. ; бастап›ы шартты ›ана“аттандыратын дифференциалды› теЈдеуініЈ дербес шешімін тап.

A)

B)

C)

D)

E)

39. Дифференциалды› теЈдеуініЈ жалпы шешімін тап

A)

B)

C)

D)

E)

40. дифференциалды› теЈдеуініЈ ( ) дербес шешімініЈ тЇрін жаз

A)

B)

C)

D)

E)

41. дифференциалды› теЈдеуініЈ ( ) дербес шешімініЈ тЇрін жаз

A)

B)

C)

D)

E)

42. дифференциалды› теЈдеуініЈ ( ) дербес шешімініЈ тЇрін жаз

A)

B)

C)

D)

E)

43. дифференциалды› теЈдеуініЈ ( ) дербес шешімініЈ тЇрін аны›та

A)

B)

C)

D)

E)

44. дифференциалды› теЈдеуді вариация Щдісін ›олданып шеш.

A)

B)

C)

D)

E)

46. дифференциалды› теЈдеуді вариация Щдісін ›олданып шеш.

A)

B)

C)

D)

E)

47. дифференциалды› теЈдеулер жЇйесін шеш

A)

B)

C)

D)

E)

48. дифференциалды› теЈдеулер жЇйесін шеш

A)

B)

C)

D)

E)

49. дифференциалды› теЈдеулер жЇйесін шеш

A) ;

B) ;

C) ;

D) ;

E) ;

A)

B)

C)

D)

E)