40. p,qC. (!)решения уравнения x2+px+q=0 по модулю равны 1
жүктеу/скачать 287 Kb.
|
СТ Р Н Q V U ерия 8. Одна несложная геометрическая задача. O1 O2 O C=900, CH – высота, О, О1, О2 – центры вписанных окружностей с радиусами, соответственно, r, r1, r2 треугольников АВС, АСН, ВСН. UV проходит через О1 и О2, OTAB. Доказать: а)r+r1+r2=CH б)треугольники АСН и ВСН подобны треугольнику АВС с коэффициентами k1 и k2, такими, что k12+k22=1 в) r2=r12+r22 г) AC=AQ, BC=BP д) О – ортоцентр треугольника СО1О2 е)РО2||АО, QO1||BO ж)описанные окружности треугольников АСО1 и ВСО2 касаются в точке С с общей касательной ОС з)О1О2Н~АВС и)О1ТО2=900 й)TO1||BC, TO2||AC к)О1Т=О2Т=ОТ=РТ=QT л)CU=CV=CH м)О1О2=СО н)А, О1, О2, В лежат на одной окружности о)А, Р, О, С – на одной окружности.
С
3. P (n,k) – количество делителей числа n, не меньших k. Чему равно P(1002, 1) + P(1003, 2) +…+ P(2002, 1001)? 4  . (!) a, b N: p, q P, pq, p, q>2002 ap+bq P
5. Из точек А и В, лежащих на разных сторонах угла, восстановлены перпендикуляры к сторонам, которые пересекаются с биссектрисой угла в точках С и D. (!)середина СD равноудалена от А и В. 6. По окружности расставлены числа от 1 до 100 в произвольном порядке. Для каждых 3 чисел, стоящих подряд, вычислили их сумму. (!)какие-то две суммы отличаются хотя бы на 3. 7. a, b>0, a+b2 (!)a/(b+ab) + b/(a+ab) 1 8. В треугольнике ABC проведена высота BD. AN – перпендикуляр к AB, CM – перпендикуляр к BC, AN=DC, CM=AD. (!)M и N равноудалены от B. Серия 10. 1. Из натуральных чисел от 1 до 99 выбрано 50 так, что никакие 2 не дают в сумме 99 или 100. (!)Выбраны все числа от 50 до 99. 2. x, y R, x3-3x2+5x-17=0, y3-3y2+5y+11=0 x+y=? 3. M – точка пересечения диагоналей трапеции АВСD. На основании ВС выбрана точка Р такая, что АРМ=DPM. (!)Расстояние от точки С до прямой АР равно расстоянию от В до DP. 4. На плоскости даны треугольник АВС и точки D и Е такие, что ADB=BEC=900 (!)DE Р(АВС)/2 5. Дан треугольник АВС. На его сторонах АВ и ВС построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ. (!)Центры квадратов и середины отрезков MQ, АC являются вершинами квадрата. 6. В выпуклом четырёхугольнике ABCD А+D = 1200, АВ=ВС=СD (!)Точка пересечения диагоналей равноудалена от A и D. 7. (!)Количество способов разрезать прямоугольник на уголки из трёх клеток чётно. 8. На окружности в некотором порядке расставлены 15 белых и 15 чёрных фишек. За 1 ход разрешается менять местами две фишки. За какое наименьшее число ходов от любой расстановки можно перейти к расстановке, в которой белый и чёрный чередуются? 9. На крайней правой клетке доски а)1х40 б)1х25 стоит фишка. Двое по очереди двигают её в любую сторону на такое количество клеток, которое ещё не встречалось при предыдущих перемещениях. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет? Серия 11. Кружковцы в клетках1. Каждый из 25 кружковцев имеет в кружке не более 3 врагов. Мудрое руководство решило рассадить кружковцев по клеткам, образующим квадрат 5х5 так, чтобы никто из них не имел общей стенки со своим врагом. (!)Руководству это удастся. 2. а) а – квадратичный вычет по модулю p, pP, p3.(!)а – квадратичный вычет по модулю p2. б)а – квадратичный вычет по модулю p. (!)а – квадратичный вычет по модулю pn в)а – квадратичный вычет по модулю 8. (!)а – квадратичный вычет по модулю 2n 3. Может ли произведение всех натуральных делителей натурального числа оканчиваться ровно на 2001 ноль? 4. a2 + ab + 1 делится на b2 + ab + 1. (!) a=b. 5 
. Точка с координатами (x(t), y(t)) движется в координатной плоскости хOy так, что в любой момент времени t выполняются равенства y(t) = 1/x(t), x(t) = -1/y(t). В некоторый момент точка имела координаты (12;3). Может ли точка иметь координаты (6;5)? 7. ABCD – квадрат, точка Р лежит на дуге CD его описанной окружности. (!)РА(РА+РС)=РВ(РВ+РD) 8. (!)В треугольнике АВС биссектриса угла А, средняя линия, параллельная АС и прямая, соединяющая точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС пересекаются в одной точке. 9. Стороны выпуклого n-угольника последовательно пронумерованы числами от 1 до n. Внутри берётся точка и соединяется со всеми вершинами. (!)Эти отрезки можно пронумеровать числами от 1 до n так, чтобы суммы чисел на всех n треугольниках были одинаковы n нечётно. Серия 12. Остатки городской олимпиады. 1. а)(Г.9.4) У Гарри есть 1 мышонок и много лягушат. Он может превращать мышат в лягушат и обратно по следующему правилу: если мышат и лягушат не поровну, то количество животных, которых меньше, удваивается. После того, как Гарри сумел проделать эту операцию 17 раз, у него впервые оказалось мышат в два раза больше, чем лягушат. Сколько животных было у Гарри? б)(Г.11.6) {an} – последовательность, an1 an+1 = (an-1)/2, an<1 an+1 = 2an/(1-an), a0 N, при n=1,…,2001 an2, a2002=2 a0=? 2.(Г.9.5) Костя выложил из палочек целочисленной длины квадрат 100х100, разбитый на квадратики 1х1. Палочки не пересекаются по внутренним точкам. Какое минимальное число палочек длины 1 могло быть использовано? 3.(Г.9.6) a, b, c >0 Федя посчитал сумму положительных корней уравнений x2=ax+b; x2=bx+c; x2=cx+a, а Юра посчитал сумму положительных корней уравнений x2=ax+a; x2=bx+b; x2=cx+c. Известно, что получившиеся суммы не равны. Какая больше? 4.(Г.9.7) На стороне АС треугольника АВС лежит точка К. АК=2КС, АВК=2КВС, L – проекция А на ВК, F – середина АС. (!)FL BC. 5.(Г.10.1) Даны 3 квадратных трёхчлена с попарно различными коэффициентами. Графики любых двух из них имеют ровно одну общую точку. (!)Все три имеют общую точку. 6. а)ABCD – четырёхугольник, АС=CD, АВС=900, L – проекция D на AC, BCA=ACD. (!)BL делит AD пополам. б)АВС=АВ1С1, В=900 (!)ВВ1 делит АА1 пополам. 7.(Г.10.3) a,b,c,x,y,z>0 a+x=b+y=c+z (!)(abc+xyz)(1/ay+1/bz+1/cx)3 8.(Г.10.5) С числом х разрешается проделывать следующие операции: 1)ххn, nN 2)отрезать 2 последние цифры, умножать образованное ими число на 3 и прибавлять к оставшемуся. Можно ли получить из числа 80 число 82? 9.а) Во вписанном четырёхугольнике ABCD M и N – середины диагоналей AC и BD соответственно. BAD=BMC (!)ADC=BNC б)(Г.10.6) Во вписанном четырёхугольнике ABCD на диагоналях AC и BD отмечены точки M и N соответственно, АМ/СМ = BN/ND, BAD=BMC (!)ADC=ANB 10.(Г.11.2) I – центр вписанной окружности треугольника АВС. Окружность, проходящая через I, касается АВ и ВС в точках X и Y. (!)XY касается вписанной окружности треугольника АВС. 11.(Г.11.4) На клетчатой плоскости лежат 100 3-клеточных уголков и несколько прямоугольников 1х3. Из всех этих фигурок можно сложить, не поворачивая их, прямоугольник. Оля взяла 96 уголков и, не поворачивая их, сложила 48 прямоугольников 2х3. (!)Из оставшихся четырёх можно сложить ещё 2 прямоугольника 2х3. Серия 13. 1. а) (!) все окружности, проходящие через А и перпендикулярные окружности , не проходящей через А, пересекаются в одной точке. б) (!) все окружности, проходящие через А и пересекающиеся с в диаметрально противоположных точках, пересекаются в одной точке. 2. На сторонах АВ и ВС треугольника как на диаметрах построены окружности, которые пересекаются в точке М, Н – ортоцентр. а) (!) М лежит на медиане из вершины В. б) (!) А, С, М, Н лежат на одной окружности. 3. а) Н – ортоцентр треугольника, Н симметрично ему относительно середины стороны. (!)Н принадлежит описанной окружности б) К – проекция точки Н на медиану из точки В. (!) А, С, Н, К принадлежат одной окружности. 4. p, q - простые, p2 + 1q, q2 – 1p. (!)p+q–1 – не простое. 5. Даны 1995 точек, некоторые из которых соединены отрезками. Все точки покрашены в 2 цвета. Каждую минуту точки, соединённые с чётным количеством точек того же цвета, меняют цвет. (!)Исходная раскраска не сможет получиться через нечётное число минут. 6. Из красных правильных треугольников и синих четырехугольников с углами больше 800 и меньше 1000 сложили выпуклый многоугольник, все углы которого больше 600. (!) число красных сторон делится на 3. Серия 14. Аффинно-интегральная. 1. На плоскости проведены две перпендикулярные прямые l1 и l2. Рассмотрим произвольное аффинное преобразование плоскости. Нужно доказать, что все площади фигур изменяются в одно и то же число раз. а) (!) для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными l1 и l2. б) для произвольного треугольника. в) для произвольного многоугольника. 2 
. Через каждую вершину треугольника проведены прямые, делящие противоположные стороны на три равные части. (!) диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольников, пересекаются в одной точке. 3. Доказать не вычисляя: а) a, b > 0 б) l(t)= (!)l(ab)=l(a) + l(b) 4. а) (!) б) (!) ln(n+1) < 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n 5. А>1, A N, A2+1B, b N (!)B-A > 0 B – A > A 6. S = A1A2…Ak=B1B2…Bk ij AiAj=, BiBj=, |Ai|=|Bi|=n (!)В множестве S можно выбрать k элементов так, чтобы в каждом из множеств Ai и Bi было выбрано по элементу. Серия 15. Укороченная. 1. (!) любую группу людей можно разбить на две части: количество пар знакомых из разных групп будет количеству пар знакомых из одной группы. 2. В параллелограмме АВСD точки А1, В1, С1, D1 лежат на сторонах АВ, ВС, СD, DА соответственно АА1ВА1=ВВ1/СВ1=СС1/DC1=DD1/AD1=A1D2/D1D2=D1C2/C1C2=C1B2/B2B1=B1A2/A1A2. (!) A2B2C2D2 – параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD. 3. Внутри правильного треугольника АВС лежит точка О. АОВ = 1130, ВОС = 1230. Найти углы треугольника, сторонами которого являются АО, ВО, СО. 4. Дан конечный набор различных N чисел, все их простые делители не превосходят данного N. (!) величин, обратных этим числам, N. 5. Найдите 2 взаимно простых натуральных 4-знач. чисел А и В : любое m,n N.An - Bm 4000 6. x,yN. (x2 – 1)/ (y+1) + (y2 – 1)/ (x+1)Z. (!) Каждая из двух дробей тоже целое число. Серия 16 Отборная. 1. В трапеции АВСD длина боковой стороны АВ равна AD+BC. (!)биссектрисы углов А и В пересекаются на стороне CD. 2. Может ли сумма попарных расстояний между вершинами 25 – вершинного дерева быть равна 1225? 3. На доске стоят числа от 5 до 10, раз в минуту О.П. стирает 3 или 4 наименьших числа и дописывает 7 или 8, следующих за максимальным. (!)Сумма чисел не будет степенью тройки. 4. pP, pk+pl+pm=n2 имеет решения в натуральных числах. (!)p+18. 5. В каждой клетке таблицы 37х5 (37 строк и 5 столбцов) стоит натуральное число от 1 до 10. В каждой строке числа упорядочены слева направо в невозрастающем порядке, на любой диагональной линии, направленной направо вниз, все числа равны. (!)В таблице есть строка, содержащая 5 одинаковых чисел. 6. Через центр вписанной окружности четырехугольника АВСD проведена прямая. Она пересекает АВ в Х и CD в Y. AXY=DXY. (!) AX/BX = CX/DY. 7. а)(2a-1, 2b –1)=? a, b N. б)(a,b)=1 Каким может быть (22a+2а+1,22b+2b+1)? в)(2a+1,2b+1)=1 Каким может быть (22а+1+2а+1, 22b+1+2b+1)? Серия 17. Инверсия и немного неравенств. 1. а) При инверсии с центром О АА, ВВ. (!)ОАВ ~ ОАВ. б) (!) при инверсии с центром в О прямая, не проходящая через О, переходит в окружность, проходящую через О, и наоборот. в)(!) при инверсии с центром в О окружность, не проходящая через О, переходит в окружность, не проходящую через О. 2. На сторонах АВ, ВС и СА АВС даны точки М, N, P соответственно. M1, N1, P1 симметричны M, N, P относительно середины соответствующих сторон. (!) S(MNP) = S(M1N1P1) 3.(!) x(-11) |a1sinb1x + a2sinb2x + …+ ansinbnx| |sin x| |a1b1 + a2b2 +…+ anbn| 1. 4. x, y, z, t [0, 1] (!) a + b(x + y + z + t) + c(xy + yz + zt + xt) + d(xyz + xyt + xzt + yzt) + exyzt 0 x, y, z, t a0, a+b 0, a + 2b + c 0, a + 3b + 3c + d 0, a+ 4b + 6c + 4d + e 0. 5. a1, an 0, ai = 1. (!) a12/(a1 + a2) + a22/(a2 + a3) +…+ an2/(an + a1) 1/2. 6. а) Можно ли расставить числа от 1 до 12 по окружности так, что для любых а, b, c, стоящих подряд b2 – ac 13. б) Можно ли расставить числа от 1 до 238 по окружности так, что для любых a, b, c, стоящих подряд b2 – ac 239? 7. Есть n+1 гиря общий вес которых равен 2n. Вес каждой из них – натуральное число. Есть весы с двумя чашками, находящимися в равновесии. Сначала на одну из чашек кладут самую тяжелую гирю, за тем гири добавляют по очереди на ту чашку, которая легче. (!) В конце весы будут в равновесии. Cерия 18, в которой читатель впервые встречается с правильной раскраской кубического графа. 1. Все ребра связного кубического графа покрашены в 3 цвета. Из каждой вершины выходят ребра всех цветов. Одно ребро удалили. (!)Связность сохранилась. 2. (!) 2 + 3 + 5 + 7 – иррациональное. 3. а) Вписанная окружность АВС касается стороны АС в точке D, DМ ее диаметр. ВМ пересекает АС в точке К. (!) АК=DС.б)О – центр вписанной окружности АВС, касающейся стороны АС в точке D. В1 – середина АС. (!)В1О делит ВD пополам. 4. Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия а)из11 б)из бесконечного числа натуральных чисел, такая, что последовательность сумм цифр ее членов – также возрастающая арифметическая прогрессия. 5. Из точки А проведены касательные АВ и АС к окружности с центром О. Прямая, проходящая через А, пересекает окружность в точках X и Y. (!)X,Y,O и середина ВС лежат на одной окружности. Серия 19, в которой мы узнаём нечто полезное об инверсии. 1. а)(!)при инверсии касающиеся окружности (прямая и окружность) переходят в касающиеся окружности, или в окружность и касательную, или в пару параллельных прямых. б)(!)инверсия сохраняет углы между прямыми, между окружностями, между прямой и окружностью. 2. Найдите расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax+By+C=0 3. (!)x, y, z удовлетворяют соотношениям x+y+z=2; xy+yz+zx=1 все они лежат в отрезке [0; 4/3] 4. (!)Сумма всех чисел вида 1/mn, где 1m 5. Степень каждой вершины графа d. (!)Его вершины можно покрасить в d2+1 цвет так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами одного цвета было больше двух. 6. На клетчатой плоскости отмечены клетки, центры которых образуют квадратную решётку со стороной 3. Отмеченные клетки покрыли доминошками. (!)Оставшуюся часть плоскости тоже можно покрыть доминошками. С 
ерия 20. Юбилейная. 1. 2. При каких n 32n+1-22n+1-6n – составное? 3. Отрезки, соединяющие К с вершинами А и D прямоугольника ABCD, пересекают ВС. Перпендикуляры из В на DK и из С на АК пересекаются в М. (!)М не совпадает с К МКAD. 4. На диагонали АС выпуклого четырёхугольника АВСD взяты точки М и К, а на диагонали BD – Р и Т. АК=МС=1/4 АС, DP=TD=1/4 BD. (!)Прямая, проходящая через середины AD и BC, проходит через середины РМ и ТК. 5. Даны равнобедренные трапеции с основаниями 1 и 3 и высотой 1. (!)Из таких трапеций нельзя составить а)прямоугольник с целыми сторонами б)прямоугольник. 6 
. Правильный шестиугольник со стороной n разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. В одном из углов стоит фишка. Тарас и Юля по очереди ходят ею. Нельзя ставить фишку на узел, где она уже была. Проигрывает тот, кто не может походить. Первым ходит Тарас. Кто выиграет? 7. n2, a1, …, an>0, S=a1+…+an а) б) Серия 21. Тест. 1. Квадрат двумя способами разбит на n равновеликих многоугольников. (!)В него можно воткнуть n иголок так, чтобы в каждый из 2n многоугольников была воткнута одна. 2. Найти все f: RR, x, yR f(x)x, f(x+y)f(x)+f(y) 3. (x)=4x/(4x+2), nN (0)+(1/n)+(2/n)+…+(1)=? 4. Дан треугольник с углами 200, 200 и 1400. Он разрезается вдоль одной из биссектрис. Один из полученных треугольников разрезается вдоль одной из своих биссектрис и т. д. Найти все такие n, что после n разрезаний можно получить треугольник, подобный исходному. 5. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины AB и AD проводятся прямые, перпендикулярные противоположным сторонам. (!)Они пересекаются на АС. 6. Решить систему: x+y+z=x3+y3+z3=8 7. Дан набор из 100 натуральных чисел, каждое из которых является делителем суммы остальных. Могут ли они все быть попарно различными? 8. Окружности S1, S2, S3 пересекаются в точке А. Радикальная ось окружностей S1 и S2 проходит через центр S3, а радикальная ось окружностей S2 и S3 – через центр S1. (!)Радикальная ось S1 и S3 проходит через центр S2. Серия 22, в которой вы узнаете, зачем нужны гауссовы числа. 1а) N–целое рациональное. (!)Его разложение на простые множители имеет вид N = p1….pk1122…ll, где p1,….pk –простые рациональные, i и i – пары сопряженных простых гауссовых чисел. б)(!) p=4k+3 – простое рациональное p – простое гауссово. в)(!)рационального простого p=4k+1 Z[i], не делится на p, N()p (N()= =||2) г)(!)рационального простого p=4k+1 существует разложение в произведение двух комплексно-сопряжённых. д)(!)натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов все простые числа вида 4k+3 входят в него в чётной степени. е)(!)число решений уравнения x2+y2=N в целых рациональных числах равно учетверённой разности количества делителей N вида 4k+1 и количества делителей N вида 4k+3. 2. Фигуру площади 1, вырезанную из бумаги, разделили на 10 частей и покрасили все части в 10 цветов. Затем фигуру перевернули и опять разделили на 10 частей. (!)Новые части можно покрасить в те же 10 цветов так, чтобы сумма площадей кусков, покрашенных в один и тот же цвет с обеих сторон, будет 1/10. 3. 2 окружности пересекаются в точке А и касаются внутренним образом одной окружности в точках В и С, а другой окружности – в точках D и E. (!)Описанные окружности АВС и DAE касаются. Серия 23. Квадратные уравнения по модулю. 1 
. p>2, pP; D=b2-4ac – дискриминант сравнения ax2+bx+c0(mod p). а)(!)D0(mod p)сравнение имеет единственный корень. б) =1 есть 2 различных корня; =-1 корней нет в)при каких p разрешимо сравнение x2+x+10(mod p)? 2.(!)В каждой из следующих последовательностей есть бесконечно много составных чисел:а)22+1,42+1,62+1,…б)42+1, 142+1, 242+1, … жүктеу/скачать 287 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
